ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 8 docx

http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 44 Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là ( 4; 1) u BC       . Phương trình cạnh BC là: x - 4y + 7 = 0 0,25 Giả sử ( ; ; ) n a b c  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0. Đường thẳng  đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương (1;1;4) u   0,25 Từ giả thiết ta có 2 2 2 . 4 0 / /( ) (1) | 5 | 4 ( ;( )) 4 (2) n u a b c P a b d A P a b c                     0,25 Thế b = - a - 4c vào (2) ta có 2 2 2 2 2 ( 5 ) (2 17 8 ) - 2 8 0 a c a c ac a ac c         4 2 a a v c c    0,25 VI.b-2 (1 điểm) Với 4 a c  chọn a = 4, c = 1  b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0. Với 2 a c   chọn a = 2, c = - 1  b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0. 0,25 Giả sử z = a +bi với ; a,b  R và a,b không đồng thời bằng 0. 0,25 Khi đó 2 2 1 1 ; a bi z a bi z a bi a b        0,25 Khi đó phương trình 2 2 25 25( ) 8 6 8 6 a bi z i a bi i z a b           0,25 VII.b (1 điểm)  2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) 8( ) (1) (2) ( 25) 6( ) a a b a b b a b a b              . Lấy (1) chia (2) theo vế ta có 3 4 b a  thế vào (1) Ta có a = 0 v a = 4 Với a = 0  b = 0 ( Loại) Với a = 4  b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. 0,25 ĐỀ 8 I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số 2 12    x x y có đồ thị là (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 2.Giải bất phương trình )3(log53loglog 2 4 2 2 2 2  xxx Câu III (1 điểm). Tìm nguyên hàm   x x dx I 53 cos . sin Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đường thẳng B 1 C 1 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Câu V (1 điểm). Cho a, b, c 0  và 2 2 2 3 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 45 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c P b c a       II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm). 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình         tz ty tx 31 21 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Câu VIIa (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình 3 1 1 2 1    zyx . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. ĐÁP ÁN ĐỀ 8 I.Phần dành cho tất cả các thí sính Câu Đáp án Điểm 1. (1,25 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên +Giới hạn:     22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2 0,5 + Dx x y    0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;(   và );2(   0,25 I (2 điểm) +Bảng biến thiên x   -2   y’ + +   2 y 0,25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 46 2   c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1  ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25 2. (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình         )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x Do (1) có mmmvam  0321)2).(4()2(01 22 nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B 0,25 Ta có y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất  AB 2 nhỏ nhất  m = 0. Khi đó 24AB 0,5 1. (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin 2 x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin 2 x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 0,5  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0       )(07sin2cos6 0sin1 VNxx x 0,25    2 2 kx  0,25 2. (1 điểm) II (2 điểm) ĐK:      03loglog 0 2 2 2 2 xx x Bất phương trình đã cho tương đương với )1()3(log53loglog 2 2 2 2 2  xxx đặt t = log 2 x, BPT (1)  )3(5)1)(3()3(532 2  tttttt 0,5 x y O 2 -2 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 47                         4log3 1log 43 1 )3(5)3)(1( 3 1 2 2 2 x x t t ttt t t 0,25        168 2 1 0 x x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: )16;8(] 2 1 ;0(     x x dx x x x dx I 23233 cos . 2 sin 8 cos . cos . sin đặt tanx = t dt t t t t dt I t t x x dx dt         3 32 3 2 22 )1( ) 1 2 ( 8 1 2 2sin; cos 0,5 III 1 điểm C x xxxdtt t tt dt t ttt       2 2433 3 246 tan2 1 tanln3tan 2 3 tan 4 1 ) 3 3( 133 0,5 Do )( 111 CBAAH  nên góc HAA 1  là góc giữa AA 1 và (A 1 B 1 C 1 ), theo giả thiết thì góc HAA 1  bằng 30 0 . Xét tam giác vuông AHA 1 có AA 1 = a, góc HAA 1  =30 0 2 3 1 a HA  . Do tam giác A 1 B 1 C 1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B 1 C 1 và 2 3 1 a HA  nên A 1 H vuông góc với B 1 C 1 . Mặt khác 11 CBAH  nên )( 111 HAACB  0,5 Kẻ đường cao HK của tam giác AA 1 H thì HK chính là khoảng cách giữa AA 1 và B 1 C 1 0,25 Câu IV 1 điểm Ta có AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK  0,25 A 1 A B C C 1 B 1 K H www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biờn son: Trn Duy Thỏi 48 0,5 Cõu V 1 im Ta cú: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P 24 1 1212 2 2 2 2 3 c c b c b 24 1 1212 2 2 2 2 3 a a c a c 3 6 3 6 3 6 216 3 216 3 216 3 cba 6 222 3 82 9 )( 222 3 22 3 cbaP 2 3 22 3 22 9 22 3 22 9 6 3 P P Min khi a = b = c = 1 0,5 Phần riêng. 1.Ban cơ bản 1.( 1 điểm) Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23 IA 0,5 7 5 6123 2 1 m m m m 0,5 2. (1 im) Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d, mt phng (P) i qua A v (P)//d, khi ú khong cỏch gia d v (P) l khong cỏch t H n (P). Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú HI AH => HI ln nht khi I A Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v nhn AH lm vộc t phỏp tuyn. 0,5 Câu VIa 2 điểm )31;;21( tttHdH vỡ H l hỡnh chiu ca A trờn d nờn )3;1;2((0. uuAHdAH l vộc t ch phng ca d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0,5 T gi thit bi toỏn ta thy cú 6 2 4 C cỏch chn 2 ch s chn (vỡ khụng cú s 0)v 10 2 5 C cỏch chn 2 ch s l => cú 2 5 C . 2 5 C = 60 b 4 s tha món bi toỏn 0,5 Cõu VIIa 1 im Mi b 4 s nh th cú 4! s c thnh lp. Vy cú tt c 2 4 C . 2 5 C .4! = 1440 s 0,5 2.Ban nâng cao. 1.( 1 điểm) Câu VIa 2 điểm Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23 IA 0,5 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 49         7 5 6123 2 1 m m m m 0,5 2. (1 điểm) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI AH  => HI lớn nhất khi I A  Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. 0,5 )31;;21( tttHdH     vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0.  uuAHdAH là véc tơ chỉ phương của d) )5;1;7()4;1;3(  AHH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0  7x + y -5z -77 = 0 0,5 Từ giả thiết bài toán ta thấy có 10 2 5 C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và 3 5 C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 3 5 C = 100 bộ 5 số được chọn. 0,5 Câu VIIa 1 điểm Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả 2 5 C . 3 5 C .5! = 12000 số. Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 960!4 3 5 1 4 CC . Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán 0,5 ĐỀ 9 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I. (2.0 điểm) Cho hàm số y = x x-1 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu II. (2.0 điểm) 1. Giải phương trình 2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3 c c 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y y x y             Câu III. (1.0 điểm) Tính tích phân 1 2 3 0 ( sin ) 1 x x x dx x    Câu IV. (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 1 1 1 2 x y z    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Câu V. (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình nâng cao Câu VIa. (2.0 điểm) www.VNMATH.com . (2 17 8 ) - 2 8 0 a c a c ac a ac c         4 2 a a v c c    0,25 VI.b-2 (1 điểm) Với 4 a c  chọn a = 4, c = 1  b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 =. + 1) = 0  7x + y -5 z -7 7 = 0 0,5 Từ giả thi t bài toán ta thấy có 10 2 5 C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và 3 5 C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C. lớn nhất. Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. ĐÁP ÁN ĐỀ 8 I.Phần dành cho tất cả các thí sính Câu