BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỔ KHUYẾTCHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ THƯỜNG GẶPGiáo viên báo cáo : Phạm Đỗ HảiĐơn vị : Trường THPT Tây NamMỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY.BÀI TOÁN 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐPP : 1) Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến ( nghịch biến) trên R (Thường là hàm số bậc 3)+ Tập xác định. + Tính y’.+ Hàm số luôn đồng biến trên R khi y’ ( 0 (y’ ( 0)(x(R.Từ đó dùng pp đồ thị hoặc sử dụng a >0 và ( ( 0 (a 0( 3x2 + 6x ( m, ( x > 0()Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = 3x2 + 6x trên 0 ; + () . (Do g(x) liên tục tại x = 0)Từ đó ta được : () ( m ( 0.Ví dụ 2 Cho hàm số có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2 ; + ()Giải.Tập xác định : D = R. (y’= 0 có )Hàm số đồng biến trên .Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (3 ; +()GiảiTập xác định : D = R {1}Khi đó ta có ( 2x2 – 4x + 3 – m ≥ 0, (x ((3 ; +()( 2x2 – 4x + 3 ≥ m, (x ((3 ; +()Xét hàm số g(x) = 2x2 – 4x + 3 trên khoảng 3 ; +() (do g(x) liên tục tại x = 3)Ta có g’(x) = 4x – 4 > 0, (x (3 ; +() ( g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (3 ; +()( g(x) > f(3) = 9Vậy để 2x2 – 4x + 3 ≥ m, (x ((3 ; +() thì m ( g(3) = 9Ví dụ 4 Cho hàm số y = x3 – ax2 – (2a2 – 7a + 7)x + 2(a – 1)(2a – 3). Tìm a để hàm số đồng biến trên 2 ; + ()GiảiTập xác định : D = RTa có y’ = 3x2 – 2ax – (2a2 – 7a + 7)Điều kiện để hàm số đồng biến trên 2 ; +() là y’ ≥ 0 (x ( 2 ; + ( )( 3x2 – 2ax – (2a2 – 7a + 7) ≥ 0 (), (x ( 2 ; + ( )Ta có (’ = 7a2 – 21a + 21 > 0, (aGọi x1, x2 (x1 < x2) là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0 khi đó tập nghiệm của bất pt () là (–( ; x1 ( x2 ; +( ). Vậy để hàm số đồng biến trên 2 ; + ( ) thì : 2 ; + ( ) ( (–( ; x1 ( x2 ; +( ) hay x1 < x2 ( 2. Điều kiện là ( ( Ví dụ 5 Tìm tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.Thầy (cô) dùng phương pháp
Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỔ KHUYẾT CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Giáo viên báo cáo : Phạm Đỗ Hải Đơn vị : Trường THPT Tây Nam MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY. BÀI TOÁN 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PP : 1) Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến ( nghịch biến) trên R (Thường là hàm số bậc 3) + Tập xác định. + Tính y’. + Hàm số luôn đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0)∀x∈R. Từ đó dùng pp đồ thị hoặc sử dụng a >0 và ∆ ≤ 0 (a<0 và ∆ ≤ 0) 2) Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng cho trước. PP + Tập xác định. + Tính y’. + Hàm số luôn đồng biến trên R khi y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0)∀x∈R. Từ đó dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2 hoặc pp đồ thị. * Lưu ý : + Giả sử tồn tại ( ) K Max f x thì f(x) ≤ g(m), ∀x∈K ⇔ ( ) K Max f x ≤ g(m) + Giả sử tồn tại ( ) K Min f x thì f(x) ≥ g(m), ∀x∈K ⇔ ( ) K Min f x ≥ g(m). Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + mx + 4, trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞). Giải Tập xác định : D = R y’ = – 3x 2 – 6x + m Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) ⇔ y’ = – 3x 2 – 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0 ⇔ 3x 2 + 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 1 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = 3x 2 + 6x trên [0 ; + ∞) . (Do g(x) liên tục tại x = 0) Từ đó ta được : (*) ⇔ m ≤ 0. Ví dụ 2 Cho hàm số 3 2 y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 = − + + + + có đồ thị (C m ). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2 ; + ∞) Giải. Tập xác định : D = R 2 y' 6x 6(2m 1)x 6m(m 1)= − + + + . 1 2 x m y' 0 x m 1 = = ⇔ = + (y’= 0 có 01)(4)12( 22 >=+−+=∆ mmm ) Hàm số đồng biến trên ( ) +∞;2 ⇔ y' 0≥ 2>∀x ⇔ 21 ≤+m ⇔ 1≤m . Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số 2 2x 3x m y x 1 − + = − đồng biến trên khoảng (3 ; +∞) Giải Tập xác định : D = R \ {1} Khi đó ta có ( ) 2 2 2x 4x 3 m y' 0, x 3 x 1 − + − = ≥ ∀ > − ⇔ 2x 2 – 4x + 3 – m ≥ 0, ∀x ∈(3 ; +∞) ⇔ 2x 2 – 4x + 3 ≥ m, ∀x ∈(3 ; +∞) Xét hàm số g(x) = 2x 2 – 4x + 3 trên khoảng [3 ; +∞) (do g(x) liên tục tại x = 3) Ta có g’(x) = 4x – 4 > 0, ∀x ∈[3 ; +∞) ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (3 ; +∞) ⇒ g(x) > f(3) = 9 Vậy để 2x 2 – 4x + 3 ≥ m, ∀x ∈(3 ; +∞) thì m ≤ g(3) = 9 Ví dụ 4 Cho hàm số y = x 3 – ax 2 – (2a 2 – 7a + 7)x + 2(a – 1)(2a – 3). Tìm a để hàm số đồng biến trên [2 ; + ∞) Giải Tập xác định : D = R Ta có y’ = 3x 2 – 2ax – (2a 2 – 7a + 7) Điều kiện để hàm số đồng biến trên [2 ; +∞) là y’ ≥ 0 ∀x ∈ [2 ; + ∞ ) ⇔ 3x 2 – 2ax – (2a 2 – 7a + 7) ≥ 0 (*), ∀x ∈ [2 ; + ∞ ) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 2 x g(x) +∞ 0 +∞ 0 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ta có ∆’ = 7a 2 – 21a + 21 > 0, ∀a Gọi x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0 khi đó tập nghiệm của bất pt (*) là (–∞ ; x 1 ] ∪ [x 2 ; +∞ ). Vậy để hàm số đồng biến trên [2 ; + ∞ ) thì : [2 ; + ∞ ) ⊂ (–∞ ; x 1 ] ∪ [x 2 ; +∞ ) hay x 1 < x 2 ≤ 2. Điều kiện là ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 4 x x 4 x 2 x 2 0 x x 2 x x 4 0 + ≤ + ≤ ⇔ − − ≥ − + + ≥ ⇒ 2 2a 4 3 2a 7a 7 4a 4 0 3 3 ≤ − + − − + ≥ ⇔ 5 1 a 2 − ≤ ≤ Ví dụ 5 Tìm tham số m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Thầy (cô) dùng phương pháp của mình giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài toán trên? B1 : Tìm tập xác định B2 : Tính y’ B3 : TH1 y’ ≥ 0 ,∀x∈R loại TH2 : y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ⇒ x 2 − x 1 = 3 B4 : Biến đổi và áp dụng định lí viét tìm m Giải Tập xác định D = R y’ = 3x 2 + 6x + m y’ = 0 có ∆’ = 9 − 3m Xét ∆’ ≤ 0 thì y’ ≥ 0 ,∀x∈R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R (không thoả mãn) Xét ∆’ > 0 ⇔ m < 3 thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 Bảng biến thiên Theo đề bài : x 2 − x 1 = 3 ⇔ (x 2 − x 1 ) 2 = 9 ⇔ 2 2 1 2 1 2 x x 2x x 9+ − = ⇔ (x 2 + x 1 ) 2 − 4x 1 x 2 = 9 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 3 x y’ y −∞ +∞ x 1 x 2 0 0 − + + Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 ⇒ 4 − 4 m 3 = 9 ⇔ m = − 15 4 (thoả mãn) Bài tập tự nghiên cứu Bài 1 : Với giá trị nào của tham số m để hàm số m y x 2 x 1 = + + − đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Bài 2 Xác định m để hàm số ( ) ( ) 3 2 x y m 1 x m 3 x 3 = − + − + + đồng biến trên khoảng (0;3). Bài 3 Cho hàm số y = x 3 – 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2. Tìm m để hàm số: a) Đồng biến trên R. b) Đồng biến trên khoảng (2 ; +∞). Bài 4 Cho hàm số y = –x 3 + 3x 2 + mx – 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2). BÀI TOÁN 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PP : + Tập xác định + Tính y’ + Số lần đổi dấu qua các nghiệm của y’ = 0 là số cực trị + Tuỳ theo điều kiện tiếp theo của bài mà ta tìm và suy ra giá trị của tham số. * Lưu ý : Định lí viét Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = x 3 – (m – 3)x 2 + (4m –1)x – m đạt cực trị tại x 1 , x 2 sao cho x 1 < –2 < x 2 . Giải Tập xác định : D = R y’ = 3x 2 – 2(m – 3)x + 4m – 1 y’ = 0 ⇔ 3x 2 – 2(m – 3)x + 4m – 1 = 0 (1) Để hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 sao cho x 1 < –2 < x 2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn x 1 < –2 < x 2 . ⇔ (x 1 + 2 )(x 2 + 2) < 0 ⇔ x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) + 4 < 0 Áp dụng định lí viet ta có : 4m 1 4(m 3) 4 0 3 3 − − + + < ⇔ 8m – 1 < 0 ⇔ 1 m 8 < Ví dụ 2 Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 1. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1 Giải Tập xác định D = R Ta có : y’ = 4x 3 + 4mx Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 4 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 y’ = 0 ⇔ 2 x 0 x m = = − Hàm số có 3 cực trị khi y’ đổi dấu 3 lần trên D ⇔ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0 Khi đó ta có 3 điểm cực trị là A(0 ; 1), B( m− − ; 1 – m 2 ), C( m− ; 1 – m 2 ) Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương, ta có ∆ABC cân tại A, Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì xét ∆ADC vuông tại D ta có sinC = AD AC . Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, áp dụng định lí sin trong ∆ABC ta có 2 AB AB.AC AC 2R 2 2 sin C AD AD = ⇒ = ⇔ = ⇔ –m + m 4 = 2m 2 ⇔ m 3 – 2m – 1 = 0 Giải tìm và kiểm tra lại ta được m = –1, 1 5 m 2 − = Ví dụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0 Giải Tập xác định : D = R Ta có y’ = 3x 2 – 6x + m 2 . Để hàm số có hai điểm cực trị thì y’ phải đổi dấu hai lần ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ 9 – 3m 2 > 0 ⇔ 3 m 3− < < Đường nối hai cực trị là (d) có phương trình : ( ) 3 2 2 m y m 3 x m 3 3 = − + + Gọi A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) là hai điểm cực trị của hàm số đã cho khi đó trung điểm I của đoạn AB có toa độ là I(1 ; m 2 + m – 2) A, B đối xứng với nhau qua (∆) : 1 5 y x 2 2 = − ⇔ (d) ⊥ (∆) và I ∈ (∆) ⇒ ( ) 2 2 2 1 m 3 . 1 3 2 m 0 1 5 m m 2 2 2 − = − ⇔ = + − = − Ví dụ 4 (2013B) Cho hàm số 3 2 2 3( 1) 6 (1)= − + +y x m x mx , với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2. Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 5 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Giải Tập xác định : D = R 2 ' 6 6( 1) 6y x m x m = − + + Hàm số (1) có 2 cực trị A và B ⇔ y’=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (m + 1) 2 – 4m > 0 ⇔ m ≠ 1. Ta có = − − + + 2 2 ( 1)y m x m m là đường thẳng qua A và B = ⊥ = + ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ = 2 2 0 ( ): 2 ( 1) .1 1 ( 1) 1 2 m AB d y x m m m Vậy m = 0 hay m = 2 thì thoả mãn yêu cầu của bài toán. Ví dụ 5 (2012A) Cho hàm số 4 2 2 2 1 1= − + +y x ( m )x m ( ) ,với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Giải y’ = 4x 3 – 4(m + 1)x y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x 2 = (m + 1) Hàm số có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0 ; m 2 ), B (− 1m + ; – 2m – 1); C ( 1m + ; –2m – 1) Do AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M (0; −2m–1) Do đó BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) ⇔ 2 1m + = 2(m 2 + 2m + 1) ⇔ (m + 1) 2 = 1m + ⇔ (m + 1) 4 = m + 1 ⇔ (m + 1) 3 = 1 ⇔ 1 = (m + 1) ⇔ m = 0 Ví dụ 6 (2014B) Cho hàm số y = x³ – 3mx + 1(1), với m là tham số thực.Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho ΔABC cân tại A. Giải Ta có ¢ ¢ = - = =Û 2 2 3 3 , 0y x m y x m . Đồ thị hàm số đã cho có 2 cực trị khi ¢ = 0y có 2 nghiệm phân biệt hay > 0.m Gọi ( ) ( ) - + - +; 2 1 , ; 2 1B m m m C m m m là 2 cực trị của hàm số. Tam giác ABC cân ở A khi =AB AC hay ( ) ( ) ( ) ( ) - - + - = - + - - - =Û 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0m m m m m m m m m Phương trình cuối có nghiệm dương duy nhất là = 1 4 m . Vậy giá trị cần tìm là = 1 4 m Ví dụ 7 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 6 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Tìm m để đồ thị hàm số y = − 1 4 x 4 + 3 2 mx 2 (1) có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. Thầy (cô) dùng phương pháp của mình giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài toán trên? B1: Tìm tập xác định B2 :Tính y’ B3 : hàm số có ba cực trị ⇒ y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇒ toạ độ của 3 điểm cực trị B4 : ∆OAB đều ⇒ OA = AB ⇒ tham số m Giải Tập xác định D = R y’ = −x 3 + 3mx = −x(x 2 − 3m) y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x 2 = 3m Điều kiện để hàm số (1) có 3 cực trị là 3m > 0 ⇔ m > 0 Khi đó 3 điểm cực trị : O(0 ; 0) , 2 9 A 3m; m 4 − ÷ , 2 9 B 3m; m 4 ÷ ∆OAB đều ⇔ OA OB OA AB = = ⇒ OA = AB ⇒ 4 81 3m m 2 3m 16 + = ⇔ 3m + 4 81 m 16 = 12m ⇔ m 3 = 16 9 ⇔ m = 3 2 6 3 (thoả mãn) Bài tập tự nghiên cứu Bài 1 Tìm m để mỗi hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước a) y = x 4 + 2(m – 1)x 2 + m + 5 có 3 cực trị Đ/S : m < 1 b) y = 1 3 x 3 – x + m có hai cực trị trái dấu Đ/S : 2 2 m 3 3 − < < c) y = –x 3 + 3(m + 1)x 2 – (3m 2 + 7m – 1)x + m 2 – 1 đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 Bài 2 Tìm m để đồ thị của hàm số y = x 3 – 3mx 2 + (m 2 + 2m – 3)x + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy Đ/S : –3 < m < 1 Bài 3 Tìm m để hàm số y = x 3 + 2(m – 1)x 2 + (m 2 – 4m + 1)x – 2m 2 – 2 có hai điểm cực trị x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + Đ/S : m = 1, m = 5 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 7 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Bài 4 Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 1 y x m 2 x (5m 4)x m 1 3 = + − + + + + đại cực trị tại x 1 , x 2 sao cho x 1 < –1 < x 2 Đ/S: m < –3 Bài 5 Tìm m để đồ thị của hàm số y = 1 3 x 3 – mx 2 – x + m + 11 hai điểm cực trị ( ) ( ) 1 1 2 2 x ; y , x ;y sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Đ/S : 2 13 mind 3 = khi m = 0 Bài 6 Cho hàm số ( ) 4 2 2 m y x 2m x 1 C = − + (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân Đ/S : m = –1, m = 1 Bài 7 Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 m y x 3x 3 1 m x 1 3m C = − + − + + . Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 Đ/S : m = 1 Bài 8 Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 −3m – 1.Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0 Đ/S : m = 2 Bài 9 Cho hàm số 3 2 2 3 y x 3mx 3(m 1)x m m= − + − − + 1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Đ/S : 3 2 2m = − − , 3 2 2m = − + . BÀI TOÁN 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PP : * Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 ) B1 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 . (1) B2 : Tính x 0 hoặc y 0 (nếu chưa có) B3 : Tính y’ và y’(x 0 ) B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. * Dạng 2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k B1 : Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm B2 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x 0 )(x – x 0 ) + y 0 . (1) B3 : Giải phương trình y’(x 0 ) = k tìm x 0 và tính y 0 . B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1 Cho hàm số 2x 3 y x 2 − = − có đồ thị (C).Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 8 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Giải Lấy điểm 1 M m;2 m 2 + ÷ − ( ) C∈ (điều kiện m ≠ 2). Ta có : ( ) ( ) 2 1 y' m m 2 = − − . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : ( ) ( ) 2 1 1 y x m 2 m 2 m 2 = − − + + − − Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : 2 A 2;2 m 2 + ÷ − Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2) Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 1 AB 4 m 2 8 m 2 = − + ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi m = 1 ; m = 3 Ví dụ 2 Cho hàm số x 3 y x 1 − = + có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB Giải Vì OA = 4OB và ∆ OAB vuông tại O nên có 1 tan 4 OB A OA = = ⇒ Tiếp tuyến AB có hệ số góc k = 1 4 ± Phương trình y’(x 0 ) = k 0 2 0 0 3 4 1 5 ( 1) 4 = ⇔ = ⇔ ⇔ = − + x x x Với x 0 = 3 ⇒ y 0 = 0, tiếp tuyến có phương trình 1 ( 3) 4 y x= − Với x 0 = −5 ⇒ y 0 = 2, tiếp tuyến có phương trình 1 1 13 ( 5) 2 4 4 4 y x y x= + + ⇔ = + Ví dụ 3 Cho hàm số x 1 y 2(x 1) − = + có đồ thị (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d: 4x + y = 0. Giải. Gọi M 0 0 0 1 ; 2( 1) − ÷ + x x x ( )C∈ là điểm cần tìm. Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình. ∆ : ' 0 0 0 0 1 ( )( ) 2( 1) x y f x x x x − = − + + ( ) 0 0 2 0 0 1 1 ( ) 2( 1) 1 x y x x x x − ⇒ = − + + + Gọi A = ∆ ∩ ox ⇒ A( 2 0 0 2 1 2 x x− − − ;0); B = ∆ ∩ oy ⇒ B(0; 2 0 0 2 0 2 1 2( 1) x x x − − + ). Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 9 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Khi đó ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆ OAB có trọng tâm là: G 2 2 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 ; 6 6( 1) x x x x x − − − − − ÷ + . Do G ∈ d:4x + y = 0 ⇒ 2 2 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 4. 0 6 6( 1) x x x x x − − − − − + = + ⇔ ( ) 2 0 1 4 1x = + (vì A, B ≠ O nên 2 0 0 2 1 0x x− − ≠ ) 0 0 0 0 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 x x x x + = = − ⇔ ⇔ + = − = − Với 0 1 1 3 x M ; 2 2 2 = − ⇒ − − ÷ ; với 0 3 3 5 x M ' ; 2 2 2 = − ⇒ − ÷ . Ví dụ 4 Cho hàm số x y x 1 = − (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Giải. Giả sử 0 0 0 x M x ; (C) x 1 ∈ ÷ − mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ∆ : 0 0 2 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = − − + − − 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x ⇔ − − + = − − Ta có d(I , ∆) = 0 2 0 4 2 0 0 2 x 1 2 1 1 1 (x 1) (x 1) (x 1) − = + − + − − . d(I ;∆) lớn nhất khi và chỉ khi 2 0 2 0 1 A (x 1) (x 1) = − + − nhỏ nhất A ≥ 2 A nhỏ nhất khi ( ) 4 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 = − = ⇔ − = ± ⇔ = x x x x + Với x 0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = −x + Với x 0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = −x + 4 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 10 [...]... 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vào 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5) mặt khác ta lại có AB = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 2( x1 + x2 ) 2 − 8 x1 x2 (6) thay (3) vào (6) ta được AB = 2m 2 + 32 ≥ 32 vậy AB = 32 nhỏ nhất khi m = 0 (7) Từ (1), (5), (7) ta có m = 0 thoả mãn Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 12 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ví dụ 4 Cho hàm số y = m−x có đồ thị là (H m ) ,... 2 2 AB2 = 5 ⇔ ( x1 − x2 ) + 4( x1 − x2 ) = 5 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1 x2 = 1 ⇔ m2 - 8m - 20 = 0 ⇔ m = 10 , m = – 2 ( Thỏa mãn (2)) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 11 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ví dụ 2 Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất Giải 2 Phương trình hoành độ giao điểm : x3 + mx + 2 = 0 ⇒ m = − x − Xét f(x) = − x 2...Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Bài tập tự nghiên cứu Bài 1 Cho hàm số y = x 1 = 1− x +1 x +1 ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân Bài 2 Cho hàm số y =... x2 = 2 vào (1) ta được m = 2 Điều kiện đủ : Với m = 2 thay vào (1) ta được : x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 4) = 0 Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 13 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 ⇔ x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 4 lập thành một cấp số nhân Vậy m = 2 là giá trị cần tìm Bài tập tự nghiên cứu Bài 1 Cho hàm số y = 2x + 1 ( C ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ... đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ) Bài 3 Cho hàm số y = 2x + 1 có đồ thị (C) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = –x + m x+2 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất Bài 4 Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 1 cắt đồ thị (C) của hàm số y = x2... x0 − 2) ( 2 2 AB ngắn nhất khi ( x 0 − 2 ) = 1 x0 = 3 4 2 ⇔ ( x0 − 2) = 1 ⇔ ( x0 − 2) x0 = 1 Vậy M(3 ; 3) , M’(1 ; 1) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 14 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ví dụ 2 Cho hàm số y = 2x − 4 có đồ thị (C) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau x +1 qua đường thẳng MN biết M(–3 ; 0), N(–1 ; –1) Giải Phương trình đường thẳng MN : x + 2y + 3 = 0 Gọi A, B... −2) ⇔ m = −2 (thoa ) ⇒ M (−2;0) Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là M ( 0; −2 ) ; M ( −2; 0 ) Bài tập tự nghiên cứu Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 15 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Bài 1 Cho hàm số y = 2x + 4 có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng qua A(1 ; 1) và có hệ số 1− x góc k Tìm k sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 3 10 Bài 2 Cho hàm số y =... điểm M thuộc (C) có hoành độ Bài 4 Cho hàm số y = 2 2 xM = a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M Bài 5 (2014D) Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (1) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9 BÀI TOÁN 4 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PP B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm... c c ; Khi đó trung điểm I của đạon AB là I 1 ÷ hay I − ; ÷ 2 2 4 2 Mà I ∈ MN ⇔ c = – 4 thế c = – 4 vào (1) t được x = 0, x = 2 Vậy A(0 ; – 4), B(2 ; 0) thoả điều kiện bài toán Ví dụ 3 (2014A,A1) Cho hàm số y = x +2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho x −1 () khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng y = − x bằng 2 Giải m+2 Điểm M thuộc (C) có tọa độ dạng M m; ÷ , điều kiện ( m ∈ R,... (*) uuu r Gọi A x1 ; − x1 ÷; B x2 ; − x2 ÷⇒ AB = ( x2 − x1 ; x1 − x2 ) ⇔ AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = x2 − x1 2 2 2 1 1 2 −1 Khoảng cách từ O đến d là h , thì : h = Theo giả thi t : S = Hay : 2 1 1 AB.h = x2 − x1 2 2 2 2 + 22 2 1 2 2 = = 1 2 2 1 ∆ 1 17 − 16m 3 = = 4 a 4 2 8 1 17 − 16m 3 1 = ; ⇔ 17 − 16m = 3 ⇔ 16m = 8 ⇒ m = , thỏa mãn điều kiện (*) 4 2 8 2 Ví dụ 5 Cho hàm số . toán năm 2014 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỔ KHUYẾT CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Giáo viên báo cáo : Phạm Đỗ Hải Đơn vị : Trường THPT Tây Nam MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN. 0 (*) Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang số 1 Báo cáo bồi dưỡng thường xuyên môn toán năm 2014 Ta có bảng biến thi n của hàm số g(x) = 3x 2 + 6x trên [0 ; + ∞) . (Do g(x) liên tục tại x = 0) Từ. f(x) ≥ g(m), ∀x∈K ⇔ ( ) K Min f x ≥ g(m). Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + mx + 4, trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng