T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 1 TÓM TẮT LƯỢNG GIÁC 11 1. Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ 2. Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt Cung đối nhau: a và a - 3. Công thức lượng giác cos()cos sin()sin tan()tan cot()cot aa aa aa aa -= -=- -=- -=- sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot paa paa paa paa -= -=- -=- -=- sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot apa apa apa apa +=- +=- += += Cung bù nhau: a và pa - Cung hơn kém p : a và pa - sincos 2 cossin 2 tancot 2 cottan 2 p aa p aa p aa p aa æö -= ç÷ èø æö -= ç÷ èø æö -= ç÷ èø æö -= ç÷ èø Cung phụ nhau: a và 2 p a - sincos 2 cossin 2 tancot 2 cottan 2 p aa p aa p aa p aa æö += ç÷ èø æö +=- ç÷ èø æö +=- ç÷ èø æö +=- ç÷ èø Cung hơn kém 2 p : a và 2 p a + 22 2 2 2 2 sincos1 1 1tan,, cos2 1 1cot,, sin tan.cot1,, 2 kk kk kk aa p aap a aap a p aaa += +=¹+Î +=¹Î =¹Î ¢ ¢ ¢ 33 33 4422 4422 6622 6622 sincos(sincos)(1sincos) sincos(sincos)(1sincos) sincos12sincos sincossincoscos2 sincos13sincos sincoscos2(1sincos) aaaaaa aaaaaa aaaa aaaaa aaaa aaaaa +=+- -=-+ +=- -=-=- +=- -= cos()coscossinsin cos()coscossinsin sin()sincoscossin sin()sincoscossin tantan tan() 1tantan tantan tan() 1tantan ababab ababab ababab ababab ab ab ab ab ab ab -=+ +=- -=- +=+ - -= + + += - Công thức cộng 2222 2 3 3 3 2 sin22sincos cos2cossin2cos112sin 2tan tan2 1tan sin33sin4sin cos34cos3cos 3tantan tan3 13tan aaa aaaaa a a a aaa aaa aa a a = =-=-=- = - =- =- - = - Công thức nhân đôi, nhân ba T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 2 4. Phương trình lượng giác cơ bản Các phương trình sin xm = và cos xm = vô nghiệm khi 1 m > và có vô số nghiệm khi 1 m £ 5. Một số phương trình lượng giác đơn giản, mẫu mực thường gặp a) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với một hàm số lượng giác 23 23 2 1cos23coscos3 cos;cos 24 1cos23sinsin3 sin;sin 24 1cos2 tan 1cos2 aaa aa aaa aa a a a ++ == == - = + Công thức hạ bậc [ ] [ ] [ ] 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 1 sincossin()sin() 2 ababab ababab ababab =-++ = + =-++ Công thức biến tích thành tổng coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 abab ab abab ab abab ab abab ab +- += +- -=- +- += +- -= Công thức biến đổi tổng thành tích sincos2sin() 4 2cos() 4 sincos2sin() 4 2cos() 4 p aaa p a p aaa p a +=+ =- -=- =-+ 2 sin,arcsin 2 xk xmkm xk ap a pap =+ é =ÛÎ= ê =-+ ë ¢ 2 sinsin 2 xuk xuk xuk p pp =+ é =ÛÎ ê =-+ ë ¢ 2 cos,arcsin 2 xk xmkm xk ap a ap =+ é =ÛÎ= ê =-+ ë ¢ 2 coscos 2 xuk xuk xuk p p =+ é =ÛÎ ê =-+ ë ¢ tan,arctan xmxkkm apa =Û=+Î= ¢ tantanxuxukk p =Û=+Î ¢ cot,cot xmxkkarcm apa =Û=+Î= ¢ cotcotxuxukk p =Û=+Î ¢ 2 0 0 atb atbtc += ++= g g (0) a ¹ Với t là ẩn phụ và () tfx = Trong đó { } ()sin,cos,tan,cot fxxxxx Î Chú ý:Chỉ nhận 1 t £ khi { } ()sin,cos fxxx Î Ví dụ: ( ) 2sin310210sin3 xttx +=®+== ( ) 22 4cos63cos6104310cos6 xxtttx =® == ( ) 22 2tan6tan12026120tan xxtttx =® == T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 3 b)Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x c)Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x 22 sincos(0) axbxcab +=+¹ Điều kiện để phương trình có nghiệm: 222 abc +£ Cách giải: Biến đổi vế trái về dạng: sin() Cx a + hoặc cos() Cx b + Với 2222 