Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ppt

Trường THPT Lai Vung 2 1 Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp Trường THPT Lai Vung 2 2 Cxdx     1 1 1          C x dxx   0ln   xCx x dx Cedxe xx     10 ln   aC a a dxa x x Cxxdx   sincos Cxxdx   cossin Cxdx x   tan cos 1 2 Cxdx x   cot sin 1 2 tan ln cos xdx x c     cot ln sin xdx x c    kdx kx C          1 1 1 1           C bax a dxbax   0ln 1    xCbax a b ax dx Ce a dxe baxbax    1     Cbax a dxbax   sin 1 cos     Cbax a dxbax   cos 1 sin     Cbax a dx bax    tan 1 cos 1 2     Cbax a dx bax    cot 1 sin 1 2 Cudu     1 1 1          C u duu   0ln   uCu u du Cedue uu     10 ln   aC a a dxa u u Cuudu   sincos Cuudu   cossin Cudu u   tan cos 1 2 Cudu u   cot sin 1 2 Trường THPT Lai Vung 2 3 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]  ( ) 0 a a f x dx   ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx      . ( ) b a k f x dx   ( ) b a k f x dx  ( k là hằng số)  [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       Trường THPT Lai Vung 2 4  ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f c dx f x dx      ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a b) Công thức hạ bậc: * sin 2 a = 1 cos2 2 a  * cos 2 a = 1 cos2 2 a  c) Công thức biến đổi tích thành tổng: *   1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b     *   1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b     *   1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b      4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * 1 n n a a  và m n m n a a  Trường THPT Lai Vung 2 5 * . . n n n a b a b  ; n n n a a b b  * a 0 = 1; a 1 = a ; a -n = 1 n a * . a a a       ; a a a       *   . . a b a b     ; a a b b           *   . a a      5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) *   2 2 2 2 a b a ab b     * 3 3 2 2 ( )( . ) a b a b a a b b    m *   3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b      B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý Trường THPT Lai Vung 2 6 rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1) x dx   b) I 2 = 2 2 0 x e dx    c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x     Giải: a) I 1 = 1 3 0 (3 1) x dx   =   1 4 4 4 0 1 (3 1) 1 5 . 3 1 ( 1) 3 4 12 4 x           Vậy: I 1 = 5 4 b) I 2 = 2 2 0 x e dx    = 2 2 0 1 1 x e    = – ( e – 2+2 – e 2 ) = e 2 –1 Vậy: I 2 = e 2 –1 c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x     = 0 1 1 3. ln 2 1 2 x     = 3 (ln1 ln3) 2   Vậy: I 3 = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân Trường THPT Lai Vung 2 7 a) J 1 =   2 2 2 0 1 x dx   b) J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x    c) J 3 = 8 6 6 1 2 x x dx x   Giải: a) Ta có: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 .1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1 suy ra J 1 =   2 2 2 0 1 x dx   = 2 4 2 0 ( 2 1) x x dx    = 2 5 3 0 2 5 3 x x x         = 206 15 Vậy: J 1 = 206 15 b) Ta có : 2 3 1 2 7. 2 2 x x x       suy ra J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x    =   1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x         = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J 2 = 7ln2 – 2 c) 1/2 1/6 6 1/2 1/6 1/3 1/6 6 2 2 2 2 x x x x x x x x         suy ra J 3 =   8 8 1/3 4/3 1 1 3 2 2 4 x dx x x           = 4/3 3 3 8 2 8 ( 2) 4 4           = 101 4 = 25,25 Vậy: J 3 = 101 4 Trường THPT Lai Vung 2 8 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K 1 = 4 0 sin3 .cos x xdx   b) K 2 = 8 2 0 cos 2 xdx   c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx    Giải: a) Ta có: sin3x.cosx =   1 sin4 sin2 2 x x  suy ra K 1 = 1 2 4 0 (sin4 sin2 ) x x dx     4 0 1 1 1 cos4 cos2 2 4 2 x x          = 1 2 Vậy: K 1 = 1 2 b) K 2 = 8 2 0 cos 2 xdx   Ta có: cos 2 2x = 1 cos4 2 x  suy ra K 2 = 1 2 8 0 (1 cos4 ) x dx     8 0 1 1 sin 4 2 4 x x         = 1 2   1 4 sin 0 8 4 8                 = 1 1 2 8 4         Vậy: K 2 = 1 1 8 2         c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx    Trường THPT Lai Vung 2 9 Ta có : e 2x–1 – 1 = 0  e 2x–1 = 1 = e 0  2x – 1 = 0  x = 1 2   0;1  Suy ra K 3 = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 ( 1) ( 1) x x e dx e dx        = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 1 1 2 2 x x e x e x                  = 0 1 1 1 1 0 2 2 2 e