KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 Môn Toán - Trường THPT LIÊN HÀ pot

Sở giáo dục và đào tạo Hà nội Kì thi thử Đại học , cao đẳng lần 2 năm 2011 Trờng THPT Liên Hà Môn toán ,Thời gian làm bài : 180 phút đề chính thức I-Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm ) Câu I(2điểm) Cho hàm số 1 1 x y x + = - (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) . 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1 . Câu II( 2điểm) 1. Giải phơng trình : 15 tan cot 4sin( ) 4 x x x p - = + 2. Giải hệ phơng trình : 2 2 2 2 2 2 2 4 7 2 6 3 x y y xy x y y xy ỡ + + = ù ớ + + = ù ợ Câu III (1 điểm) Tính tích phân : 2 2 1 ( 1)ln ( 1) e x x x I dx x x + + = + ũ Câu IV (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB=a ,AC=2a , hai mặt phẳng (ABB) và (ABC) hợp với nhau góc 0 60 ,điểm B cách đều các điểm A,B,C. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC . Câu V(1điểm) Cho ba số dơng a,b,c có tích bằng 1 . Chứng minh rằng 1 2 2 2 a b c b a c b a c + + + + + II-Phần tự chọn (3 điểm ) (Học sinh chỉ đợc làm một trong hai phần hoặc A hoặc B) Phần tự chọn A Câu VI.a(2điểm) 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 ,đờng thẳng AB có phơng trình 3x 4y 1 0 + + = , đờng thẳng BD có phơng trình 2 3 0 x y - - = . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D . 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đờng thẳng 1 1 2 2 : 3 1 2 x y z d - + - = = - và 2 3 1 : 1 2 1 x y z d - - = = - . Hãy viết phơng trình đờng thẳng D là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng 1 d và 2 d . Câu VII.a(1điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phơng trình 2 2 10 0 z z + + = . Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 A z z = + . Phần tự chọn B Câu VI.b(2điểm) 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình thoi ABCD . Đờng thẳng AB có phơng trình 2 3 1 0 x y - + = , đờng thẳng BD có phơng trình 2 0 x y + - = , đờng thẳng AD đi qua M(1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi . 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đờng thẳng 1 2 1 : 2 1 3 x y z d - + - = = - , mf(P):2 3 5 0 x y z + - + = . Viết phơng trình đờng thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mf(P). Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển n x x ) 1 ( 5 3 + biết rằng )3(7 3 1 4 + = - + + + nCC n n n n và x>0 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. p hamducduan76@g mail.comgitiwww.laisac.page. tl Đáp án thi thử môn toán lần 2 năm 2011 Câu-ý Nội dung Điểm *Tập xác định : D=R * 2 2 ' 0 x R ( 1) y x - = < " ẻ - *Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị 0.25 *Giới hạn : lim 1 x y đ+Ơ = ; lim 1 x y đ-Ơ = ị