Ôn tập tích phân toán học

Ôn tập tích phân Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.

Trang 2

Trần Sĩ Tùng Tích phân 1 Nhắc lại Giới hạn - Đạo hàm - Vi phân Các giới hạn đặc biệt: a) |lim 2% =1 x0 X

Hệ quả: lim ~~ =1 sinu(x) _ UG) _

x>0sinx u(x)>0_ u(X) u(x)0 sin u(x)

: IY

b) tim( 1+2] =e,xeR rool x

1 x

Hệ quả: |lim(+x)"=e| |tim@G*® _, x0 x>0 OX time! =] x90 X

2 Bang đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)' =0 ( là hằng số) @&“)' = ax?! (u)" = aut u' (2}=-3 (4} 3 X X u w 1 hà (ýx)'=—= Wx (Ju)'= 2u (e*)'=e* (e")'=u'.e" (a*)'=a*.Ina (a")'=a".Ina.u' I 7 (In|xly' = — (Inul)' = — x u (log, |x|) = (log, ul)’ =_—* x.Ina u.Ina

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

(tgx)' = L =l+tg”x cos’ x (tgu)'=——=(+tg”u).u" cos? u

(cot gx)'= = =-(l+cotg”x) (cot gu)' = = =-(1+cotg’u).u'

sin? x sin? u

Vi phan:

3

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và c6 dao ham tai x € (a; b) Cho sé

gia Ax tại x sao cho x+ Ax e (a; b) Ta gọi tích y°.Ax (hoặc f(x).Ax) là vi phân của

hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x))

dy = y’.Ax (hoặc df(x) = Ể(x).Ax

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì

dx = (x)’Ax = 1.Ax = Ax Vi vay tacé: dy =y’dx (hoac df(x) = f’(x)dx)

Trang 3

Tích phân Trần Sĩ Tùng NGUYEN HAM VA TICH PHAN 1 Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta c6: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a*) = f(x) va F'(b-) = f(b) 2 Dinh ly:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :

a/ _ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên

khoảng đó

b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số

Trang 4

Trần Sĩ Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

Trang 5

Tích phân Trần Sĩ Tùng Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: +_ Bước l: Xác dinh F’(x) trén (a ; b)

+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x) =f(x) với Vx e (a; b)

Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chỉ tiết hơn, như sau: + Bước l: Xác định F’(x) trén (a ; b) Xác định F°(a”) Xác định F'(b) F'x) =f(x), Vxe (a; b) + Bước 2: Chứng tổ rằng 4F'(a”) = f(a) Et(b)=f()

Vidu 1: CMR ham s6: F(x) = In(x +x’ +a) vé6ia>0

Trang 6

Trần Sĩ Tùng Tích phân

e - Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm xạ = 0

E0) = im FŒ)=F) x30" x- _ him x30" x +x+1-e° =1 x

e - Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm xọ = 0

E(0°)= lim 2= E0) _ him x07 X— x->0* x Nhan xét ring F'(0-)=F'(0")=1 > F'(0)=1 0 e'-e ———— =] : 5 Tomlai: F(xy=1° BEX? OL gay 2x+1 khix<0 Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: +_ Bước l: Xác định F’(x) trén (a ; b) + Buéc 2: Dé F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điểu kiện là: F'(x)= f(x) với Vx e (a; b)

Dùng đồng nhất của hàm đa thức — giá trị tham số

Chi ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chỉ tiết hơn, như sau: + Bước l: Xác định F(x) trên (a ; b) Xác định F°(a”) Xác định F'(b) + Buéc 2: Dé F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x) =f(x), Vxe(a; b) F'(a*) = f(a) = giá trị của tham số F'(b-) = f(b) Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG e _ Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C

e_ Dựa vào để bài đã cho để tìm hằng số C

Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm

Trang 5

Trang 7

Tích phân Trần Sĩ Tùng x? khi x <1 Ví du 3: Xác địnha, b dé ham sé: F(x) = ax+b khi x>l ¬ we 2x khix<l là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = trén R 2 khi x >1 Gidi: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: 2x khi x <1 al V6i x #1, tacé: F(x) = 2 khix>l b/ Với x= I, ta có:

Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tai x = 1, do

đó: — limF(x)=limF(x)=f() x>l” xi! ©œ a+b=le©b=l-a ()

e_ Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = I

2

PA) = tim£=FO = jig ®t xl x-l xo" X—ÏI

e_ Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tai điểm xụ = 0

El4°)= lim FO—E@) _ pm aX+b—T _ ax+l-a-l _

xol* x-1 xor x-] xol* x-l

Ham sé y = F(x) cé dao ham tai diém x = 1 @F'(I-) = F'(*) ©a=2 (2) Thay (2) vào (1), ta được b = —I

Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = -—l

Khi đó: F'(1)=2=f(1)

Tóm lại với a = 2, b = 1 thi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Ví dụ 4: Xác địnha,b, c để hàm số: F(x)=(ax” +bx +c)e ”* là một nguyên hàm của

FE(x) =—(2x?—8x+ 7)e?" trên R

Giải:

Ta có: F'(x)=(2ax + b)e ?*—2(ax” + bx + c)e ?* =[~2ax? +2(a — b)x +b—2c |e 2"

Trang 8

Trần Sĩ Tùng Tích phân Tính đạo hàm của hàm số F(x) = In Chứng tỏ rằng hàm số F(x) = x” .a/ Tinh nguyén ham F(x) ctia f(x) = BÀI TẬP 40 Baa Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 COSX Ine +l) 9 0 ,x=0 2 In(x? +1) 3A An bàm cóc hàm cế ———x_.x#0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) =4 x?+1 x? 1 ,x=0 Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x) = (ax” +bx +c).e'* là một nguyên ham của hàm số f(x) = (2x”—5x+2)e * trên R ĐS: a=-2;b=l;c=-I xÌ`+3x”+3x—7 san — VÀ F(0)=8 b/ Tim nguyên hàm F(x) của f(x) = sin 2 và "H = T 2 DS: al F@&)=Š +x+—Š—; 2 x+l ow F@&)=(x-sinx+D 2

.a/ Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số:

Trang 9

Tích phân Trần Sĩ Tùng Vidu 1: CMR, néu Jfeoax =F(x)+C thi [fax +b)dx = LE(ax +b)+C với a 0 a Giải: Ta luôn có: f(ax + b)dx = 1 f(ax +b)d(ax + b) với a z0 a Ap dung tính chất 4, ta được: [f(ax + b)dx = + hoax +b)d(ax +b) F(ax +b) +C (dpem) a a

Ghi chi: Céng thifc trén dugc dp dung cho cdc ham s6 hgp:

Trang 11

Tích phân Trần Sĩ Tùng

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu

thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết

Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng

mình từ một vài minh hoạ sau:

e Với f(x) =(x°—2)” thì viết lại f(x) = x”—4x? +4

2

«Với fx) - 5S thi viét Iai f(x) =x-3+— x- X-

e Với f&)=——L—— imi viết lại f(x) = | _—_-

_x'-5x+6 , ~x-3 x-2

1 1

e_ Với Í(x)=————————— thì viét lai f(x) = —(V3—2x —V2x41

G) V2x+1+V3-2x at £@) ạt )

e V6i f(x) = §cos` x.sinx thì viết lại f(x)= 2(eos3x + 3cosx).sinx

Trang 13

Tích phân Trần Sĩ Tùng 1

Ta được: — 1 _ sin’ x+cos” X_ Sinx 1 _ sinx 2 1

sin X.COS xX sin x.sin’ x ~ cos’x sinx COS2X cos — tg— 2X x

2_ 2 1

sinx 2 d(cosx)

Suy ra: I=[ TT dx+[—“—dx=-[— 2 oe ——+Inlg=l+C

COS“X os 2182 2X, x cos’ x ~ €O§X Lie ad ae dx Vidu 5: Tinh tich phan bat dinh: I = Ỉ TT" cos’ x Gidi: » 8 dx Sử dụng kết quả: 57 = d(tgx) x ta được: I= je = [1+ tg*x)d(tgx) = [ d(tgx) + [tg’xd(tgx) = tex +— Lex cos” x cos” xX BÀI TẬP Bài 9 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số; —v3-x*x_2v2 al fx)=(I-2x}; b( fŒ) _2vx =x'e* ~3x? x3 ; (2+Xx# 1 c/ f(x)=———_—: d/ f(x) = —_— ®) Vx ) V3x +4 -V3x+2 DS: al xa 2x HES ExT EC; b/ —= -e* + Inlxl+C; 4 3xVx c/ Ox? + xs x eax +c; 1 d/ si —4)° +,/(3x+2)° | +C Bài 10 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số 1 4x? +6x+1 al f(x) ==; b/s f(x) =———_; œ) x?-6x+5 &) 2x+1 3 2 3 cf f(xy Ty gy = 2x+1 9-4x

ps:al JIn|X=S|+C; x— b/ x +2x—FInl2x +11+C;

of 2x844y2 4b yt nox silec: ax tin 2x3!

