Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
1,04 MB
Nội dung
GIẢN ĐỒ FEYNMAN * FEYNMAN LÀ AI? * CÁC GIẢN ĐỒ VÀ QUI TẮC FEYNMAN 1 1.1. Vài nét về Feynman Richard Feynman (1918-1988) là nhà Vật Lý người Mỹ gốc Do Thái đẫ nhận giải thưởng Nobel về Vật Lý năm 1965. 2 1.2. Các giản đồ Feynman và qui tắc Feynman Để dễ theo dõi, ta xét một trường hợp cụ thể đó là tán xạ của boson có spin bằng 0 lên electron tự do Ta có biểu thức của toán tử S như sau: S (n) (t, t 0 )= (−i) n 2 t t 0 dt 1 t t 0 dt 2 T ˆ H I (t 1 ) ˆ H I (t 2 ) ˆ H I (t n ) . Giả sử xung lượng, năng lượng của b oson ban đầu và cuối là q , ε q và q ,ε q ; xung lượng, năng lượng, hình chiếu spin của Fermion ban đầu và cuối là p, E p ,λ và p ,E p ,λ . Véctơ trạng thái đầu và cuối được cho bởi biểu thức sau: |i = a + q c + pλ |0, (1.1) |f = a + q c + p λ , (1.2) Vấn đề trung tâm là tính yếu tố ma trận f|S|i ở các bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với Hamiltonian tương tác H int = g ˆ ψ + (r, t) ˆ ψ(r, t) ˆϕ + (r, t)+ˆϕ(r, t) dr, (1.3) số hạng bậc n trong khai triển ma trận tán xạ có dạng: S (n) = (−i) n n! g n dt 1 dr 1 dt n dr n T { ˆ ψ + (r 1 ,t 1 ) ˆ ψ(r 1 ,t 1 )[ ˆϕ + (r 1 ,t 1 ) +ˆϕ(r 1 ,t 1 )] ˆ ψ + (r n ,t n ) ˆ ψ(r n ,t n )[ ˆϕ + (r n ,t n )+ ˆϕ(r n ,t n )]} (1.4) Chú ý rằng, toán tử hủy tác dụng phải lên |0 > hoặc là toán tử sinh tác dụng trái lên < 0| sẽ cho kết quả bằng không, ví dụ như: ˆϕ(r n ,t n )|0 =0, 0| ˆϕ + (r n ,t n )=0 3 ˆ ψ(r n ,t n )|0 =0, 0| ˆ ψ + (r n ,t n )=0 Do đó, để tính f|S (n) |i ta hãy dịch chuyển dần toán tử hủy sang phải và toán tử sinh sang trái cho đến khi nó tác dụng tương ứng lên|0 và 0|. Muốn vậy ta hãy chú ý đến các hệ thức giao hoán và phản giao hoán sau đây cho trường vô hướng và trường spinor ˆϕ(r, t), ˆa + q ) = e −iε q t ϕ q (r) ⇒ ˆϕ(r, t)ˆa + q =ˆa + q ˆϕ(r, t)+e −iε q t ϕ q (r) ˆ ψ(r, t), ˆc + qλ ) = e −iE p t ψ p (r) ⇒ ˆ ψ(r)ˆc + pλ = −ˆc + p λ ˆ ψ(r)+e −iE p t ψ p (r) (1.5) Lấy liên hợp hermite của biểu thức trên ta được: ˆa q ˆϕ + (r, t)= ˆϕ + (r, t)ˆa q + e iε q t ϕ ∗ (r) ˆc p λ ˆ ψ(r) + = − ˆ ψ + (r)ˆc p λ + e iE p t ψ ∗ p (r) (1.6) Bây giờ ta tính yếu tố ma trận bậc nhất f|S (1) |i = −ig dt 1 dr 1 0|a q c p λ T { ˆ ψ + (r 1 ,t 1 ) ˆ ψ(r 1 ,t 1 )[ ˆϕ + (r 1 ,t 1 )+ ˆϕ(r 1 ,t 1 )]}a + q c + p λ |0 (1.7) Để dễ quan sát, ta ký hiệu ˆ ψ(r i ,t i ) ≡ ˆ ψ(i) Vì toán tử của hai loại trường khác nhau thì giao hoán với nhau nên ta có: T { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1)[ ˆϕ + (1) + ˆϕ(1)]} = T { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1)}[ˆϕ + (1) + ˆϕ(1)] = ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1) + ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ(1) (1.8) Do đó: T { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1)[ ˆϕ + (1) + ˆϕ(1)]}a + q c + pλ = ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ + ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ(1)a + q c + pλ . (1.9) 4 Thay (1.9) vào (1.7) ta được f|S (1) |i = −ig dt 1 dr 1 0|a q c p λ { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ + ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ(1)a + q c + p λ }|0 (1.10) f|S (1) |i = −ig dt 1 dr 1 0|a q c p λ ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + p λ |0 SH1 + 0|a q c p λ ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ(1)a + q c + p λ }|0 SH2 (1.11) * Định tính: Véctơ trạng thái f| = 0|a q c p λ chỉ có hai toán tử hủy mà trong khi đó hai số hạng ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ | và ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ(1)a + q c + pλ } có4và3 toán tử sinh nên khi dịch chuyển các toán tử này sang trái thì mỗi số hạng sẽ được phân tích thành tổng các số hạng con trong đó có ít nhất 1 toán tử sinh tác dụng lên 0| và cho kết quả bằng không. * Định lượng: 5 Ta tính SH1 ở (1.11) SH1=0|a q c p λ ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ = 0|a q − ˆ ψ + (1)c p λ + e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ = −0|a q ˆ ψ + (1)c p λ ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + p λ + 0|a q e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ = −0| ˆ ψ + (1)a q c p λ ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + p λ + 0|a q e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ =0+0|a q e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1) ˆϕ + (1)a + q c + pλ = 0| a q ˆϕ + (1) e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)a + q c + pλ = 0| ˆϕ + (r, t)ˆa q + e iε q t ϕ ∗ (r) e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)a + q c + pλ = 0| ˆϕ + (r, t)ˆa q e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)a + q c + p λ + 0|e iε q t ϕ ∗ (r)e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)a + q c + p λ =0+0|e iε q t ϕ ∗ (r)e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)a + q c + pλ = 0|e iε q t ϕ ∗ (r)e iE p t ψ ∗ p (r)a + q ˆ ψ(1)c + pλ = 0|a + q e iε q t ϕ ∗ (r)e iE p t ψ ∗ p (r) ˆ ψ(1)c + pλ =0 (1.12) Tính tương tự đối với SH2 và ta thu được SH2 = 0 * Kết luận: Vậy f|S (1) |i =0 6 Tiếp theo, ta tính yếu tố ma trận bậc hai f|S (2) |i = −g 2 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ T { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1)[ ˆϕ + (1) + ˆϕ(1)] ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2)[ ˆϕ + (2) + ˆϕ(2)}a + q c + p λ |0 = −g 2 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ T { ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2)} T {[ˆϕ(1) ˆϕ(2) + ˆϕ + (1) ˆϕ(2) + ˆϕ(1) ˆϕ + (2) + ˆϕ + (1) ˆϕ + (2)}a + q c + pλ |0. (1.13) Số hạng thứ nhất của (1.13) chứa tích hai toán tử hủy boson là ˆϕ(1) ˆϕ(2) trong khi |i chỉ chứa 1 toán tử sinh boson là a + q nên khi dịch các toán tử ˆϕ(1) ˆϕ(2) sang phải thì nó sẽ được phân tích thành tổng các số hạng con, trong đó có ít nhất một toán tử trong hai toán tử hủy boson tác dụng lên |0. Vậy số hạng thứ nhất của (1.13) bằng không. Tương tự, số hạng thứ tư chứa ˆϕ + (1) ˆϕ + (2)cũng bằng không. Thực hiện phép biến đổi biến số r 1 ↔ r 2 ,t 1 ↔ t 2 ở số hạng thứ ba của (1.13). Và chú ý rằng, T-tích không đổi dấu đối với chuyển vị một số chẵn lần toán tử trường spinor hay một số bất kỳ lần toán tử trường boson. Từ đó ta thấy rằng số hạng thứ ba trở thành số hạng thứ hai. Vì vậy, ta có: f|S (2) |i = −g 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ T ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) T ˆϕ + (1) ˆϕ(2) a + q c + p λ |0. (1.14) 7 Áp dụng định lý Wick ta có T ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) =: ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) : + : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ (1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) : + || : ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) : + : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : +: || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : + : ˆ ψ + (1) || ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : +: ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) || ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : + : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ (1) || ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : +: || ˆ ψ + (1) || ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2): + || : ˆ ψ + (1) || ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2): (1.15) Lưu ý: || ˆ ψ + (1) ˆ ψ (1) = 0 || ˆ ψ + (1) ˆ ψ + (2) = 0 || ˆ ψ(1) ˆ ψ (2) = 0 || ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) = 0 || ˆ ψ + (1) ˆ ψ (1) || ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) = 0 || ˆ ψ + (1) || ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) = 0 || AB= T (AB)− : AB : ởđâyt 1 >t 2 Trong vế trái của công thức (1.15) thì các số hạng 2, 3, 6, 7, 8, 9 đều 8 bằng 0. Do đó, (1.15) có thể viết lại T ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) =: ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2) : + : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : +: || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : + || : ˆ ψ + (1) || ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ(2): (1.16) Và T ˆϕ + (1) ˆϕ(2) =: ˆϕ + (1) ˆϕ(2) : + || ˆϕ + (1) ˆϕ(2)= 0 (1.17) Lập luận tương tự như trên ta suy ra trong 4 số hạng ở vế phải của (1.16) chỉ có số hạng thứ 2 và thứ 3 là tương ứng với yếu tố ma trận khác không, trong hai số hạng ở vế phải của (1.16) chỉ có số hạng thứ nhất là tương ứng với yếu tố ma trận khác không. Kết quả ta thu được f|S (2) |i = −g 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : + : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q