đồ thị có tiệm cận ngang là đờng thẳng y=1 1 lim x y + đ = +Ơ ; 1 lim x y - đ = -Ơ ị đồ thị có tiệm cận đứng là đờng thẳng x=1 0.25 *Bảng biến thiên x -Ơ 1 +Ơ y - - y 1 +Ơ -Ơ 1 0.25 1.1 *Vẽ đồ thị x=1 Đồ thị giao với trục ox tại (-1;0) Đồ thị giao với trục oy tại (0;-1) Đồ thị nhận điểm I(1;1) làm tâm đối xứng 1 y=1 1 x 0 0.25 *Tiếp tuyến của đồ thị (C) có phơng trình dạng 0 0 0 '( )( ) ( ) y f x x x f x = - + 0 0 2 0 0 1 2 ( ) ( 1) 1 x y x x x x + - = - + - - 2 2 0 0 0 2 ( 1) 2 1 0 x x y x x + - - - + = (*) với 0 1 x ạ 0.25 *Tiếp tuyến (*) cắt trục ox tại điểm 2 0 0 2 1 ( ;0) 2 x x A + - 0.25 *Ta có 2 0 0 0 2 1 1 1 1 2 x x OA x + - = = = (loại) , 0 0 3; 1 x x = - = - 0.25 1.2 *Kết luận : các tiếp tuyến cần tìm là : 2 1 0 x y + + = và 8 1 0 x y + - = 0.25 *Điều kiện : . 2 x k p ạ *Với điều kiện trên , phơng trình đã cho tơng đơng với 2 2 sin cos 2 2(sin cos ) sin .cos x x x x x x - = - (sin cos )(sin cos 2 2 sin .cos ) 0 x x x x x x - + - = 0.25 2.1 sin cos 0 (1) sin cos 2 2 sin .cos 0 (2) x x x x x x - = ộ ờ + - = ở *Phơng trình (1) tan 1 4 x x k p p = = + (tmđk) 0.25 *Phơng trình (2) 2 sin( ) 2 sin 2 4 x x p + = sin( ) sin 2 4 x x p + = 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 3 x x k x k x x k x k p p p p p p p p p ộ ộ + = + = - ờ ờ ờ ờ ờ ờ + = - + = + ờ ờ ở ở (tmđk) 0.25 *Kết luận : nghiệm của phơng trình là 4 x k p p = + và 2 4 3 x k p p = + 0.25 *Xét 0 y = hệ vô nghiệm *Xét 0 y ạ , hệ đã cho tơng đơng với 2 2 2 2 2 4 2 7 2 0 ( ) 3 2 0 6 2 ( ) 2 3 0 ( ) 3( ) 2 0 x x x x y y y y x x x x y y y y ỡ ỡ + - + = - - + = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + - + = - - + = ù ù ợ ợ 0.25 *Đặt ẩn phụ 2 x a y x b y ỡ - = ù ù ớ ù = ù ợ , hệ trở thành 2 2 3 2 0 (1) 3 2 0 (2) a b b a ỡ - + = ù ớ - + = ù ợ Trừ theo từng vế các phơng trình (1) cho (2) ta đợc ( )( 3) 0 3 b a a b a b b a = ộ - + + = ờ = - - ở 0.25 *Với b=a thay vào (1) đợc 2 3 2 0 1; 2 a a a a - + = = = a=1 =>b=1 => 2 1 1 x y x y ỡ - = ù ù ớ ù = ù ợ giải hệ này đợc nghiệm (x;y) là (-1;-1) và (2;2) a=2 2 2 2 2 x y b x y ỡ - = ù ù ị = ị ớ ù = ù ợ giải hệ này đợc nghiệm (x;y) là 1 5 (1 5; ) 2 - - và 1 5 (1 5; ) 2 + + 0.25 2.2 *Với b=-a-3 thay vào (1) đợc 2 3 11 0 a a + + = phơng trình này vô nghiệm *Kết luận : hệ có 4 nghiệm (x;y) là : (-1;-1) , (2;2) , 1 5 (1 5; ) 2 - - , 1 5 (1 5; ) 2 + + 0.25 *Biến đổi 2 1 1 ln ln ( 1) e e x x I dx dx x x = - + ũ ũ 0.25 3 *Tính 2 1 1 1 ln ln 1 ln (ln ) 2 1 2 e e e x x I dx xd x x = = = = ũ ũ 0.25 *Tính 2 2 1 ln ( 1) e x I dx x = + ũ đặt 2 ln 1 ( 1) u x dv dx x = ỡ ù ớ = ù + ợ ta có 1 1 1 dx dx x v x ỡ = ù ù ớ - ù = ù ợ + 2 1 1 1 ln 1 1 1 ( 1) 1 1 e e e e x dx dx dx I x x x e x x ị = - + = - + - + + + + ũ ũ ũ 1 1 1 ln ln 1 1 ln( ) 1 1 1 1 2 e e e x x e e - + = - + - + = + - + + 0.25 *Kết quả : 1 1 1 ln( ) 2 1 2 e I e + = + - + 0.25 B C *Hình vẽ A B H C K A *Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên mf(ABC) *Ta có BA=BB=BC ' ' ' B AH B BH B CH ị D = D = D HA HB HC ị = = ị H là trung điểm của BC 0.25 * . ' ' ' ' . ABC A B C ABC V B H S D = * 2 1 . 