e                 + 0 1 1 1 1 2 2 2 e e                = 1 1 2 e   + 1 1 2 e        Vậy K 3 = 1 1 1 1 2 2 e e     Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L =   1 0 24 )23( dxxx KQ: L = 5 6 2) I =   4 6 2 3 sin sin1   dx x x KQ: I = 2 223  3) J = dx x x    1 0 34 2 KQ: J = 9 4ln103   4) K = dx x xx   2 1 2 23 52 KQ: K = – 2 5) M =  12 0 5sin.7sin  xdxx KQ: M = 8 1 Trường THPT Lai Vung 2 10 6) N = 4 1 2 x dx   KQ: N = 5 2 7) P = 3 2 0 sin 3 xdx   KQ: P = 6  8) Q = 4 2 0 tan xdx   KQ: 1 4   9) R = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x    KQ: 2 3 3 II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b a f x dx  1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân a) I 1 = 2 2 0 4 x dx   [...]... = 2 dx 0 e d) K4 =  x 2 KQ: ln xdx 1 2e3  1 9 IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết:  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hồnh) được tính b bởi: S =  f ( x) dx (1) a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính... hàm số y = 2 – x2 và y = x Giải:  Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x 2=0   x2 + x – x = 1 và x = -2  Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = 1 b  f ( x )  g ( x ) dx thì S =  x 2  x  2 dx 2 a 1  Vậy S =  x 1 1 2  x  2 dx 2 =  (x 2  x  2)dx 2 = x3 x 2   2x 3 2 2 = 9 2 (đvdt) * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngồi tích phân nếu hàm số dưới dấu tích. .. (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16  đvtt b) y = x2 và y = 3x KQ: 162 5 đvtt V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = x 3  3x 2  3x  1 x 2  2x  1 , biết F(1) = 1 3 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= 2x 2... hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1  /2 b Tính tích phân: I =  0 sin 2 x dx 4  cos 2 x (TNTHPT năm 2005– 2006) e Bài 6: Tính tích phân J = ln 2 x  x dx 1 (TNTHPT năm 2006– 2007) 28 Trường THPT Lai Vung 2 1 Bài 7: Tính tích phân I   x (1  x ) dx 2 3 4 1 (TNTHPT năm 2007– 2008)  Bài 8: Tính tích phân I =  x(1  cos x)dx 0 (TNTHPT năm 2008– 2009) 29 ... x2 và trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 27 Trường THPT Lai Vung 2 1 3 2 Bài 3: Cho hàm số y = 3 x – x (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 )  /2 Bài 4: Tính tích phân: I =  ( x  sin 2 x) cos x.dx 0 (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số. .. 2 Q(x):ln(ax+b) kx 1 cos 2 x * u = P(x) * dv là b) Phần còn Phần còn * dv = P(x)dx còn lại của lại của lại của biểu thức dưới biểu thức dấu tích phân dưới dấu dưới dấu tích phân đặt * dv là biểu thức Cách * u = P(x) * u = ln(ax + tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân  /4 a) I1 =  2 x cos 2 xdx 0 1 b) I2 =  ( x  1)e 2x dx 0 18 * u = P(x) * dv là Phần Trường THPT Lai Vung 2 3 c) I3 =  2 x ln( x ...  Các bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành KQ: S = 32 3 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2 KQ: S = 9 2 đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQs: S = 200 đvdt 26 Trường THPT Lai Vung 2 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các... Giải tích a 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính  a 2 0 1 dx  x2 , đặt x = a.tant , t     ;    dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự   2 2   2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  =u(a)  = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính Ví dụ 5: Tính các tích phân. .. x = 0 và x = 2  Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = b   f 2 ( x )dx a 2 0 Ta có V =   (2 x  x ) dx    (4 x 2 2 0 2  4 x3  x 4 )dx 0 =  (4 x 3 3  x4  x5 2 ) 5 0 = 16 15 (đvtt) b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox Giải:  Phương trình – x2 = x3  25 x = 0 và x =... = ( x + 1)( x – 1) Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một ngun hàm thích hợp của 2x Như đã biết  2xdx  x 2 c , trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0 Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn Ví dụ 7: Tính các tích phân  4 a) J1 =  xdx cos x 2 0 20 Trường THPT Lai Vung 2 2 b) J2 =  lnxxdx 2 1 Giải:  4 a) J1 =  xdx cos x 2 0  Đặt: u = x 1 dx . Trường THPT Lai Vung 2 1 Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần. b ab b      B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy. dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân