0 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (l ần 1) Năm học : 2010-2011 Th ời gian : 180 phút, không k ể thời gian phát đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm s ố 2 2 1 1 4 y x m x (1), v ới m là tham s ố thực. 1. Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 3m . 2. Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho hai tiếp tuyến tạ i A và B vuông góc với nhau . Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương tr ình 3 sin 2 cos sin cos 2 2x x x x . 2. Gi ải bất phương trình 2 3 4 5 3 8 19 0x x x x . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 1 1 6 3 dx I x x . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình l ăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng 1 A BC t ạo với đáy một góc 30 và tam giác 1 A BC có diện tích bằng 18. Hãy tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1 .ABC A B C . Câu V (1,0 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2 4x y x y m ,x y . Xác định giá trị của tham số thực m để hệ đã cho có nghiệm. Câu VI (1,0 điểm) Trong m ặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2 : 1 3 4 C x y . Gọi I là tâm của đường tròn C . Tìm m để đường thẳng 4 3 1 0mx y m cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 120 AIB . Câu VII (2,0 điểm) 1. Gi ải phương trình 2 2 9 log 9 log 0 x x x x . 2. Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 5y x x Hết www.laisac.page.tl 1 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI 12 Năm học 2010 -2011 (lần 1) Câu Nội dung Điểm I 1. Khi 3 m hàm số (1) trở thành 2 2 1 3 1 4 y x x . Tập xác định: Sự biến thiên: ' 2 ' 1 ; 0 0; 1 y x x y x x . Hàm s ố nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 0;1 . Hàm s ố đồng biến trên mỗi khoảng 1;0 , 1; 0.25 -Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x ; 1 CT y Hàm số đạt cực đại tại 0 x ; 3 4 CD y -Giới hạn: lim x y 0.25 Bảng biến thiên: x -1 0 1 ' y - 0 + 0 - 0 + y 3 4 -1 -1 0.25 Đồ thị 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 f x = 1 4 x 2 -3 x 2 +1 0.25 2. Đồ thị cắt Ox tại ;0 , ;0 A m B m , với 0 m . ' 2 1 2 1 2 y x x m . Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc là ' ' 1 2 1 ; ( ) 1 2 2 m m k y m m k y m m 0.50 2 Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi 2 3 2 1 2 2 . 1 1 1 2 4 0 4 1 3 4 0 1 m k k m m m m m m m m 0.50 II 1. 3 sin 2 cos sin cos 2 2 x x x x 3 sin 2 cos 2 sin 3 cos 2 x x x x 3 1 1 3 sin 2 cos 2 sin cos 1 2 2 2 2 x x x x 2 2 sin sin 2 cos cos 2 cos sin sin cos 1 3 3 3 3 x x x x 2 2 cos 2 sin 1 1 2sin sin 1 3 3 3 3 x x x x sin 1 2sin 0 3 3 x x 0.50 Trường hợp 1: sin 0 3 3 3 x x k x k 0.25 Trường hợp 2: 1 1 2sin 0 sin 3 3 2 2 2 3 6 2 75 22 63 6 x x x k x k k x kx k 0.25 2. Điều kiện: 4 5 3 x 0.25 Bất pt đã cho tương đương với: 2 3 4 4 1 5 3 8 16 0 x x x x 0.25 3 4 4 4 3 4 0 3 4 4 1 5 3 1 4 3 4 0 3 4 4 1 5 x x x x x x x x x x 0.25 4 0 4 x x (vì 3 1 3 4 3 4 4 1 5 x x x >0 4 ;5 3 x ) K ết hợp với điều kiện, ta có bất pt đã cho có tập nghiệm là 4;5 0.25 III 2 2 2 2 1 1 1 6 3 4 3 1 dx dx I x x x Đặt 3 1 2sin 3 2cos x t dx tdt Đổi cận: Khi 1 x thì 0 t ; khi 2 x thì 3 t . 0.50 Vậy 3 3 3 2 0 0 0 2cos 2 cos 1 3 9 3.2cos 3 3. 4 4sin tdt tdt I dt t t 0.50 3 K A1 B1 C1 A C B IV Giả sử CK x , ở đây AK là đường cao của tam giác đều ABC . Theo định lí 3 đường vuông góc, ta có 1 A K BC . Từ đó 1 30 AKA . Xét tam giác 1 A AK , ta có: 1 2 cos30 3 AK AK A K . Mà 2 3 3 2 x AK x nên 1 2 A K x 0.50 1 3 tan 30 3. 3 A A AK x x . V ậy 1 1 1 3 . 1 . . 3 ABC A B C V CK AK AA x . 0.25 Nhưng 1 1 . A BC S CK A K a nên 2 .2 18 9 3 x x x x . V ậy 1 1 1 3 . 3 3 27 3 ABC A B C V . 0.25 V T ừ 2 2 4 x y , suy ra điều kiện 2 2; 2 2 x y Cộng theo vế của 2 pt trong hệ ta được: 2 2 4 4 x x m m x x . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 4 m x x có nghi ệm thuộc đoạn 2;2 . 0.50 4 BA I H Đặt 2 4 f x x x . ' ' 1 2 1; 0 2 f x x f x x Lập bảng biến thiên của hàm số 2 4 f x x x với 2;2 x x 2 1 2 2 ' y - 0 + y 2 2 17 4 Từ bảng biến thiên, ta có giá trị m cần tìm là 17 2 4 m 0.50 VI Đường tròn C có tâm 1;3 I , bán kính 2 R . G ọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AB . Tam giác IAB cân tại I , 120 AIB 1 60 .cos60 2. 1 2 AIH IH AI 0.50 2 2 2 2 2 12 3 1 2 11 , 1 1 1 16 16 35 2 11 16 3 44 105 0 3 3 m m m d I AB m m m m m m m m 0.50 VII 1. Điều kiện 9 0 9 x x x hoặc 0 x 0.25 Với đk trên, phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 9 log 9 . 0 log 9 0 x x x x x 0.25 2 9 1 8 10 x x x . Đối chiếu với đk, ta loại 8 x . Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất 10 x . 0.50 2.Tập xác định 5; 5 D . 0.25 2 2 2 ' 2 2 2 3 5 2 5 3 5 5 5 x x x y x x x 0.25 5 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 5 0 5 0 0 9 5 2 5 3 5 2 5 x x y x x x x 4 2 2 2 4 11 20 0 4 2 5 2 x x x x D x 0.25 Ta có, 2 8, 2 8, 5 3 5, 5 3 5 f f f f . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 tại 2 x ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 8 tại 2 x . 0.25 Hết Thạch Thành, ngày 2 tháng 1 năm 2011. Người ra đề và làm đáp án: BÙI TRÍ TUẤN Mọi thắc mắc về đề thi và đáp án này xin gửi về bui_trituan@yahoo.com . 0 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KH I 12 (l ần 1) Năm học : 201 0-2 011 Th i gian : 180 phút, không k ể th i gian phát đề Câu I (2,0 i m) Cho hàm s ố. x x Hết www.laisac.page.tl 1 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KH I 12 Năm học 2010 -2 011 (lần 1) Câu N i dung i m I 1. Khi 3 m hàm số (1) trở thành 2 2 1 3. 0.25 -Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu t i 1 x ; 1 CT y Hàm số đạt cực đ i t i 0 x ; 3 4 CD y -Gi i hạn: lim x y 0.25 Bảng biến thi n: x -1 0 1 ' y - 0