22 2222 cossin ,, sincos aa abab Cab bb abab ab ab ìì == ïï ++ ïï =+ íí ïï == ïï ++ îî Gi ả i các phương tr ình sau: a) 3cossin2 xx +=- b) 4sin3cos5 xx -= @ Ví d ụ : Ta có: 2222 (3)12 Cab =+=+= , 22 22 3 cos cos 2 3 1 sin sin 2 a ab b ab a a p a a a ì ì = ï = ï + ïï ÛÞ= íí ïï = = ïï î + î Vậy: 3cossin2sin()2 xxCx a +=-Û+=- 2sin()2sin()1 33 5 22, 326 xx xkxkk pp ppp pp Û+=-Û+=- Û+=-+Û=-+Î ¢ @ Câu a Ta có: 2222 435 Cab =+=+= , 22 22 4 cos cos 3 5 tan 3 4 sinsin 5 a ab b ab a a a aa ì ì = = ï ï + ïï ÛÞ= íí ïï == ï ï î + î Vậy: 4cos3sin5sin()5 xxCx a -=Û+= 5sin()5sin()1 22, 22 xx xkxkk aa pp apap Û+=Û+= Û+=+Û=-+Î ¢ Với 3 tan 4 a = @ Câu b 22222 sinsincoscos0(0) axbxxcxabc ++=++¹ Cách giải: Chia hai vế của phương trình đã cho, cho 2 cos x (với cos0 2 xxk p p =Û=+ ). Ta được: 22 tantan00(tan) axbxcatbtctx ++=®++== Chú ý: Chúng ta cũng có thể chia 2 vế của phương trình cho 2 sin x (với sin0 xxk p ¹Û¹ ) Nếu phương trình được cho không thuần nhất: 22 sinsincoscos axbxxcxd ++= thì biến đổi: 222222 sinsincoscos.1sinsincoscos.(sincos) axbxxcxdaxbxxcxdxx Û++=Û++=+ 22 ()sinsincos()cos0 adxbxxcdx Û-++-= (dạng thuần nhất) Gi ả i các phương tr ình sau: a) 22 sin2sincos3cos0 xxxx = b) 22 5sin2sincoscos2 xxxx ++= Rõ ràng cos0 x = không phải là nghiệm. Với cos0 x ¹ 222 sin2sincos3cos0tan2tan30 xxxxxx =Û = tan1 4 tan3 arctan3 x xk k x xk p p p é =- =-+ é ê ÛÛÎ ê ê = ë =+ ë ¢ @ Câu a @ Ví d ụ : T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 4 d)Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x 222222 22 5sin2sincoscos25sin2sincoscos2(sincos) 3sin2sincoscos0 xxxxxxxxxx xxxx ++=Û++=+ Û+-= Rõ ràng cos0 x = không phải là nghiệm. Với cos0 x ¹ , ta có: 22 3sin2sincoscos0 xxxx +-= 2 tan1 4 3tan2tan10 1 1 tan arctan() 3 3 x xk xxk x xk p p p é =- =-+ é ê ê Û+-=ÛÛÎ ê ê = ê =+ ë ê ë ¢ @ Câu b (sincos)sincos axxbxxc ++= Cách giải: Đặt sincos2sin(),2 4 txxxt p =+=+£ 2 2 12sincos 1 sincos 2 txx t xx Þ=+ - Þ= Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai: 2 2 1 2210 2 t atbcbtatc - +=Û+ = Giải phương trình: a) 3(sincos)2sin230(1) xxx +++= Giải a) sincos2sin(),||2 4 txxxt p =+=+£ Ta có: 2 2 1 sin22sincos21 2 t xxxt - ===- 22 (1)32(1)302310 tttt Û+-+=Û++= 1 2sin()1 4 1 1 2sin() 2 42 1 sin() 4 2 1 sin() 4 22 2 2 (21) 1 arcsin()2 4 22 1 arcsin()2 4 22 t x t x x x xk xk xk xk p p p p p p p p p p pp é =- +=- é ê ê ÛÛ ê ê =- ê +=- ë ê ë é +=- ê ê Û ê +=- ê ë é =-+ ê ê =+ ê ê Û = + ê ê ê = + ê ë Gi ả i phương tr ình: b) sincos4sincos10(2) xxxx -++= Giải a) sincos2sin(),||2 4 txxxt p =-=-£ 22 2 (sincos)12sincos 1 sincos 2 txxxx t xx Þ=-=- - Þ= 2 2 1 (2)410230 2 t ttt - Û++=Û-++= 1 2sin()1 3 4 2 2 2 sin() 3 42 2 2 t x t xk x xk p p p p p =- é ê ÛÛ-=- ê = ë = é ê Û-=-Û ê =+ ë ( 3 2 2 t => nên bị loại) @Ví dụ Lưu ý: Ngoài cách giải như trên chúng ta cũng có thể sử dung công thức hạ bậc để đưa phương trình đã cho về dạng bậc nhất theo sin,cos xx T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 5 6. Phương trình lượng giác khác Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được trình bày trong mục 5. đã có phương pháp giải rõ ràng và cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế giải toán chúng ta còn gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác không nằm trong những dạng trên và