3 4 12 |2x+3

Bai 11 Tim họ nguyên hàm của các hàm số:

Trang 14

a/ (sinx+cosx)”; b/ cos{ 2x—},cos{2x +2), c/ cos’ x; d/ cos*x; e/ sin*x+cos*x; f/ sin’ 2x + cos® 2x

Trang 15

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

Định lý:

a/ Nếu j f(x)dx = F(x) + C va u=@(x) 1a ham số có đạo hàm thì j f(u)du = F(u)+C

b/_ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi dat x = @(t) trong đó (f) cùng với đạo hàm của nó

(@’(t) 1a những hàm số liên tục, ta sẽ được: Jfeodx = fe [p(t)].¢'(t)dt

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng | tích tích phân bất định I = Í[t@04x

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn x = (0, trong đó ọ(£) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

Bước 2: Lấy vi phân dx = @°(t)dt

Trang 16

Suy ra: dx =costdt & _—% _- costdt _ zs = d(tgt)

(l-x’y> cost cos’ t Khi d6: I= Jactat)=tget +c = 1—x Chư ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: Aj(I—x”}Ì =cosÌt và tgt= v cos’ t = cost cost = V1-sin’ t =V1-x’ 1—x là bởi: e3 mol 2 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I= [ = x -l Gidi: Vi diéu kién |x|>1, ta xét hai trường hợp : se Vớix>l Đặt: x=— ;0<t<^ Suy Ta: dự= 22952011 sin2t 4 sin’ 2t xdx _ 2dL _ 2(cost+sinÐ dt vx?-1 sin2t 8sin” tcos` t 1 = +———)dt in’ t cos’ t sintcost = —1 Cotet —— +(dt L $2 L 4 sin’ t cos t tgt cost =- IE cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) +2—=— 4 A(tgt) | tgt

“a

Khi đó: I=—-E Jootat d(cot gt) + Í tạt dúg)+2[— TT”

= ~a cot gt +2 +2In|tgtÌ)+C= seo h —tg’t) ~F Ine +C

=1x X mm -11+C

2 2

e V6ix <-1 Dé nghi ban doc tu lam

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: cotg”t—tg”t=4xvJx” —1 và tgt=x—vx”—l ¬ 2 „ Cosft-sinft 4cos2t 4V1-sin’ 2t 4 1

là bởi: cotgft—tgft= Ta = =— sa!

cos’ t.sin® t sin’ 2t sin 2t sin2t \ sin 2t

tet = sint _ 2sin’t _ l-cos2t - cos 2 Ot

Trang 17

Tích phân Trần Sĩ Tùng Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I= [ _— q+x) Giải: 3

Đặt: x=tgt; 2 <t<2 Suy ra: dx = dt 1 cos tat — costat

2 2 cost ld+x’y cos t

Khi đó: I= [costdt =sint+C = X—:+C V1+x? Chú ý: 1 =cost va sint = sc: xX 1+x? XI+x? ^Alcos”t =cost sint = tgt.cost = 1 Trong vi du trén sé di ta cé: là bởi: F<t< t= cost>0= x XI+x? 2 Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: dx với keZ Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I= Í[f@0dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Trang 19

Tích phân Trần Sĩ Tùng sin® x cosxdx =sin? x cosx sinxdx =(1— cos” x)Vcosx sinx dx =(1—t*).t.(2tdt) = 2(t° — t”)dt Khi đó: I= 2f«° -)dt = afte -te Jc =2 315 -70)t+C 7 3 21 = = (c0s' X—7cosx)Ncosx +C “3 Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: re" +SIn x Giải: Dat: t=V1—x > x=1-t’at=1+sin’x

Suy ra: dt = 2sinxcosxdx,

cosx.sinÌxdx _ sin’x.cosx.sinxdx _ (t—1)dt _ {1-4 Jar 1+sin?x 1+sin?x 2t 2 , Khi đó: I =zÍÍ-r}a = fI2(t—Inll+C=2 [1+sin x=In(L+siŸ x)]+C 2 Vidu 9: Tính tích phân bất định: I = sin’ x = Gidi: Dat: t = cotgx Suy ra: dt = -——dx, sin? x 2 2

Trang 20

Khi đó: I= 2[Ít+;}& =2? +In|e*? +1Ì)+C

Chú ý: Bài tốn trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t=e *, tuy nhiên với cách đặt t=e*'? chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán ¿ dx Ví dụ II: Tính tích phân bất định: I = lực Giải: Cách 1:

Dat: t=vl+e* ot =l+e*

Suy ra: 2tdt =e*dx eo dx = 2dt g dx tt _ 2d T1 Vice tŒ DĐ -—I dt t-l l+e*-1 Khi d6: I = 2} —— = InJ—_]+C = Inj ————_}+C lea t+1 Xl+e*+1 Cách 2 Đặt: t=e *? Suy ra: dt ¬ dx , 2 e dx _ dx — dx — —2dt

vite’ ve(e*+l) e je*+l xXvt+l

Trang 23

Tích phân Trần Sĩ Tùng Công thức tính tích phân từng phần: Judy =uv- J vdu Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác định I = jfœ)ax PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Trang 24