2 ABC S AB AC a D = = 0.25 *Gọi K là trung điểm AB Ta có , ' ( ') AB KH AB B H AB KHB ^ ^ ị ^ ' AB KB ị ^ [( ' );( )] ( ; ') ' B AB ABC KH KB B KH ị = = Theo giả thiết 0 ' 60 B KH ị = 0.25 4 *Trong tam giác BKH có 0 ' .tan 60 . 3 3 2 AC B H KH a = = = * 3 . ' ' ' ' . . 3 ABC A B C ABC V B H S a D = = 0.25 *Biến đổi 2 2 a a b a a ab = + + *áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng ta có 1 2 a a + 1 1 2 2 a a a a a ab a ab a ab b a ị ị + + + + + + (1) 0.5 5 *Chứng minh tơng tự đợc 1 2 b b b cb c b + + + (2) 1 2 c c c ac c c + + + (3) Công theo từng vế các bđt (1) ,(2) và (3) đợc 0.25 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a ab b cb c ac b a c b a c + + + + + + + + + + + + + (I) *Chứng minh 1 1 1 1 a b c a ab b cb c ac + + = + + + + + + (II) Ta có VT(II)= 1 abc b bc bc abc abbc b cb b bc bac + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 b bc bc b b cb b bc + + = + + + + + + *Từ (I) và (II) suy ra đpcm Dấu = xảy ra khi và chi khi a=b=c=1 0.25 *Điểm B là giao của AB và BD => B(1;-1) * 1 . 2 1 11 2 ABD ABD ABCD S AB AD S S ỡ = ù ù ớ ù = = ù ợ . 22 AB AD ị = (1) D C *Đờng thẳng AB có vtpt 1 (3;4) n = uur , AC có vtpt 2 (2; 1) n = - uur 1 2 2 cos cos( ; ) 5 5 ABD n n = = uur uur A B 11 11 tan 2 2 AD ABD AB ị = ị = (2) Từ (1) và (2) 11 AD ị = (3) 0.25 *D thuộc BD ( ;2 3) D x x ị - * 11 11 ( ; ) 5 x AD d D AB - = = (4) *Từ (3) và (4) 11 11 55 6; 4 x x x ị - = = = - 0.25 *Với x=6 (6;9) D ị đờng thẳng AD đi qua D và vuông góc AB AD ị có pt : 4x-3y+3=0 Điểm A là giao của AD và AB 3 1 ( ; ) 5 5 A ị - Gọi I là trung điểm BD 7 ( ;4) 2 I ị C đối xứng với A qua I 38 39 ( ; ) 5 5 C ị 0.25 6a.1 *Với x=-4 ( 4; 11) D ị - - đờng thẳng AD đi qua D và vuông góc AB AD ị có pt : 4x-3y-17=0 Điểm A là giao của AD và AB 13 11 ( ; ) 5 5 A ị - Gọi I là trung điểm BD 3 ( ; 6) 2 I ị - - C đối xứng với A qua I 28 49 ( ; ) 5 5 C ị - - 0.25 6a.2 *(d 1 ) có vtcp 1 (3; 1;2) u = - ur , 2 ( ) d có 2 (1;2; 1) vtcp u = - uur * 1 2 d d D ^ ỡ ị D ớ D ^ ợ có 1 2 [ , ] ( 3;5;7) vtcp u u u D = = - uur ur uur 0.25 *Giả sử 1 (1 3 ; 2 ;2 2 ) d A A a a a D ầ = ị + - - + 2 (3 ;1 2 ; ) d B B b b b D ầ = ị + + - * (2 3 ;3 2 ; 2 2) AB b a b a b a = + - + + - - - uuur 0.25 *véc tơ AB uuur cùng phơng với u D uur 2 3 3 2 2 2 3 5 7 b a b a b a + - + + - - - ị = = - 4 139 ; 83 83 a b = = - 0.25 *Đờng thẳng D đi qua 95 170 174 ( ; ; ) 83 83 83 A - và có ( 3;5;7) vtcp u D = - uur ị D có phơng trình 95 170 174 83 83 83 3 5 7 x y z - + - = = - 0.25 *Phơng trình có ' 9 ' D = - ị D có căn bậc hai là 3i d = ị có hai nghiệm phân biệt là 1 1 3 z i = - + và 2 1 3 z i = - - 0.5 7a *Ta có 2 2 1 1 10 z z = = 2 2 2 2 10 z z = = 20 A ị = 0.5 *Điểm B là giao của AB và BD (1;1) B ị D A I C B 0.25 *Đờng thẳng BD có vtpt 1 (1;1) n = uur , đờng thẳng AB có 2 (2; 3) vtpt n = - uur Giả sử AD có vtpt 2 2 3 ( ; ) (a 0) n a b b = + > uur Ta có ( ; ) ( ; ) DA DB BA BD = 1 3 1 2 cos( ; ) cos( ; ) n n n n ị = uur uur uur uur 1 3 1 2 1 3 1 2 . . . . n n n n n n n n = uur uur uur uur uur uur uur uur 2 2 1 13 a b a b + = + 2 2 2 3 6 13 6 0 3 2 a ab b a b a b + + = = - = - 0.25 *Với 2 3 a b = - chọn a=2 ; b=-3 3 (2; 3) n ị - uur cùng phơng 2 (2; 3) n = - uur / / AD AB ị => loại *Với 3 2 a b = - chọn a=3 ; b=-2 3 (3; 2) n ị - uur Đơng thẳng AD đi qua M(1;3) và có vtpt 3 (3; 2) n - uur AD ị có phơng trình 3 2 3 0 x y - + = 0.25 6b.1 *Điểm A là giao của AB và AD 7 3 ( ; ) 5 5 A ị - - *Điểm D là giao của AD và BD 1 9 ( ; ) 5 5 D ị *Gọi I là trung điểm BD 3 7 ( ; ) 5 5 I ị 0.25 *C đối xứng với A qua I 13 17 ( ; ) 5 5 C ị *Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P) *(d) đi qua 0 (1; 2;1) M - và có vtcp (2; 1;3) d u = - uur mf(P) có vtpt (2;1; 3) P n = - uur ( ) Q ị có vtpt , (0;12;4) Q d P n u n ộ ự = = ở ỷ uur uur uur và đi qua 0 (1; 2;1) M - ( ) Q ị có phơng trình 3y+z+5=0 0.25 *Ta có ' ( ) ( ) d P Q = ầ ' d ị có vtcp , ( 10;2; 6) Q P u n n ộ ự = = - - ở ỷ r uur uur 0.25 *Giả sử ( ; ; ) ' M x y z d ẻ 3 5 0 2 3 5 0 y z x y z + + = ỡ ị ớ + - + = ợ Chọn y=0 => z=-5, x=-10 ị d đi qua ( 10;0; 5) M - - 0.25 6b.2 *Vậy d có phơng trình 10 5 5 1 3 x y z + + = = - 0.25 *Ta có 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + - = + ( 4)! ( 3)! 7( 3) ( 1)!3! ( )!3! n n n n n + + - = + + 12 n = 0.25 *Với n=12 ta có 12 5 12 12 5 12 3 3 0 1 1 ( ) ( ) .( ) k k k k x C x x x - = + = ồ 11 12 36 2 12 0 . k k k C x - = = ồ 0.25 *Số hạng chứa 8 x ứng với 11 36 0 8 2 k k - = = 0.25 7b *Vậy hệ số của 8 x là 8 12 495 C = 0.25 . + - = - + - - 2 2 0 0 0 2 ( 1) 2 1 0 x x y x x + - - - + = (*) với 0 1 x ạ 0 .25 *Tiếp tuyến (*) cắt trục ox tại điểm 2 0 0 2 1 ( ;0) 2 x x A + - 0 .25 *Ta có 2 0 0 0 2. là (-1 ;-1 ) và (2; 2) a =2 2 2 2 2 x y b x y ỡ - = ù ù ị = ị ớ ù = ù ợ giải hệ này đợc nghiệm (x;y) là 1 5 (1 5; ) 2 - - và 1 5 (1 5; ) 2 + + 0 .25 2. 2 *Với b=-a-3. đơng với 2 2 2 2 2 4 2 7 2 0 ( ) 3 2 0 6 2 ( ) 2 3 0 ( ) 3( ) 2 0 x x x x y y y y x x x x y y y y ỡ ỡ + - + = - - + = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + - + = - - + = ù ù ợ ợ 0 .25 *Đặt