không có phương pháp vạn năng nào chung cho mọi trường hợp. Dù vậy, chúng ta có thể nêu ra một vài phương pháp chung cho việc giải những phương trình lượng giác. a) Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà ta đã biết cách giải. Ví dụ: Giải phương trình cos5sin4cos3sin2 xxxx = [ ] [ ] 11 sin(45)sin(45)sin(32)sin(23) 22 sin9sinsin5sin 952 2 sin9sin5 952 147 xxxxxxxx xxxx xk xxk xx xxk xk p p pp pp Û++-=++- Û-=- é = ê =+ é Û=ÛÛ ê ê =-+ ë ê =+ ê ë b) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích. Ví dụ: Giải phương trình sinsin2sin3coscos2cos3 xxxxxx ++=++ sin22sin2coscos22cos2cos sin2(12cos)cos2(12cos) (sin2cos2)(12cos)0 sin2cos2 cos(2)cos2 sin2cos20 822 1 12cos012 cos cos2 2 23 xxxxxx xxxx xxx xx xkxx xx x x xxk pp p p p Û+=+ Û+=+ Û-+= é é = =+-= é ê ê -= é ê ÛÛÛÛ ê ê ê ê += =- ë êê =-=++ ë ê ê ë ë c) Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác nhau ( sin,cos xx ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại một hàm lượng giác. Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó. Ví dụ: Giải phương trình 2 31 tan21(1) cot2cos2 x xx ++= Điều kiện: sin20 2 cos20 42 xk x x xk p pp ì ¹ ï ¹ ì ï Û íí ¹ î ï ¹+ ï î 22 (1)3tan21tan2tan26tan24tan250(2) xxxxxÛ+++=Û+-= Đặt tan2 tx = 2 1tan21 82 (2)450 5tan25 arctan5 22 xk tx tt tx xk pp p é =+ ê == éé Û+-=ÛÛÛ ê êê == ëë ê =+ ê ë d) Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác khác nhau ( ,2,3 xxx ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ còn lại một cung lượng giác. Sau đó có thể dùng các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình tích hay tìm cách đặt ẩn phụ… T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 6 Ví dụ: Giải phương trình 2 4cossin44cos22 xxx = 1cos2 42sin2cos24cos22 2 22cos22sin2cos24cos22 2sin2cos22cos20 cos20 42 2cos2(sin21)0 sin21 4 x xxx xxxx xxx xk x xx x xk pp p p + Û = Û+ = Û = é =+ ê = é Û-+=ÛÛ ê ê =- ë ê =-+ ê ë e) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng: 22 0 0 0 A AB B = ì +=Û í = î Ví dụ: Giải phương trình 2 2 1 sin22sin22tan10 cos xxx x ++++= Điều kiện: cos0 2 xxk p p ¹Û¹+ 2 2 22 22 1 sin22sin22tan10 cos sin22sin21tan2tan10 (sin21)(tan1)0 sin210sin21 tan10tan1 4 xxx x xxxx xx xx xk xx p p ++++= Û+++++= Û+++= +==- ìì ÛÛÛ=-+ íí +==- îî f) Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình: 2ABm Am Am Bm Bm += ì = ì ï ³Û íí = î ï ³ î Ví dụ: Giải phương trình sin()cos()2 xyxy ++-= Ta có: sin()1,, sin()cos()2, cos()1,, xyxy xyxyxy xyxy +³" ì Þ++-³" í -³" î Do đó: sin()cos()2 xyxy ++-= 2 sin()1 2 42 , 2 cos()1 2 2 42 kl x xy xyk kl xykl xyl y p p p p p p p + ì =+ ì ï += +=+ ì ïï ÛÛÛÎ ííí -=- î ïï -= =+ î ï î ¢ T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 7 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Giải các phương trình sau: a) 4sin3cos5 xx -= b) 9 3cos23sin 2 xx += c) 3sin22cos23 xx += d) 2sin23cos213sin14 xxx += 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mỗi hàm số, biểu thức sau: a) (23)sin2cos2 yxx =-+ b) 2 (sincos)2cos23sincos yxxxxx =-++ c) (sin2cos)(2sincos)1 yxxxx =-+- d) 2 2 2(6) 122 xxy P xyy + = ++ Với ,xy Î ¡ và thỏa: 22 1 xy += (Câu d được trích từ đề tuyển sinh Đại học môn Toán khối B năm 2008) 3. Tìm giá trị của a để: a) Phương trình: 2 (cos3sin3)(3cos3sin2)sincos30 xx aaaaaa +-+ +-+= có nghiệm 1 x = b) Phương trình: 222 (2coscos1)(3sin)3cos(33)sin0 xx aaaaa -+-+ = có nghiệm 3 x = PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 4. Giải các phương trình sau: a) 22 sin2sincos3cos0 xxxx = b) 22 6sinsincoscos2 xxxx +-= c) sin22sin2cos2 xxx -= d) 22 2sin23sin2cos2cos22 xxxx -+= 5. Giải các phương trình sau: a) 33 2sin4cos3sin xxx += b) 2222 3 3sincos3sincossincossincos 2222222222 xxxxxxxx pp æöæö ++=++ ç÷ç÷ èøèø 6. Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình: 33 sinsinsin23cos0 xxxx +-= Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 7. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau: a) sinsin7sin3sin5 xxxx = b) sin5cos3sin9cos7 xxxx = c) coscos3sin2sin6sin4sin60 xxxxxx = d) sin4sin5sin4sin3sin2sin0 xxxxxx +-= 8. Dùng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau: a) sin5sin3sin4 xxx += b) sinsin2sin30 xxx ++= c) coscos32cos50 xxx ++= d) cos223cos183cos14cos100 xxxx +++= 9. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau: a) 222 3 sinsin2sin3 2 xxx ++= b) 2222 sin3sin4sin5sin6 xxxx +=+ c) 222 sin2sin4sin6 xxx += d) 2222 coscos2cos3cos42 xxxx +++= e) 222 3 cos3cos4cos5 2 xxx ++= f) 4 8cos1cos4 xx =+ g) 44 sincoscos4 xxx += h) 222 3cos23sincos0 xxx -+= T T ó ó m m t t ắ ắ t t l l ư ư ợ ợ n n g g g g i i á á c c – – w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 8 10. Giải các phương trình sau: a) tancot30 36 xx pp æöæö ++-= ç÷ç÷ èøèø b) 37 tan2cot40 48 xx pp æöæö -++= ç÷ç÷ èøèø c) tan2tan1 32 x x p p æöæö +-= ç÷ç÷ èøèø d) sin22cot3 xx += 11. Giải các phương trình sau: a) tan1cos2 xx =- b) 00 1 tan(15)cot(15) 3 xx -+= c) sin22cos21sin4cos xxxx +=+- d) 44 3sin5cos30 xx +-= e) 2 (2sincos)(1cos)sin xxxx -+= f) 1sincos2sincos2 xxxx +=+ 12. Giải các phương trình sau: a) tancossin20 2 x xx -= b) 626 sin3sincoscos1 xxxx ++= c) 33 2 sincossincos 8 xxxx-= d) 22 3 sinsincos4cos4 4 xxxx ++= 13. Biết rằng các số đo radian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình 23 tantan0 23 x x = . CMR tam giác ABC là tam giác đều. 14. Cho phương trình cos2(21)cos10 xmxm -+++= a) Giải phương trình với 3 2 m = b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm 3 ; 22 x pp æö Î ç÷ èø 15. Giải phương trình 2 (2sin1)(2sin21)34cos xxx -+=- 16. Giải các phương trình: a) sin212(sincos)120 xxx += b) 33 sincos1 xx += 17. Giải phương trình: 117 4sin 3 sin4 sin 2 x x x p p æö +=- ç÷ æö èø - ç÷ èø (TSĐH Toán A-2008) 18. Giải phương trình: 3322 sin3cossincos3sincos xxxxxx -=- (TSĐH Toán B-2008) 19. Giải phương trình: 2sin(1cos2)sin212cos xxxx ++=+ (TSĐH Toán D-2008) 20. Giải các bất phương trình sau: a) 1 sin2 2 x ³ b) sincos1 xx +£ . w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 1 TÓM TẮT LƯỢNG GIÁC 11 1. Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ 2. Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt Cung đối. w w w w w w 3 3 2 2 . . w w e e b b s s a a m m b b a a . . c c o o m m / / t t o o a a n n 3 3 0 0 c c t t u u 5 6. Phương trình lượng giác khác Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được trình bày trong mục 5. đã có phương pháp. nhiều hàm lượng giác khác nhau ( sin,cos xx ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại một hàm lượng giác. Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó.