0 SGD_THNGYấN đề thi thử đại học lần II năm 201 Trờng thpt nam phù cừ Môn thi : Toán ******** (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 5 3 2 2 x y x = - + 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x M = a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. Câu II (2,0 điểm) 1/ Giải phơng trình: 4 4 4 4 4 3 ( ) ( ) 4 4 4 2 sin x sin x cos x cos x sin x p p + + + + + = . 2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - - (1) b) 2 (6 27) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = 1 2 0 (1 ) 1 sinx cosx ln dx sinx p + ộ ự + ờ ỳ + ở ỷ ũ Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, AA = AB = AC và mặt phẳng (AAB) vuông góc với mp(AAC). Tính . ' ' 'ABC A B C V . Câu V (1,0 điểm) Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0 2 x p ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . p q T cos x sin x = Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A/ Theo chơng trình Chuẩn. Câu VI.a (3,0 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đờng chéo BD có phơng trình: 2 1 0x y + + = . Điểm M nằm trên đờng thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC. Đờng thẳng MC có phơng trình: 1 0x y + - = . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD. 2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phơng trình: 2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z + + + - + - = . Viết phơng trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1. 3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: 1 2 1z i + + = , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. B/ Theo chơng trình Nâng cao. Câu VI.b (3,0 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C): 2 2 ( 1) ( 2) 9x y - + - = . Tìm trên đờng thẳng D : 9 0x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60 0 . 2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đờng thẳng (d): 1 2 ( ) 2 x t y t t R z t = - ỡ ù = - + ẻ ớ ù = ợ Viết phơng trình đờng thẳng D đi qua A và cắt đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến Dlớn nhất. 3/ Tìm môđun của số phức: 3 1 2 (1 ) 1 i i z i + - - = + . www.laisac.page.tl 1 Biểu điểm và đáp án môn toán Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0 đ ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ( 1,0 đ ) 1) TpxỏcnhD=R 2) Sự biến thiên a) Chiều biến thiên Ta có ( ) 3 2 ' 2 6 2 3y x x x x = - = - , ' 0 0, 3y x x = = = Trên các khoảng ( 3) -Ơ - và (0 3) , ' 0y < nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng ( 30) - và ( 3 ) +Ơ , ' 0y > nên hàm số đồng biến b) Cực trị Tại 0x = , hàm số đạt CĐ: 5 (0) 2 CD y y = = Tại 3x = , hàm số đạt CT: ( 3) 2 CT y y = = - c) Giới hạn:: lim lim x x y y đ-Ơ đ+Ơ = +Ơ = +Ơ d) Bảng biến thiên: x -Ơ 3 - 0 3 +Ơ y - 0 + 0 - 0 + y +Ơ 5 2 +Ơ 2 2 3) Đồ thị * Điểm uốn Ta có 2 '' 6 6y x = - '' 0 1y x = = Do y đổi dấu khi x đi qua 1 nên đồ thị có hai điểm uốn U 1 (-1;0) và U 2 (1;0) * Đồ thị đi qua các điểm 3 5 3 ( 2 ),( 3 2),(0 ),( 3 2),(2 ) 2 2 2 - - - - - - * Nhận xét: Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng Đồ thị cắt oy tại 5 (0 ) 2 C 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. (1,0 đ ) + Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M Vì 4 2 5 ( ) ( 3 ) 2 2 a M C M a a ẻ ị - + Ta có: 3 3 ' 2 6 '( ) 2 6y x x y a a a = - ị = - Vậy tiếp tuyến của (C) tại 4 2 5 ( 3 ) 2 2 a M a a - + có PT: 4 3 2 5 (2 6 )( ) 3 2 2 a y a a x a a = - - + - + + Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phơng trình: 4 4 2 3 2 2 2 2 5 5 3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0 2 2 2 2 x a x a a x a a x a x ax a - + = - - + - + - + + - = ờ ở ộ = - + + = = 0632)( 22 aaxxxg ax 0,25 0,25 0,25 2 Yêu cầu bài toán đợc thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a ù ợ ù ớ ỡ ạ < ù ợ ù ớ ỡ ạ < - ù ợ ù ớ ỡ ạ - = > - - = D 1 3 1 03 066)( 0)63( 2 2 2 22' )( a a a a aag aa xg Vậy giá trị a cần tìm là: { } ( 3 3) \ 1a ẻ - 0,25 Câu II (2,0 đ ) 1/ Giải phơng trình: 4 4 4 4 4 3 ( ) ( ) 4 4 4 2 sin x sin x cos x cos x sin x p p + + + + + = (*) (1,0 đ ) Ta có PT(*) sin 4 x + cos 4 x + sin 4 (x+ 4 p ) + cos 4 (x+ 4 p ) 4 3 4 2 sin x = 1 2sin 2 x cos 2 x + 1 2sin 2 (x+ 4 p ).cos 2 (x+ 4 p ) 4 3 4 2 sin x = 1- 2 1 sin 2 2x +1 - 2 1 sin 2 (2x + 2 p ) 4 3 4 2 sin x = 2 - 2 1 sin 2 2x - 2 1 cos 2 2x 4 3 4 2 sin x = 2 3 sin 4 4x = 2 3 sin 2 4x = 1 cos 4x = 0 4x = 2 p + kp x = 8 p + k 4 p với k ẻ Z Vậy PT có các nghiệm là: x = 8 p + k 4 p với k ẻ Z 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0 đ ) a) 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - - (1) b) 2 (6 27) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) a) Giải bất pt: 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - - (1) Ta có (1) 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 0 ( 3 ) 0 x x x x x x ộ - - = ờ ờ ỡ - - > ù ờ ớ ờ - ù ợ ở { } [ ) 1 1 2 3 2 T ổ ự ị = -Ơ - ẩ ẩ +Ơ ỗ ỳ ố ỷ b) Giải pt: 2 (6 27) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) Ta có (2) (6 27) 8.(6 27) 9.3 x x x - + + = 6 27 6 27 8. 9 3 3 x x ổ ử ổ ử - + + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Vì 6 27 6 27 . 1 3 3 ổ ử ổ ử - + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ nên đặt 6 27 , 0 3 x t t ổ ử + = > ỗ ữ ỗ ữ ố ứ PT trở thành: 2 1 ( / ) 8 9 1 0 1 ( / ) 8 t t m t t t t m = ộ ờ - + = ờ = ở Với 1 0t x = ị = Với 6 27 3 1 1 log 8 8 t x + = ị = 0,25 0,25 0,25 3 2 6 27 3 1 0, log 8 T + ỡ ỹ ù ù ị = ớ ý ù ù ợ ỵ Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là: 6 27 3 1 log 8 x + = *Lu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH: 2 2 3 2 0x x - - = sẽ bị mất nghiệm x = 2. Nghĩa là bất PT: ( ) 0 ( ). ( ) ( ) 0 ( ) 0 g x f x g x o g x f x ộ = ờ ỡ ờ > ù ớ ờ ù ờ ợ ở 0,25 Câu III (1,0 đ ) Tính tích phân: I = 1 sin 2 0 (1 ) ln 1 sin x cosx dx x p + ộ ự + ờ ỳ + ở ỷ ũ ( 1,0 đ ) Ta có ũ ũ ũ + - + + + = 2 0 2 0 2 0 )sin1ln()cos1ln(sin)cos1ln( p p p dxxdxxxdxxI (I) 1 (I 2 ) (I 3 ) Chứng minh: I 1 = I 3 Đặt: 2 x t dx dt p = - ị = Đổi cận 0 2 0 2 x t x t p p ỡ = ị = ù ù ớ ù = ị = ù ợ 2 2 1 0 0 ln(1 sin ) ln(1 sin )I t dt x dx p p ị = + = + ũ ũ . Suy ra I 1 - I 3 = 0 Tính: ũ + = 2 0 2 )cos1ln(sin p dxxxI Đặt: :sincos1 xdxdtxt - = ị + = Đổi cận 0 2 1 2 x t x t p = ị = ỡ ù ớ = ị = ù ợ Khi đó: ũ = 2 1 2 ln tdtI Đặt: ợ ớ ỡ = = dtdv tu ln ù ợ ù ớ ỡ = = tv dt t du 1 ị - = 2 12 ln ttI 2 1 2 1 )ln( tttdt - = ũ 2ln 2 1 = - Vậy: 2 2 1I ln = - 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Câu IV (1,0 đ ) Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC Vì AA = AB = AC nên ' ( )A O ABC ^ do 'AO BC AA BC ^ ị ^ Gọi I là hình chiếu của B trên AA ' ( )AA BIC ị ị ^ 0 90BIC ị é = và 2 2 BC a IM = = Tacó: 6 ' ( ) ' ' ' ' ' 6 MI AM a AA BIC AA IM A AO MAI A O A O AA ^ ị ^ ị D Ơ D ị = ị ị = Vậy 2 3 . ' ' ' 3 6 . 2 . ' . 4 6 8 ABC A B C ABC a a a V S A O = = = Kết luận 0,25 0,25 0,5 Câu V (1,0 đ ) Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0 2 x p ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ . Tìm GTLN của biểu thức: . p q T cos x sin x = Vì 0T 0 2 x p ộ ự " ẻ ờ ỳ ở ỷ , nên T đạt GTLN khi 2 2 2 ( ) .( ) p q T cos x sin x = lớn nhất Xét hàm số: 2 2 ( ) .( ) p q y cos x sin x = với 0 2 x p ộ ự " ẻ ờ ỳ ở ỷ . Đặt t = 2 cos x , xét hàm số: ( ) (1 ) p q f t t t = - với [ ] 01t ẻ Ta có [ ] 1 1 '( ) (1 ) ( ). p q f t t t p p q t - - = - - + '( ) 0 p f t t p q = = + hoặc t = 0 hoặc t = 1 Bảng biến thiên: t 0 p p q + 1 f(t) 0 + 0 - 0 f(t) 0 0 Nhìn vào BBT ta thấy [ ] 01 ( ) ( ) ( ) p q p q p max f t t p q p q p q = = + + + Từ đó [ ] 01 ( ) ( ) p q p q q max y x arc tan p q p q p = = + + Kết luận * Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 0,25 0,25 0,25 B A B C M I A C ( ) maxf t 5 0,25 Câu VIa (3,0 đ ) 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0 đ ) Vì ( 1 )C MC C t t ẻ ị - . Giả sử AC BD I ầ = 1 3 ( ) 2 2 t t I + - ị Do 7 ( 78), ( 35)I BD t C I ẻ ị ị = - ị - - Vì AMC ACM MCB é = é = é ị MC là phân giác trong ACB é của tam giác ABC Từ A kẻ 1 1 1 1 ( ). / (01) ( 10)AA MC A BC G s AA MC J J A ^ ẻ ầ = ị ị ị - PT của BC:4 3 4 0x y + + = Ta có 1 13 ( 2) ( 12) 2 2 B BC BD B D = ầ ị ị - ị - Vậy 1 ( 2) 2 B - , ( 78)C - , 13 ( 12) 2 D - 0,25 0,25 0,25 0,25 2) V iết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1. (1,0 đ ) Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ 2 2 2 ( , , ),( 0)n a b c a b c + + ạ r làm véctto pháp tuyến có PT: 2 6 0ax by cz b c + + + + = Từ giả thiết: (20 2) ( ) ( ( )) 3 B P d I P - ẻ ỹ ù ị ị ý = ù ỵ tìm đợc a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y z 4 = 0 và (P 2 ): 7x 17y + 5z 4 = 0 0,25 0,5 0,25 3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k: 