Trần Sĩ Tùng Tích phân Thay (2) vào (1), ta được: I= x.cos(Inx) + x.sin(Inx)— Ï © I= 2Ieos(In x)+sin(Inx)]+C Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân: l= Ísindn x)dx và I, = feos(in x)dx ta nên lựa chọn cách trình bày sau:

° Sử dụng tích phân từng phần cho l¡, như sau:

: 1

= 1 =—

Đặt: u=sin(In x) => du x cos(Inx)dx

dv=dx v=x

Khi đó: I, =x.sin(Inx) — [cos(Inx)dx = x.sin(Inx)—, (3)

° Sử dụng tích phân từng phần cho l;, như sau: 1 = 1 =——si Đặt: u=cos(Inx) + du x sin(Inx)dx dv =dx V=X

Trang 25

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

e _ Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau: u=P(x) du = P'(x)dx + Buéc 1: Dat: 1 dv = sinaxdx V=——cosơx a + Bước 2: Khi đó: I= — p(x) cosa + —[P'œ).eos ax.dx a a

+ Bước3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức

e_ Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất định) Ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước [: Ta có: l= [P@œcos œxdx = A(x)sinœx + B(x)cosœx+C (1) trong đó A(x) và B() là các đa thức cùng bậc với P(x)

+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

P(x).cosax =[A'(x) + B(x)].sina +[A(x) + B'(x)].cosx (2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức A(x) và B(x)

+ Bước 3: Kết luận

Nhận xé:: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tổ ra quá cổng kểnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần

Do đó ta đi tới nhận định chung sau:

— Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1

— Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2 Ví dụ 4: Tính: I= [x.sin°xdx (ĐHL, 1999) Giải:

Biến đổi I về dạng cơ bản:

I= |x Le cos2x dx = fxdx—1 [xcos2xdx = +x? -+[xcos2xdx (1) 2 2 2 4 2 Xét J = [xcos2xdx dx du = dx = ——— Dat: ie > ix? +1 dv = cos2xdx 1 v= 3 sin2x

Khi đó: = sin2x —+ [sin2xdx =*sin2x ++cos2x+C (2) 2 2 2 4

Trang 26

Trần Sĩ Tùng Tích phân Giải: Ta có: I= [(x)—x” +2x—3)sinxdx

=(aixỶ + bịX” +e¡x+ d,)cosx +(a¿x” +b„x” +c¿x + đ;)sin x + @)

Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

(xÌ—xŸ+2x~—3)sin x =[a,x” +(3ai + b,)x? + (2b, +.c,)x +c, +d,].cosx — —[a,x* - Ba, —b,)x” -(2b, —¢,)x +c, —d,].sinx (2) Đồng nhất đẳng thức, ta được: a, =0 -a,=1 3a,+b, =0 3a, —b, =-1 mee" ad và) 7 ` (II) 2b, +c, =0 2b, —c, =2 c,+d,=0 —c, +d, =-3

Giai (1) va (ID, ta dude: a, =—1, b, =1,c, =4,d, =1, a, =0, b, =3, c, =-2, d, =-4

Khi d6: I=(-x? +x? + 4x + l)cosx + (3x? —2x + 4)sinx +C Bài toán 3: Tính I= fem cos(bx)dx (hoặc fem sin(bx)) với a,bz0 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

e_ Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau: du = —bsin(bx)dx u=cos(bx) + Buéc 1: Dat: > lox dv =e"dx v=-e a : đó Lax Đau Khi đó: I=—e eos(bx)+— [e sin(bx)dx (1) a a + Bu6c 2: Xét J = fe* sin(bx)dx u=sin(bx) du = bcos x(bx)dx Dat 1 dv=e”dx v=—e™ a Khi đó: J=Le* sin(bx) _® [e* cos(bx)dx = |e sin(bx) _ÐỊ (2) a a a a + Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được: I= Le cos(bx) +P He» sin(bx) by a aa a _ [a.cos(bx) + b.sin(bx)e™ ~ a+b?

Trang 27

e”*,cos(bx) = b[—A sin(bx) + Bcos(bx)]e?" + a[A cos(bx) + Bsin(bx)]e”" = [(Aa + Bb).cos(bx) + Ba — Ab)sin(bx)]e™ a À nw, 42 4 Aa+Bb=1 A= hề Đồng nhất đẳng thức, ta được: > Ba-Ab=0 b B= a+b [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e*" ae + + Bước 3: Vậy: [= Chú ý:

1 Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân:

