Bài tập đại số sơ cấp - Chương 4 pot

43 2 2 os 3 os +1 0. c x mc x + ≥ Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với [0; ]. x π ∀ ∈ III.28. Cho bất phương trình 2 2 1 1 (2 3)( ) 2( 2) 0. x m x m x x + + + + + + > Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với 0. x ∀ ≠ III.29. Cho bất phương trình 3 2 (2 1) 3( 4) 12 0. x m x m x m − + + + − − > Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với 1. x ∀ > III.30. Cho bất phương trình ( 1)( 1)( 3)( 5) . x x x x m − + + + > Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với 1. x ∀ > − III.31. Cho bất phương trình ( 2)( 2)( 4) 2 . x x x x m − + + < Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm 0. x > III.32. Chứng minh rằng phương trình ( ) 2 4 4 1 1 x x + = có đúng ba nghiệm phân biệt. CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Ta gọi phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đó là phương trình dạng ( ) 0, f x = trong đó ( ) f x là một hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý. (Các định lý sau làm cơ sở cho việc giải phương trình vô tỉ). 1.2.1. Định lý. [ ] 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x + + = ⇔ = 1.2.2. Định lý. 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x + + = ⇔ = 1.2.3. Định lý. 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + = ⇔ = 1.2.4. Định lý. 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k g x f x g x f x g x ≥  = ⇔  =  44 1.2.5. Định lý. 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x f x g x ≥ ∨ ≥  = ⇔  =  (Với k là số tự nhiên khác 0). 2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 2.1. Phương pháp nâng lên lũy thừa 2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Phương pháp lượng giác hóa Trong một số trường hợp, nếu chúng ta đặt ẩn phụ bởi các hàm số lượng giác, thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn. Kiến thức cần nhớ như sau. + Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là , 0 k x k k − ≤ ≤ > hay phương trình có chứa 2 2 k x − thì đặt sin , [ ; ]; 2 2 x k t t π π = ∈ − hoặc đặt cos , [0; ]. x k t t = ∈ π + Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là , 0 x k k ≥ > hay phương trình có chứa 2 2 x k − thì đặt 3 ; [0; ) [ ; ); cos 2 2 k x t t π π = ∈ ∪ π hoặc đặt , [ ;0) (0; ]. sin 2 2 k x t t π π = ∈ − ∪ + Nếu trong phương trình, ẩn x nhận mọi giá trị thuộc ℝ hay phương trình có chứa 2 2 x k + thì đặt tan , ; . 2 2 x k t t π π   = ∈ −     Ngoài ra, tùy từng trường hợp, cũng có thể đặt 2 2 cos ; sin , x t x t = = 2.4. Một số phương pháp khác II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Bất phương trình vô tỉ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Nói khác đi đó là một bất phương trình có dạng ( ) 0, f x > (hoặc ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 f x f x f x < ≥ ≤ ), trong đó ( ) f x là hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý 1.2.1. Định lý. 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + ≥ ⇔ ≥ . 1.2.2. Định lý. 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + ≤ ⇔ ≤ . 1.2.3. Định lý. 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) k k g x f x f x g x g x f x g x  ≤    ≥   ≥ ⇔  ≥     ≥   45 1.2.4. Định lý. 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x f x g x g x f x g x  ≥  ≤ ⇔ ≥   ≤  2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 2.1. Phương pháp nâng lũy thừa 2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Một số phương pháp khác B. BÀI TẬP IV.1. Giải các phương trình 1) 2 (16 ) 3 0; x x − − = 2) 2 (9 ) 2 0; x x − − = 3) 2 4 2 2; x x x + − = − 4) 2 1 4 1; x x x + − = − 5) 2 1 3 2 ; x x x + + − = 6) 1 4 13 3 12; x x x+ + + = + 7) 2 2 ( 3) 10 12; x x x x+ − = − − 8) 4 1 1 2 . x x x + − − = − IV.2. Giải các phương trình 1) 2 2 3 15 2 5 1 2; x x x x + + + + = 2) 2 2 3 3 3 6 3; x x x x − + + − + = 3) 2 5 ( 2)(5 ) 4; x x x x + + − + + − = 4) 2 4 4 2 12 2 16; x x x x+ + − = − + − 5) 2 2 1 1 ; 3 x x x x + − = + − 6) 2 1 1 24 ; x x x + + − = 7) 11 11 4; x x x x + + + − + = 8) 3 33 3 35 ( 35 ) 30; x x x x− + − = 9) 3 3 2 3 3 2; x x + = − 46 10) 2 2 2 3 3 3 2 (1 ) 3 1 (1 ) 0; x x x + + − + − = 11) 3 2 6 1 2 0; x x + − + = 12) 2 3 1 3 8 3; x x x + = − + 13) 2 3 1 1. x x x x + + = + + IV.3. Giải các phương trình 1) 2 24 15 15 2; x x x x + − + = 2) 4 2 2; 2 3 x x − + = − + 3) 6 9 5 3 ; 3 x x x − = − + − 4) 2 2 4 1 3 ; x x x x x x x − = + + − + 5) 2 2 2 1 2 1 2; x x x x + + + − + = 6) 2 2 2 (2 6 10) 3 11 33 8 0. x x x x x x + + + − − + = 7) 2 2 4 3 2 2 3 2 0; x x x x x + − + − + = 8) 3 2 3 2 3 6 5 8 0; x x − + − − = 9) ( ) 4 4 4 1 32 1 ; x x x x + = − + 10) 3 2 1 1; x x − = − − 11) 3 9 2 1; x x − = − − 12) 3 2 2 2 1 4 4. x x − + − = IV.4. Giải các phương trình 1) 3 2 1 2 1 ; 2 x x x x x + + − + − − = 2) 2 2 2 1 1 4; x x x + + + − + = 3) 2 2 2( 2 4) 2 2 3 2 4; 2 x x x x x x − + = + + − + + 4) 2 3 2( 3 2) 3 8; x x x − + = + 5) 3 2 3 2 (1 ) 2(1 ) x x x x + − = − ; 47 6) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 ; x x x x   + − − − + = + −     7) 2 2 1 2 1 2 1 0; x x x x − − − − + = 8) 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ; 2 2 (1 ) x x x x x x + + + + = − 9) ( ) 2 2 1 2 1 3 2 . 2 x x x − + + − = IV.5. Giải các bất phương trình 1) 2 ( 1) 2 0; x x x − − − ≥ 2) 2 2 ( 1) 2 0; x x x − − − ≥ 3) 2 2 5 ; x x x − < − 4) 2 3 2 3 0; x x x − + − − > 5) 3 2 2 4 0; x x x + + + − + > 6) 2 2 3 5 7 3 5 2 1; x x x x + + − + + > 7) 9 1 4; x x x x + + ≥ + + + 8) 5 1 1 2 4; x x x − − − > − 9) 2 2 2 3 2 6 5 2 9 7; x x x x x x + + + + + ≤ + + 10) 2 2 2 2 2 3 4 5; x x x x x x + − + + − ≤ + − 11) 2 1 1 4 3. x x − − < IV.6. Giải các bất phương trình 1) 2 2 2 4 3 4 5; x x x x − + ≥ − + − 2) 5 1 5 2 4; 2 2 x x x x + ≤ + + 3) ( )( ) 1 3 2 1 3 4 2 ; x x x x x − + + + − + > − 4) 3 2 3 1 2 0; x x x x + + + + > 5) 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 ; x x x x x + + − + + − < − 6) 2 2( 2) 2 2 ; x x x x − + ≤ − + 48 7) 2 2( 2) 2(2 1) 2 2 1; x x x x + + − > + + − 8) 2 2 4 ( 4) 2 4; x x x x x + ≥ + − + 9) 2 2 1 2 2 ; x x x x − ≤ + 10) ( 1) 2 1 3( 1); x x x − − ≤ − 11) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 6 0; x x x − − − + − − > 12) 2 1 5 4 ; x x x − ≤ − 13) 3 2 2 2 2 . x x x x x x x − + < + − IV.7. Giải các bất phương trình 1) 16 2 41 3; x x − ≥ + 2) 2 2 (2 12 2 ); x x x x ≥ + − − 3) 2 4 0; x x x − + ≥ 4) 2 2 13 40 0; 19 78 x x x x − + ≤ − − 5) 1 0; x x − − < 6) 2 2( 16) 7 3 ; 3 3 x x x x − + − > − − 7) 2 4 4 4 2 8 0; x x x x x + + + − − > 8) 2 2 1 3 1 ; 1 1 x x x + > − − 9) 3 1 1; x x > + − 10) 2 2 3 5. 4 x x x + > − IV.8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 5 2 6 4 6 2 x x x x m − − − + − − − = . IV.9. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm 1) 2 2 4 4 ; x x x x m + − + − = 49 2) 2 1 4 1 4 4( 2 ) . x x m x x x + + = + + IV.10. Cho phương trình 2 2 2 3 5 ( ) 4 2 0. 3 x m x m + − + + − = Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m > 0. IV.11. Cho phương trình 2 1 4 5 4 2 0. x x x x x m + + + + + + + + = Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm không âm. IV.12. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( )( ) 5 7 5 7 2 1. x x m x x m + + − + + − = + IV.13. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm 2 4 3 1 1 2 1 x m x x − + + = − . IV.14. Tìm các giá trị của m để bất phương trình 2 2 2 ( 2 2 1) 2 6 2 2 m x x x x x x − + + ≥ − + + − + có nghiệm thuộc đoạn [0; 2]. IV.15. Tìm các giá trị của m để phương trình 4 4 4 4 4 6 x x m x x m + + + + + = có hai nghiệm. IV.16. Chứng minh rằng với mọi 1, m > − phương trình sau luôn luôn có hai nghiệm phân biệt 2 2 3 ( 1)( 3). x x m x − − = + − IV.17. Cho phương trình 3 ( 1) 1. x mx m − + = + Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có một nghiệm duy nhất với mọi . m IV.18. Tìm các giá trị của m để bất phương trình 2 (4 )(6 ) 2 x x x x m + − ≤ − + nghiệm đúng với mọi [ ] 4; 6 . x ∈ − IV.19. Tìm các giá trị của m để bất phương trình 50 3 1 mx x m − − ≤ + có nghiệm. IV.20. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1. x mx x + + = + IV.21. Cho bất phương trình 2 ( 1)( 3) 4 5 x x m x x + + ≤ + + 1) Giải bất phương trình khi 1; m = − 2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ 2; 2 3]. x ∈ − − + IV.22. Cho bất phương trình 2 (3 )(7 ) 4 . x x x x m + − ≤ − + Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ 3;7]. x ∈ − IV.23. Cho bất phương trình 4 2 16 4 . x x m − + − ≤ Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. IV.24. Cho bất phương trình 2 1 . x m x − ≥ − Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. IV.25. Cho bất phương trình 2 12 3 . x x m − ≤ − Tìm các giá trị của m để bất phương trình có một nghiệm duy nhất. IV.26. Cho bất phương trình 2 2 7 . m x x m + < + 1) Giải bất phương trình khi 1 ; 2 m = 2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . x ∈ ℝ IV.27. Cho bất phương trình 2 2 1 . x mx x − > − Tìm các giá trị của m để tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho chứa đoạn 1 [ ;1]. 4 IV.28. Tìm các giá trị của m để phương trình ( ) 2 24 4 2 2 4 2 2 4 m x x x x − + − − + = − 51 có nghiệm thực. IV.29. Tìm các giá trị của m để bất phương trình ( ) 3 3 2 3 1 1 x x m x x + − ≤ − − có nghiệm. IV.30. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 4 2 2 2 6 2 6 . x x x x m + + − + − = IV.31. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm 1 x < − ( ) 2 2 1 1. x mx x m x + − > + − IV.32. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2 2 4 4. x mx x m x + − = + − CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. NHẮC LẠI LOGARIT 1. Định nghĩa. Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực α sao cho a b α = được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b tức là log . a b a b α α = ⇔ = Chú ý. · Khi viết log a b thì phải hiểu là 0, 1; 0. a a b > ≠ > · Trường hợp cơ số 10 a = thì logarit cơ số 10 của số dương b ta viết là lg b và đọc là logarit thập phân của . b · Với a e = thì logarit cơ số e của số dương b ta viết là ln b và đọc là logarit tự nhiên của , b hay logarit Nêpe của . b (Số e là giới hạn 1 lim (1 ) x x x →+∞ + xấp xỉ bằng 2,718281828 ). Từ định nghĩa ta có một số kết quả sau. · log 1 0 , log 1; a a a = = · log b a a b = · log a b a b = 2. Các tính chất của logarit 2.1. Định lý. )log ( ) log log ;1 0; , 0 )log log log ;1 0; , 0 a a a a a a i bc b c a b c b ii b c a b c c = + ≠ > >   = − ≠ > >     . phân biệt 5 2 6 4 6 2 x x x x m − − − + − − − = . IV.9. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm 1) 2 2 4 4 ; x x x x m + − + − = 49 2) 2 1 4 1 4 4( 2 ) . x x m x. = 3) 2 5 ( 2)(5 ) 4; x x x x + + − + + − = 4) 2 4 4 2 12 2 16; x x x x+ + − = − + − 5) 2 2 1 1 ; 3 x x x x + − = + − 6) 2 1 1 24 ; x x x + + − = 7) 11 11 4; x x x x + + + − +. − 12) 3 2 2 2 1 4 4. x x − + − = IV .4. Giải các phương trình 1) 3 2 1 2 1 ; 2 x x x x x + + − + − − = 2) 2 2 2 1 1 4; x x x + + + − + = 3) 2 2 2( 2 4) 2 2 3 2 4; 2 x x x x x x −