1 2 1z i + + = (*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0 đ ) Gi z = x + yi , ( ,x y R ẻ ) và M(x ; y ) l im biu din s phc z. Ta có : 2 2 1 2 1 ( 1) ( 2) 1z i x y + + = + + + = ngtrũn(C): 2 2 ( 1) ( 2) 1x y + + + = cútõm(12) ngthngOIcúphngtrỡnhy=2x Sphczthamón iukin (*)vcúmụdunnhnhtkhivchkhiimbiudinnúthuc(C)v gngctaOnht,úchớnhlmttronghaigiaoimcangthngOIv(C) Khiútacanúthamónh 2 2 1 1 1 1 2 5 5 , 2 2 ( 1) ( 2) 1 2 2 5 5 x x y x x y y y ỡ ỡ = - - = - + ù ù = ỡ ù ù ớ ớ ớ + + + = ợ ù ù = - - = - + ù ù ợ ợ Dễ dàng kiểm tra đợc z = 1 2 1 ( 2 ) 5 5 i - + + - + là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,25 0,5 0,25 Câu VIb (3,0 đ ) 1/ Tìm trên đờng thẳng (d): 9 0x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60 0 . (1.0 đ ) Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3 Vì ( 9)M M m m ẻD ị - + Giả sử từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm Xét hai trờng hợp : a) 0 30IMB é = Ta có : 0 6 30 IB IM sin = = 0,25 0,25 6 Chú ý : + Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết. + Nếu thí sinh làm theo cách khác nhng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định. + Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25. Từ đẳng thức : IM = 6 2 1 2 1 2 16 14 0 (18), (72) 7 m m m M M m = ộ ị - + = ị ờ = ở b) 0 60IMB é = Trờng hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn Kết luận : Vậy có hai điểm 1 2 (18), (72)M M thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,25 0,25 3/ Viết phơng trình đờng thẳng D đi qua A và ( 1,0 đ ) Giả sử Dcắt d tại M nên (1 2 2 )M t t t - - + Ta có 2 2 28 152 208 ( , ) 3 10 20 t t d B t t - + D = - + Xét hàm 2 2 2 2 2 28 152 208 16(11 8 60) ( ) '( ) 3 10 20 (3 10 20) t t t t f t f t t t t t - + - - = ị = - + - + 2 28 '( ) 0 , ( ) 30 3 11 t t f t lim f t t đƠ = - ộ ờ = = ờ = ở BBT Từ BBT ta thấy ( ) 12 2 ( , ) 12 2 max maxf t t d B t = = - ị D = = - Khi đó đờng thẳng D có PT: 1 4 2 1 4 3 x y z - - - = = - - 0,25 0,25 0,5 3/ Tìm môđun của số phức: 3 1 2 (1 ) 1 i i z i + - - = + (1,0 đ ) Ta có : 3 2 3 1 2 (1 ) 1 2 (1 3 3 ) 1 1 i i i i i i z i i + - - + - - + - = = + + , do 2 3 1,i i i = - = - nên 3 4 7 1 1 2 2 i z i i + = = + + Vậy 2 2 7 1 5 2 2 2 2 z ổ ử ổ ử = + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Kết luận 5 2 2 z = 0,5 0,5 . c a tiếp tuyến và (C) là nghiệm c a phơng trình: 4 4 2 3 2 2 2 2 5 5 3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0 2 2 2 2 x a x a a x a a x a x ax a - + = - - + - + - + + - = ờ ở ộ = - + + = = 06 32) ( 22 aaxxxg ax. ' ' ' 6 MI AM a AA BIC AA IM A AO MAI A O A O AA ^ ị ^ ị D Ơ D ị = ị ị = Vậy 2 3 . ' ' ' 3 6 . 2 . ' . 4 6 8 ABC A B C ABC a a a V S A O = = = Kết luận 0 ,25 0 ,25 0,5. 1- 2 1 sin 2 2x +1 - 2 1 sin 2 (2x + 2 p ) 4 3 4 2 sin x = 2 - 2 1 sin 2 2x - 2 1 cos 2 2x 4 3 4 2 sin x = 2 3 sin 4 4x = 2 3 sin 2 4x = 1 cos 4x = 0 4x = 2 p