I= fem cos(bx)dx va I, = fem sin(bx)dx ta nên lựa chọn cách trình bày sau:

e_ Sử dụng tích phân từng phần cho l¡, như sau: u=cos(bx) du =—bsin(bx)dx Dat: 1 dv =e"dx v=-e a ax Khi d6: I, = de cos(bx) +2 fen sin(bx)dx = 1 e™ cos(bx) + DỊ, (3) a a a a e_ Sử dụng tích phân từng phần cho l¡, như sau: du = bcos(bx)dx u=sin(bx) Đặt: lox dv =e™dx v=-e a Khi đó: L, = | 6 sin(bx) — P[e= cos(bx)dx =-Le'* sin(bx)— br (4) a a a a e Ti hé tao bdi (3) và (4) ta nhận được: _ [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e"" ~ a”+bŸ

2 Phuong pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:

J,= fe™ sin (bx)dx và J; = fem cos’ (bx)dx 1, +e L= {a.sin(bx)— b.cos(bx)le +C, a“+b Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: I = [e*.cos” xdx Giải:

Cách 1: Viết lại I dưới dang:

I= sled +cos2x)dx = se + Je*.cos2xdx) = 2Á + Je*.cos2xdx) (@) «_ XétJ= Íe".cos2xdx

Trang 26

Trang 28

Trần Sĩ Tùng Tích phân u=cos2x du = —2sin2xdx Dat: > dv = e*dx v=e" Khi d6: J = e* cos2x+ 2[e" sin2xdx (2) s«‹ Xét K= Jes sin 2xdx u=sin2x du = 2cos2xdx Dat: > dv = e*dx v=e"

Khi d6: K =e* sin2x — 2fe* cos2xdx =e*sin2x-—2J (3) Thay (3) vào (2), ta được:

J=e* cos2x + 2(e* sin2x-2J) = J= 5 (o0s2x +2sin2x)e* +C (4)

Thay (4) vào (1), ta được:

I=2Ie" + (eos2x +2sin2x)e"]+C =1g(Š+©ox2x + 2sin2x)e" +C Cách 2: 1=2 [e*(1+cos2xkx =(a+b.cos2x +c.sin2x)e* +C (5)

Lấy đạo hàm hai vế của (5), ta được:

se (1+ cos2x) = (—b.sin 2x + 2c.cos2x)e* + (a+ b.cos2x + c.sin2x)e*

=[a+(2x +b)cos2x +(c—2b)sin 2x]e” (6) 2a=1 a=1/2 Đồng nhất đẳng thức, ta được: 42(2c+b)=1 = 4b =1/10 2(c—2b)=0 c=1/5 Vay: I= NG +cos2x +2sin2x)e* +C Bài toán 4: Tính I= [Pœðedx với P là một đa thức thuộc R[X] và œ e RỶ PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta lua chọn một trong hai cách sau:

e _ Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau: u=P(x) du = P'(x)dx dv =e™dx v=—e™ œ + Bước l: Đặt : | 4 cau 1 a 1 ax + Bước 2: Khi đó: 1=—P(x)e™ -—[P'(x).e™ dx œ œ

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức

e_ Cách 2: (Sử dụng phương pháp hệ số bất định) Ta thực hiện theo các bước :

Trang 27

Trang 29

+ Bước 1: Tacé: I= [Pœ&)e” dx= A(x)e”“+C () trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)

P(x).e% =[A'(x) +aA(x)].e% (2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x)

+ Bước 3: Kết luận

Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách I tổ ra quá cổng kểnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần

Do đó ta đi tới nhận định chung sau:

e_ Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách I e©_ Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2 Ví dụ 7: Tính : I=] xe*dx Giải: u=x du=dx 1 1 1 1 Dat: x, 2 1 3,- Khido: I=—xe™ -—Je™.dx =>xe*-—e™ +C dv=e “dx v=-e 3 3 3 9 Ví dụ 8: Tính: I= [(2xÌ+5x”~2x+4)e”"dx Giải:

Ta có: I= fx’ + 5x? —2x + 4)e**dx = (ax? + bx” +cx + d)e™ +C (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

(2x) +5x” —-2x+4)e”" =[2ax” +(3a +2b)x” +(2b+2c)x+c+ 2d]e?* (2) 2a=2 a=l ` 3a+2b=5 b=1 Đồng nhất đẳng thức ta được: - 2b+2c=-2 c=-2 c+2d=4 d=3 Khi đó: I=(xÌ+x?—~2x+3)e”*+C Bài toán 5: Tính I= Í x”.Inxdx, với œ eR \{-] 1 u=Inx du=—dx Đặt: > dv = x“dx v= 1 x gạị atl a x1 x xơ" atl Khi đó: I= ——Inx - | —dx = —— Inx~ 5

Trang 30

Trần Sĩ Tùng Tích phân Ví dụ 9: Tính [= j* In2xdx du dx u=ln2x — 3 3 3 Đặt : dv = x*dx —_— 1, * | Khid6: 1=7In2x[x?dx 3 =" In2x-~-+C 3 9 v=_x 3 BÀI TẬP

