0 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 3 1 1 3 y x x m x m (1) 1) Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1 m . 2) Tìm t ất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳn g 0 x y một góc 30 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình 2 1 1 4 3 x x x . 2) Gi ải phương trình sin cos 2 tan 2 cos 2 0 sin cos x x x x x x . Câu III (1 điểm) Tính tích phân 1 2 0 1 dx I x x . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có SA x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a 0, 0 x a . Ch ứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng SAC . Tìm x theo a để thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 2 6 a . Câu V (1 điểm) Cho ba số không âm , , a b c thay đổi luôn thoả mãn điều kiện 1 a b c . Ch ứng minh rằng: 2 2 2 12 1 a b c abc PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm 3;3 A và đường thẳng : 2 0 d x y . Lập phương tr ình đường tròn đi qua A cắt d tại hai điểm , B C sao cho AB AC và AB AC . 2) Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz cho điểm 3; 2; 2 A và mặt phẳng P có phương trình : 1 0 x y z . Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A , vuông góc với mặt phẳng P biết rằng mặt phẳng Q cắt hai trục , Oy Oz lần lượt tại hai điểm phân biệt , M N sao cho OM ON ( O là gốc toạ độ). Câu VII.a (1 điểm) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức của: 10 2 1 1 2 4 x x x . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và đường thẳng AB có phương trình 0 x y .Biết rằng điểm (2;1) I là trung điểm của đoạn thẳng BC , hãy tìm t ọa độ trung điểm K của đoạn thẳng AC . 2) Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3 0 P x y z và 2;2; 2 A . L ập phương trình mặt cầu đi qua A cắt P theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ diện ABCD đều với đáy BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến. Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình 1 2 2 2 log 0 1 1 5 1 0 x y x y x y y Hết 1 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI 12 (Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm I 1) Khi 1 m , hàm số (1) trở thành: 3 2 3 4 y x x Tập xác định Sự biến thiên: ' 2 ' 3 6 , 0 0 2 y x x y x x 0.25 y CĐ =y(0)=4, y CT =y(2)=0 0.25 Bảng biến thiên x 0 2 ' y 0 0 y 4 0 0.25 Đồ thị 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x = x 3 -3 x 2 +4 0.25 2) ' 2 2 3 6 3 1 3 2 1 y x x m x x m Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu phương trình ' 0 y có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x và ' y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0 m 0.25 2 1 2 1 2 2 2 y x x x m mx m ; 1 1 2 2 2 y x mx m 2 2 2 2 2 y x mx m . Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là 2 2 2 2 2 2 0 y mx m mx y m . 0.50 Đường thẳng 2 2 2 0 mx y m có một véctơ pháp tuyến 1 2 ;1 n m ; đường thẳng 0 x y có một véctơ pháp tuyến 2 1;1 n . Theo bài ra ta có 0.25 2 1 2 2 2 1 2 . 2 1 3 2 3 cos30 4 8 1 0 2 2 . 4 1. 2 n n m m m m n n m II 1) Điều kiện 0 x . 2 1 1 4 3 x x x 2 2 1 4 1 3 1 0 2 1 2 1 0 3 1 x x x x x x x x 0.50 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 3 1 x x x x x x . 0.50 2) Điều kiện cos 2 0 x Phương trình 2 2 2 sin cos 2 sin 2 cos 2 0 sin 2 sin 2 0 x x x x x x 0.50 sin 2 0 sin 2 1 x x . Do sin 2 1 x thì cos 2 0 x , nên chỉ có sin 2 0 2 x x k k 0.50 III Đặt sin cos x t dx tdt ; Khi 0 x thì 0 t ; Khi 1 x thì 2 t . 0.25 2 2 2 0 0 0 sin cos cos sin cos 1 1 cos sin 1 sin cos 2 sin cos 2 sin cos t t t t tdt t t I dt dt t t t t t t 0.50 2 0 1 ln sin cos 2 4 I t t t . 0.25 IV Do , B D cách đều , , S A C nên BD SAC . Gọi O AC BD . Các tam giác , , ABD BCD SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD chung nên OA OC OS . Do đó tam giác SAC vuông tại S . 0.50 2 2 2 2 2 2 2 . . 1 1 1 1 2. 2. . . . 3 6 3 3 4 6 S ABCD S ABC a x V V BO SA SC ax AB OA ax a ax a x 0.25 3 2 2 . 2 1 3 6 6 2 S ABCD x a a V ax a x x a 0.25 V V ới 1 a b c thì 2 2 2 2 2 2 2 12 1 12 ( ) ( ) 12( ) 2( ) a b c abc abc a b c a b c a b c abc ab bc ca 0.50 2 3( ) ( ) 3( ) ( ) a b c abc ab bc ca a b c abc ab bc ca 2 2 2 1 [( ) ( ) ( ) ] 0 2 ab bc bc ca ca ab (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1 3 a b c 0.50 VI.a 1) Gọi , I R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm. Ta có , 2 2 R d A d . Tâm I chính là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d . 0.25 Gọi a là đường thẳng qua A và vuông góc với d . Suy ra : 0 a x y 0.25 3 Toạ độ tâm I là nghiệm của hệ 0 1 2 0 x y x y x y . Tâm 1;1 I 0.25 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình 2 2 1 1 8 x y 0.25 2) Giả sử n là một vec tơ pháp tuyến của (Q) Vì ( ) ( ) P Q nên (1, 1, 1) P n n (1) 0.25 mặt phẳng Q cắt hai trục , Oy Oz lần lượt tại hai điểm 0; ;0 , 0;0; M a N b phân biệt sao cho OM ON nên 0 0 0 b a a b b a Ta thấy n MN (2). Xét 2 trường hợp 0.25 Trường hợp 1: nếu 0 b a thì (0, , ) / / (0, 1,1) MN a a u Từ (1) và (2) suy ra có thể chọn , (2,1,1) P n u n là một vec tơ pháp tuyến của Q Mp Q có phương trình 2( 3) ( 2) ( 2) 0 2 2 0 x y z x y z Khi đó Q cắt , Oy Oz tại 0;2;0 , 0;0;2 M N ( thỏa mãn đề bài) 0.25 Trường hợp 2: nếu 0 b a thì (0, , ) / / (0,1,1) MN a a v Từ (1) và (2) suy ra có thể chọn , (0,1, 1) P n v n là một vec tơ pháp tuyến của Q , Q có phương trình 0( 3) ( 2) ( 2) 0 0 x y z y z Khi đó Q cắt , Oy Oz tại 0;0;0 O (không thỏa mãn đề bài) Vậy mặt phẳng Q có phương trình 2 2 0 x y z 0.25 VII.a 2 10 2 10 12 1 1 1 ( )(1 2 ) (4 4 1)(1 2 ) (1 2 ) 4 4 4 x x x x x x x 0.25 Theo khai triển Newton số hạng chứa 8 x là 8 8 8 12 1 .2 . 4 C x 0.50 Hệ số của 8 x bằng 8 8 12 1 .2 4 C =31680 0.25 VI.b Đường thẳng IK qua I và song song với AB có phương trình 1 0 x y 0.25 Chiều cao kẻ từ C của ABC bằng h= 2 2 2 1 2. 2 1 ( 1) 2. 4 2 2 2 ABC S AB h 0.25 2 2 AB IK suy ra K nằm trên đường tròn (C ) tâm I bán kính 2 có phương trình 2 2 ( 2) ( 1) 2 x y 0.25 Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 2 2 ( 2) ( 1) 2 1 0 x y x y Tìm được 1;0 K hoặc 3; 2 K . 0.25 4 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P . Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với P . Ta có d : 2 2 2 x t y t z t 2 ;2 ; 2 H d H t t t . Mà H P nên 2 2 2 3 0 1 t t t t . V ậy 1;1;1 H ; 3 AH . 0.25 ABH vuông tại H 2 2 2 2 2 2 2 3 9 3 3 2 2 AB AH HB AB AB AB 0.25 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng AH tại I . Điểm I chính là tâm mặt cầu cần tìm. Ta có 2 3 3 . . 2 4 AB AM AB AI AH R AI AH 0.25 Từ 3 4 AI AH . Suy ra 5 5 5 ; ; 4 4 4 I Mặt cầu cần tìm có phương trình: 2 2 2 5 5 5 27 4 4 4 16 x y z 0.25 VII.b 1 2 2 2 log 0 1 1 1 5 1 0 2 x y x y x y y Điều kiện 0 1 x y . Trường hợp 1: 0 0 1 0 1 x x y y (1) 1 1 2 2 2 2 2 2 log log 1 0 2 2 log 1 log x y x y x y y x Nếu 1 x y thì vế trái dương, vế phải âm (loại); Nếu 1 x y thì vế trái âm, vế phải dương (loại) Vậy 1 x y hay 1 y x . Thay vào (2) ta có: 2 5 6 0 2 3 x x x x Với 2 x thì 1 y ; Với 3 x thì 2 y (thoả mãn điều kiện). 0.50 Trường hợp 2: 0 0 1 0 1 x x y y (*) T ừ (2) có 1 5 1 1 0 5 y x y y . Mâu thuẫn với (*). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ; (2; 1);(3; 2) x y 0.50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. Hết Thạch Thành, ngày 30 tháng 3 năm 2010 Người ra đề và làm đáp án : BÙI TRÍ TUẤN . 0 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KH I 12 (200 9-2 010) Th i gian làm b i 180 phút, không kể th i gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 i m) Câu I (2 i m). Hết 1 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I Năm học 200 9-2 010 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KH I 12 (Đáp án- thang i m gồm có 04 trang) Câu N i dung i m I 1) Khi 1 m , hàm số (1) trở thành: 3 2 3. theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ diện ABCD đều v i đáy BCD là tam giác đều n i tiếp đường tròn giao tuyến. Câu VII.b (1 i m) Gi i hệ phương trình 1 2 2 2 log 0 1 1 5 1 0 x