c + p λ |0 = −g 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q c + pλ |0 + − g 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 0|a q c p λ : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q c + p λ |0 = −g 2 dt 1 dr 1 dt 2 dr 2 (SH1+SH2) (1.18) 9 * Bây giờ ta tính SH1 SH1=0|a q c p λ : || ˆ ψ + (1) ˆ ψ(1) ˆ ψ + (2) ˆ ψ (2) : ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q c + pλ |0 = 0|a q c p λ ˆ ψ + (1) ˆ ψ(2) ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q c + p λ |0∆ c (r 1 − r 2 ,t 1 − t 2 ) = 0| a q ˆϕ + (1) ˆϕ(2)a + q SH11 c p λ ˆ ψ + (1) ˆ ψ(2)c + p λ SH12 |0∆ c (r 1 − r 2 ,t 1 − t 2 ) (1.19) Ta có các hệ thức ˆϕ(r, t), ˆa + q ) = e −iε q t ϕ q (r) ⇒ ˆϕ(r, t)ˆa + q =ˆa + q ˆϕ(r, t)+e −iε q t ϕ q (r) ˆ ψ(r, t), ˆc + qλ ) = e −iE p t ψ p (r) ⇒ ˆ ψ(r)ˆc + pλ = −ˆc + p λ ˆ ψ(r)+e −iE p t ψ p (r) (1.20) Và ˆa q ˆϕ + (r, t)= ˆϕ + (r, t)ˆa q + e iε q t ϕ ∗ (r) ˆc p λ ˆ ψ(r) + = − ˆ ψ + (r)ˆc p λ + e iE p t ψ ∗ p (r) (1.21) Thay vào (1.19) ta được SH11 = ˆϕ + (1)a q + e iε q t 1 ϕ ∗ q (1) a + q ˆϕ(2) + e −iε q t 2 ϕ(2) =[ˆϕ + (1)a q a + q ˆϕ(2) + ˆϕ + (1)a q e −iε q t 2 ϕ(2) + e iε q t 1 ϕ ∗ q (1)a + q ˆϕ(2) + e iε q t 1 ϕ ∗ q (1)e −iε q t 2 ϕ(2)] (1.22) SH12 = − ˆ ψ + (1)ˆc p λ + e iE p t 1 ψ ∗ p (1) − ˆc + pλ ˆ ψ(2) + e −iE p t 2 ψ p (2)] = ˆ ψ + (1)ˆc p λ ˆc + p λ ˆ ψ(2) − ˆ ψ + (1)ˆc p λ e −iE p t 2 ψ p (2) − e iE p t 1 ψ ∗ p (1)ˆc + p λ ˆ ψ(2) + e iE p t 1 ψ ∗ p (1)e −iE p t 2 ψ p (2) (1.23) 10 [...]... ứng giữa các yếu tố của giản đồ và biểu thức trong yếu tố ma trận, nhìn đồ thị ta có thể viết ngay yếu tố ma trận mà không cần lặp lại quá trình tính toán chi tiết như trình bày ở trên Quy tắc Feynman để viết yêu tố ma trận khi biết giản đồ • Viết các số hạng tương ứng với các yếu tố hình học (một đường tương ứng với một số hạng) • Xác định thừa số ig dựa vào số nút của giản đồ (mỗi nút ứng với một... điện tử-lỗ trống 16 Trong giản đồ Feynman, cấu trúc của mỗi đỉnh xác định bởi một Hamiltonian tương tác Số đường vào và số đường ra hoàn toàn xác định bởi số hạt trong trạng thái đầu và trạng thái cuối Cho trước số đỉnh mỗi loại, biết cấu trúc của mỗi đỉnh và biết số đường ngoài, ta có thể tìm được ngay số đường trong Ta biết rằng mỗi yếu tố (đường, đỉnh v.v ) của giản đồ Feynman đều diễn tả một biểu thức... đại diện cho liên kết ψ(r1 , t1 )ψ + (r2 , t2 ) trong c công thức (1.16) Để viết yếu tố ma trận được thuận tiện, người ta đặt tương ứng các số hạng ở (1.27) với các giản đồ gồm những đường và đỉnh được gọi là giản đồ Feynman Các qui tắc Feynman: (Trong trường hợp tán xạ của Boson có spin=0 lên điện tử) •Đường liên tục nét đậm, theo chiều đi ra khỏi điểm (r, t)là + tương ứng với thừa số e−iEp t ψpλ (r)... photon có xung lượng k, phân cực λ 17 Sau quá trình tán xạ, electron có xung lượng p , hình chiếu spin l còn photon có xung