Bài 16 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a/ f(x)=Inx; b/ f(x) = (x”+1)e”*; c/ f(x) = x’ sinx;

d/ £(x) =e*sinx; e/ £(x)= x.cosVx; f/ (x)= e* (1+ tex + tg’x) ĐS: a/ xInx-x+C b/ Ox? —x+3)e" +C;

c/ (2—x)’ cosx +2sinx +C; d/ 56 (sinx —cosx)+C;

e/ 2/x(x—6)sinVx +6(x—2)cosx+C; — f/ e'tgx+C

Bài 17 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 a/ Í(x)=e`'; b/ £(x) -(") sof £(x)=(x +1)? cos” x; xX d/ f(x)=e ”'.cos3x; e/f(x)=sindnx); # f(x)=vx”+K,(K#0); 2 DS: al AWx-De* +c; b/ 2Inx~2x—1#Š„e xX +C; 3 20: of (x+J „@œ+Ð sin2x | (x+1cos2x _ sin2x 6 4 4 8 af eˆ 13 f/ SVit+K + Sink + Va +K|+C Bài 18 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: al f(x)=xÌlnx (HVQY 1999) b/ f(x) =(x* +2)sin2x (ĐHPĐ 2000) c/ £(x)=xsinvx (DHMDC_1998)

(3sin3x—2cos3x)+C; e/ 2Isinn x)+cos(Inx]+C;

Trang 31

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác định nguyên hàm của f(x) bằng kỹ thuật đùng hàm phụ là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x) dễ xác định hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)

Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x) + Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), tức là: to + G(x) = A(x) +C, @ F(x) — G(x) = B(x) +C, + Buéc 3: Tiy hé (0), ta nhan duge: F(x) = slaw) +B(x)]+C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) Ví dụ I: Tìm nguyên hàm ham sé: f(x) = sx sin x —cosx Gidi: Chọn hàm số phụ: g(x) = 508% sinx —cosx Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta c6: sinx +cosx f(x) + g(x) =~ sinX +COSxX

=> F(x)+ G(x) = [POS x = P=- = In|sin x — cosx| +C,

sin X — COSX sin X —COSX

f(x) — g(x) = SSE sin x — cosx =1 > F(x)-G(x) = fdx=x+C,,

F(x) + G(x) = In|sin x — cosx|+ C¡ 1a,

Trang 32

Trần Sĩ Tùng Tích phân n|Š12x~ NT: nn2x+V2| F(x)+G(x) =x+C, 1 nd 2 +sin2x Ta được: 9 Iạ Y2 +sin2x +C => F(x) == (x) af z5 cố mm) + P@)=G00= nh "2 —sin2x 2cos2x dx f d(sin2x) I1 = FO) GO) =] 2—sin2x sin2x-2 2V Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) =2sin’ x.sin2x Giải: Chọn hàm số phụ: g(x)= 2cos” x.sin2x

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta c6:

f(x) + g(x) = 2(sin’ x + cos” x).sin2x = 2sin2x => F(x) + G(x) = 2Í sin2xdx =—cos2x + C, f(x)— g(x) = 2(sin” x— cos” x).sin2x = ~2cos2x.sin2x = —sin 4x =F(x)~G(x) =~ sin4xdx = -cos4x +C, F(x) + G(x) = —cos2x +C, Ta được: 1 => F(x)= 1 —cos2x + cos4x +C F(x) - G(x) = 4 cos4x ++C, 2 4 x Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) =—_ © e Giải: Chọn hàm số phụ: g(x)= © e*-e* Goi F(x) va G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: *xưc” F(x) +20) = => F(x) +G(x) = jee +e" —dx = pte | Inle*—e"*|+C, e -e f(x) — g(x) = 2 ¬ =1 13 Fe)-06) = fare, e -e F(x)+ G(x) = In|e* —e *|+C Ta dude: (+ GG) ale ° | ' — F(x) = (In e*-e”" F(x)—G(x)=x+C, 2 BÀI TẬP Bài 19 Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ ÍX)=— CC —; b/f&x)=sin°xcos2x œf&)=— —

sinX + COSX e+e

DS: a/ 5 (x=In|sinx + cosx|+C; b/ 4 (sindx —Lsindx —x) +C; c/ S(x+in e*+e*

Trang 31

Trang 33

Tích phân Trần Sĩ Tùng Để xác định nguyên hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1 Phương pháp tam thức bậc hai 2 Phương pháp phân tích 3 Phương pháp đổi biến 4 Phương pháp tích phân từng phần 5 St dụng các phương pháp khác nhau

1 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI

Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm hữu tỉ dựa trên tam thức bậc hai PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau: xdx 1 2 Fea 2th wre (1) 2 f= mF +cv6iaz0 — @) xa? 2a |x+a 4 ⁄ ⁄ a aa AL xdx Vidu 1: Tinh tich phan bat dinh: I = Í===—= x" -—2x° -2 Giải: 2 Ta có: Is =| = => dx a -2 *(x°-1)°-3 (x“-Jˆ-3 -1_Ln=I=3 | c = pq) =E=3|c 293 |x?-1+v3 — A3 |x? -14V3 © Chi ý: Cũng có thể trình bày bài toán tường minh hơn bằng việc đổi biến số trước khi áp dụng các công thức (1), (2) Cụ thể: xdx xdx Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: la = lạ p-ã Đặt t=x?—1 xdx 1 dt

Suy ra: dt=2xd & y XX w2-DP-3 20-3 =

Khi ds: 1=5 [0 = 1 Pa3 PT fal Ca ae" ft 3] co tl 8,

Trang 34

Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây để phân tích Onn ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc X 2 Dang I: Tính tích phân bất định: 1= [—”——;dx, với a #0 (ax+b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng nhất thức: x= Fay? = sax +b)—b] = tax +b)’ —2b(ax +b) +b’] a a a 2 2 2 Ta được: X _ i (ax +b)" —2b(ax+b)+b (ax+b)* a? (ax + b)* 1 1 2b b =| a? pet te a’ | (ax+b) (ax + b) (ax + b) 2 Khi đó: 1=-z.lÍ dx =-Í _— sf bˆdx

a (ax + b)* (ax + b)” (ax +b)*

_1 [ d(ax+b) _ f 2bd(ax + b) + [ b’d(ax +b) a? |? (ax+b)?? ° (ax+b)*7 (ax+b)* |’

Trang 35

Tích phân Trần Sĩ Tùng 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I= [q —x)? Gidi: St dung déng nhat thife: x? =(1—-x)? —-2(1—x) +1 x (—x}-2—x)+1 1 2 1 Ta được: —x)” = q-x)° = q-x}” - q-x)” + (l—x)? rau dx 2dx dx Khi đó: I= |G qo ao 1 2 1 => et 36(1—x)® 374-x)” 38(1—x)*® tC Chú ý: Mở rộng tự nhiên của phương pháp giải trên ta đi xét vi dụ: x? Vidu 4: Tinh tich phan bat dinh: I= oa p® dx (x- Gidi: Sử dụng đồng nhất thức (công thức Taylo): xÌ =1+3(x—1)+3(x— 1)” +(x— LẺ x` I+34x-l)+3x-U+(&x-UŸ (x-b° ~ (x-b” — 1 3 38 (x-1'° (x-1?) (x-D* (x-1)” 3 3 1 Khi đó: I= cm pe taro _ 1 3 31 xe _— 9œx-IU? 8@«-ÚŸẺ 7&%-1U 6&x-1" 7 Ta được: Dạng 2: Tính tích phan bat dinh: I, = lower vớia # 0 và n nguyên dương ax’ +bx+ce PHUONG PHAP CHUNG Ta xét các trường hợp sau: e_ Trường hợp I: Nếun=1

Ta xét ba khả năng cia A =b’ —4ac

Trang 36

Trần Sĩ Tùng Tích phân Do a6: 4 =—t— ff 4-1 gx = 1 tn —x|—tn xa] +C a(x; —X,)"\ X-X, X—X; a(x, —X 1 =———_.In a(x, —X,) XX, +C x—X; * Khả năng 2: Nếu A=0 —L_-_ 1 ax +bx+c_ a(x-xg) Do đó: 1=+f dx — ! a" (x—Xg) a(x—X,) Khi đó: +C

*- Khả năng 3: Nếu A<0

Khi đó thực hiện phép đổi biến x= tgt với te (š =) e_ Trường hợp 2: Nếun>1 Bằng phép đổi biến t =x +2, ta dude: I, = ¬ 5 dt 2a a"? (t? +k)" Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt: 1 2ntdt u=———_ u=-—“—— (+k)" => (+k)"" dv =dt v=t 2 2 — Khi đó: 1, = 2 ‘ +2nƑ wo 1 =-+ 2 : +2nf cơ nh a"[@?+k)" (+k) a” +k)" (CO +k)" 1 t dt dt 7 ip +k 2a (+k)"— kỊ (Pe +k | 1 t t =—| ———— my + 2n(I, —kI (I, ¬ © 2nkI,,, me ( =—>———— + (2n-a")I i, © 2 n—I1(1, = —t r+(2n=2=a*)lạu @) (+k)>”

Chú ý: Vì công thức (1) không được trình bày trong phạm vi sách giáo khoa 12, do đó các em học sinh khi làm bài thi không được phép sử dụng nó, hoặc nếu trong trường hợp được

sử dụng thì đó là một công thức quá cổng kểnh rất khó có thể nhớ được một cách chính xác, do vậy trong tường hợp n > 1 tốt nhất các em nên trình bày theo các bước sau:

—_ Bước l: Xác định l¡

—_ Bước 2: Xác định I; theo I„ ¡ (chứng minh lại (1))

Trang 38

Trần Sĩ Tùng Tích phân (Ax+)dx ——— ¬x: với a0 và nnguyên dương (ax* + bx +c)" ang 3: Tinh tích phân bất định: I, = Í PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phân tích: ers a A part id (2ax + b)dx + Sf 2a (ax? +bx +c)" (ax? Tra? a/ Với apa thì: 2a* ((ax”+bx+c)° * Nếun=l, ta được: J,= A Cant bien _ -È Inlax? + bx +c|+C 2a“ ax+bx+c 2a *° Nếun> l,ta được: 1 =Í (Zax+b)dx ^ 1

"` 2al(ax+bx+c)" 2a(n-J) (ax+bx+c)"!

b/ Với K,= [—#“= ta đã biết cách xác định trong dạng 2 (ax”“+bx+c)*" Tổng quát hẹp: Trong phạm vi phổ thông chúng thường gặp tích phân bất định sau: Ie [foe P(x)dx v6ia#0 va bac ctia P(x) lớn hơn 1 ax?+bx+c”

— Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho ax? + bx +c ta được: P(x) Ax+u Fw _ AKT ax?+bx+c QW) ax’ +bx+c À 2ax+b Ab 1 = +—.————+(t-—)———— QW”) 2a ax’ +bx+c (u 2a ax? +bx+c 4 tae (ax+b)dx „ _ Ab dx — Bước 2: Khi đó: I= d —)|— ° ° Ja Jjm +bhx+C PP

Trang 39

Tích phân Trần Sĩ Tùng 3 2 Biến đổi: 2x 10x +16x T2 =- 1 =2+ A + B x” —5x+6 x” —5x+6 x-3 x-2 Ta được hằng đẳng thức: 4x—l= A(x—2)+B(x—3) ad Để xác định A, B trong (1) ta có thể lựa chọn một hai cách sau: e _ Cách l: Phương pháp đồng nhất hệ số Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dẫn, ta có: 4x—1I=(A+B)x+2A-3B VU 2y A+B=4 A=ll Đồng nhất đẳng thức, ta được: - -2A-3B=-1 B=-7 e _ Cách 2: Phương pháp trị số riêng: ` A=ll Lần lượt thay x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: tp 7 2x?—10x”+16x—1 11 7 Từ đó suy ra: x 10x + 16x =2x+ - x —5x+6 x-3 x-2 Do đó: 1=]]an+ 24 - 5 X— X— x

Nhận xét: Trong ví dụ trên việc xác định các hệ số A, B bằng hai cách có độ phức tạp

gần giống nhau, tuy nhiên với bài toán cần phần tích thành nhiều nhân tử thì cách 2

thường tỏ ra đơn giản hơn

Dang 4: Tinh tich phan bat định: 1, = [ (x—ơ)(ax”“+bx+c) (ax?+b,x+c¡)dx 5 ,„ với a#0

PHUONG PHAP CHUNG

Ta xét ba kha nang ctia A = b’ — 4ac

e Khd ndng 1: Néu A > 0, khi d6: ax” + bx +c =a(x —x,)(x—x,) ax’ +bxte, = A + B + C Khi đó phân tích: 5 = (x-a)(ax°+bx+c) X-Q@ X-X, X—-xX, boas: t=[[ A, Bf J&=AnksleBhix=x|eCnls-s,lrC X-Q@ X-X; X—-X, e Khả năng 2: Nếu A =0, khi đó: ax? + bx +c=a(x—x,) 2 Khi đó phân tích: —®Š+ĐX19 1 A, Boy OC (x-ơ)(ax“+bx+c) x-œ Xx-Xạ (X-Xg)

Trang 38

Trang 40

Trần Sĩ Tùng Tích phân 2

Khi đó phân tích: — #6 +BX‡e, _ Á „ BOx+b)

(x-a)(ax°+bx+c) x—œ ax? +bx+C ax“+bx+c Do dé: I= i +Beax+h , dx xX-Q@ ax°+bx+c ax°+bx+c dx =Aln|x — d|+ Bln lax” eh las acre ax” +bx+c Trong d6 tich phan J = Ja được xác định bằng phép đổi biến x = tgt với ax? wre Tổng quát: Tính tích phân bất định:

I= Sooner’ với a z0 và bậc của P(x) lớn hơn 2

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	13,41 MB