Bảng biến thiên: Đồ thị không cắt trục hoành... Dễ dàng kiểm tra n=1,n=2 không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003
đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 2 4 2
y
x
=
Tập xác định : R\{ 2 }
Ta có
2
0
4
x
x
=
ư
2
x
ư tiệm cận xiên của đồ thị là: y= , x tiệm cận đứng của đồ thị là:
2
lim
→ = ∞ ⇒ x=2
Bảng biến thiên:
Đồ thị không cắt trục hoành
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; ư2)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Đường thẳng d m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt
⇔ phương trình 4 2 2
2
x
ư có hai nghiệm phân biệt khác 2 2
(m 1)(x 2) 4
⇔ ư ư = có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ mư >1 0 ⇔ >m 1
Vậy giá trị m cần tìm là m>1
0,5đ 0,5đ
x
2 6
ư2
O
y
ư 2 + ∞ + ∞
Trang 2Câu 2 2điểm
1) Giải phương trình 2 π 2 2
x
Điều kiện: cosx≠0 (*) Khi đó
2 2
x
x
π
⇔ ư(1 sinx)sin2x= +(1 cosx)cos2 x
(1 sinx)(1 cos )(1 cos )x x (1 cosx)(1 sin )(1 sin )x
(1 sinx)(1 cos )(sinx x cos ) 0x
π 2π
π 4
x
x
= +
=
⇔ = ư ⇔ = +
= ư
(k∈Z )
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là:
π 2π π π 4
= +
= ư +
(k∈Z)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2) Giải phương trình 2x2ưxư22+ ưx x2 =3 (1) 1 điểm
Đặt t=2x2ưx⇒ >t 0
Khi đó (1) trở thành 4 2
3 t 3t 4 0 (t 1)(t 4) 0 t t
Vậy 2x2ưx = ⇔4 x2ư = 2x 1
2
= ư
⇔ =
x x
Do đó nghiệm của phương trình là 1
2
= ư
=
x x
0,5đ
0,5đ
Từ ( )C : (xư1)2+(yư2)2=4 suy ra ( )C có tâm I(1; 2) và bán kính R=2
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là nuur =(1; 1).ư Do đó đường thẳng ∆ đi qua
và vuông góc với d có phương trình:
(1; 2)
x y 3 0
Tọa độ giao điểm H của d và ∆ là nghiệm của hệ phương trình:
(2;1)
3 0 1
H
GọiJ là điểm đối xứng với I(1; 2) qua d Khi đó
(3;0)
2 0
J
⇒
Vì đối xứng với ( qua nên có tâm là và bán kính
Do đó có phương trình là:
( ')C
(C
)
2 2
(3;0)
Tọa độ các giao điểm của (C) và ( ')C là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
3, 2
Vậy tọa độ giao điểm của ( )C và (C') là A(1;0) và B(3; 2)
0,5
0,25đ
0,25đ
Trang 32) 1 điểm
Ta có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định d k là nuur1=(1;3 ; 1)k ư
và uurn2 =( ; 1;1)k ư Vectơ pháp tuyến của ( )P là nr =(1; 1; 2)ư ư
Đường thẳng d k có vectơ chỉ phương là:
2
1 2, (3 ư ư ư ư ư1; k 1; 1 3 ) 0 k ≠r k
Nên
2
1
k
Vậy giá trị cần tìm là
0,5đ
0,5 đ
Ta có (P) ⊥ (Q) và ∆ = (P) ∩ (Q), mà
AC ⊥ ∆ ⇒ AC ⊥(Q) ⇒AC ⊥ AD, hay
Tương tự, ta có BD ⊥ ∆ nên
BD ⊥(P), do đó CBD Vậy A và B
A, B nằm trên mặt cầu đường kính CD
0
90
=
CAD
0
90
=
Và bán kính của mặt cầu là:
2 2
1
CD
2 2 2
a
Gọi H là trung điểm của BC⇒ AH ⊥ BC Do BD ⊥(P) nên BD ⊥ AH ⇒AH ⊥ (BCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và 1 2
a
AH = BC=
0,25đ
0,25đ
0,5đ
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1 1
x y x
+
= + trên đoạn [ư1; 2] 1 điểm
2 3
1
( 1)
x y
x
ư
=
+
y = ⇔ = x
5 y(1)
Vậy
[max y1;2] y(1) 2
ư = = và
[min1;2]y y( 1) 0
0,5đ
0,5đ
2) Tính tích phân
2 2 0
Ta có x2ư ≤x 0 ⇔ 0≤ ≤ , suy ra x 1
I x x dx x x dx
1
= ư + ư =
0,5đ
0,5đ
ur=n nuur uur= k
( ) ||
d k ⊥ P ⇔u nr r ⇔
∀
C
D
P
Q
∆
H
Trang 4Câu 5 1điểm Cách 1: Ta có (x2+1)n=C x n0 2n+C x1 2n nư2+C x n2 2nư4+ + C n n,
0 1 1 2 2 2 3 3 3
(x+2)n =C x n n+2C x n nư +2 C x n nư +2 C x n nư + + 2n C n n
Dễ dàng kiểm tra n=1,n=2 không thỏa mãn điều kiện bài toán
Với n≥3 thì x3nư3=x x2n nư3=x2nư2x nư1
Do đó hệ số của x3nư 3 trong khai triển thành đa thức của(x2+1) (n x+2)n là
n
C
3 0 3 1 1
3n 3 2 n n 2 .n
Vậy
2
3 3
5
3
2
ư
=
= ư
n
n
n
Vậy n=5 là giá trị cần tìm (vì nguyên dương) n
Cách 2:
Ta có
2
2
x x
x x
Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3nư3 khi ư ư = ư2i k 3
3
k
, hay
Ta chỉ có hai trường hợp thỏa điều kiện này là
2i k+ = 3 0,
i= = hoặc i 1,= k= 1 Nên hệ số của x3nư 3 là 0 3 3 1 1
3n 3 n n.2 n .2n
a ư =C C +C C
Do đó
2
3 3
5
3
2
ư
=
= ư
n
n
n
Vậy n=5 là giá trị cần tìm (vì nguyên dương).n
0,75đ
0,25đ
hoặc
0,75đ
0,25đ