lượng k , phân cực λ Quá trình tán xạ được cho bởi giản đồ: Các số hạng tương ứng với các đường trong giản đồ hình a: (1) → δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) M (2) → (2π)−3/2 (2ω)−1/2 ei(kr2 −ωt2 ) εkλ (3) → e−iEp t2 ψpl (r2 ) (4) → (2π)−3/2 (2ω)−1/2 e−i(k r1 −ωt1 ) ε∗ λ k + (5)→ eiEp... hàm truyền, nhiễu loạn này được truyền đến điểm không-thời gian (r1 , t1 ) Tại đó electron hấp thụ boson có xung lượng q và chuyển thành electron sau tán xạ có xung lượng p Tên gọi các đường trong giản đồ Feynman: • Các đường nối giữa hai đỉnh gọi là các đường trong • Các đường chỉ xuất phát hay tận cùng ở một điểm, nghĩa là chỉ nối liền với một đỉnh gọi là các đường ngoài •Ứng với mỗi hạt trong trạng... đến (r1 , t1 ) là tương ứng với thừa số ∆c(r1 − r2 , t1 − 12 ) • Mỗi đỉnh (giao của 3 đường) tương ứng với thừa số ig ( g là hằng số tương tác ) 13 Số hạng thứ nhất và thứ hai ở (??) tương ứng với các giản đồ ở hình a và hình b Trong đó các đường tương ứng với các số hạng như sau: ∗ (1), (6) tương ứng với ∆c (r1 − r2 , t1 − 12 ) ∗(2) tương ứng với e−iεq t2 ϕq (r2 ) ∗(3) tương ứng với e−iEp t2 ψp,λ(r2...Nhận xét: Ba số hạng đầu trong SH11 của (1.22) khi tác dụng lên vacum ở bên trái đều bằng 0 Ba số hạng đầu trong SH12 của (1.23) khi tác dụng lên vacum ở bên phải đều bằng 0 Thay SH11 và SH12 vào SH1 ta được ∗ SH1 = eiεq t1 ϕ∗ (1)e−iεq t2 ϕ(2).eiEp t1 ψp (1)e−iEp t2 ψp (2) q ∗ = ei[Ep +εq )t1−(Ep +εq )t2] ψp λ (1)ψpλ (2)ϕ∗... phát từ đỉnh, gọi là đường ra Ta có thể tổng quát hóa sự liên quan giữa các yếu tố hình học và các đại lượng tương ứng trong S-ma trận qua bảng sau đây: 15 Hạt và trạng Yếu tố hình thái của nó học của giản đồ S-ma trận e− ở trạng thái đầu Nhân tử trong e−iEi t ψi (r) hoặc (2π)−3/2 ei(pr−Ep t) χλ + eiEi t ψi (r) hoặc e− ở trạng thái cuối (2π)−3/2 e−i(pr−Ep t) χ+ λ e−iεi t ϕi (r) hoặc Boson có s=0, đầu... t1 − t2 ) M k = −g 2 (2π)−3 (2ω)−1 dt1 dr1 dt2 dr2 ei[kr2 −k r1−(ω+Ep )t2 +(ω+Ep )t1 ] + ε∗ ,λ εk,λ ψp l (r1 )ψpl (r2 )δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) M k (1.28) Các số hạng tương ứng với các đường trong giản đồ hình b: (6) → δαβ ∆c (r1 , r2 ; t1 − t2 ) M (7)→ (2π)−3/2(2ω)−1/2 e−i(k r2−ωt2 ) ε∗ λ k (8) → e−iEp t2 ψpl (r2 ) (9) → (2π)−3/2 (2ω)−1/2 ei(kr1 −ωt1 ) εkλ + (10)→ eiEp t1 ψp l (r1 ) Có hai đỉnh . GIẢN ĐỒ FEYNMAN * FEYNMAN LÀ AI? * CÁC GIẢN ĐỒ VÀ QUI TẮC FEYNMAN 1 1.1. Vài nét về Feynman Richard Feynman (1918-1988) là nhà Vật Lý người Mỹ gốc. (đường, đỉnh v.v ) của giản đồ Feynman đều diễn tả một biểu thức nào đó trong yếu tố ma trận. Biết sự tương ứng giữa các yếu tố của giản đồ và biểu thức trong yếu tố ma trận, nhìn đồ thị ta có thể. thuận tiện, người ta đặt tương ứng các số hạng ở (1.27) với các giản đồ gồm những đường và đỉnh được gọi là giản đồ Feynman. Các qui tắc Feynman: (Trong trường hợp tán xạ của Boson có spin=0 lên điện