TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC THI TH I HC, CAO NG NM 2011 Môn thi: Toán, khi A,B,D ÁP ÁN (gm 5 trang) Câu Ý Ni dung iªm I 2,00 1 Khi 1m ta cã hµm sè 32 34y x x 1,00 Tp xác đnh: Hàm s có tp xác đnh D. S bin thiên: Chiu bin thiên 2 36y' x x Ta có 2 0 0 x y' x , y 0 x 2 x 0 h/s đng bin trên các khong ; 2 & 0; , y 0 2 x 0 hàm s nghch bin trên khong 2;0 2 0 0 4 CD CT y y ; y y Gii hn 3 3 x x 34 limy lim x 1 xx 0,25 0,25 Bng bin thiên: x -2 0 y' 0 0 y 0 -4 0,25 th: th ct trc Ox ti các điêm (-2;0),(1;0),ct trc Oy ti đim (0;-4) 0,25 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè 1 cã hai ®iÓm cùc trÞ ,AB 1,00 1 -2 O x x x x -4 y 32 34y x x www.VNMATH.com , 2 2 3 2 1y x mx m .Hàm số có cực trị khi và chỉ khi ph-ơng trình , 0y có hai nghiệm phân biệt ' 10 m , 0 1 1y x m x m .Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 1; 1 , 1; 3 . 1; 1 , 1; 3A m m B m m OA m m OB m m OAB vuông tại O khi ,,O A B phân biệt và 2 . 0 2 2 0 1 2OAOB m m m m đáp số : 12mm 0,25 0,25 0,25 0,25 II 2,00 1 Gii phng trỡnh : 4 3 4cos2 8sin 1 sin2 cos2 sin2 xx x x x 1,00 Đ/k sin 2 cos2 0 82 sin 2 0 2 xl xx l x xl Z ta có: 2 4 1 cos2 8sin 8 3 4cos2 cos4 2 x x x x Ph-ơng trình 3 4cos2 3 4cos2 cos4 1 sin2 cos2 sin2 x x x x x x cos4 1 sin2 cos2 0,sin2 0 sin2 cos2 sin2 x do x x x x x x 1 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 0 sin2 x x x x x x cos2 0 sin2 cos2 0 2 2 42 x x x loai x k x k k vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm 42 x k k Z 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Gii hệ phng trỡnh: 1 2 3 4 7 * 1 log 2 ** x x x y y x y y 1,00 Đ/k 0 1 1 1 2 0 2 & 0 0 2 xx y y y Từ pt (*) ta có : 22 1 3 1 2 3 2 ***x x y y xét hàm số : 2 3f t t t với mọi 0t ' 2 3 0 0f t t t suy ra hàm số ft đồng biến trên khoảng 0; Mà pt(***) 1 2 1 2 3f x f y x y x y thế vào pt(**) ta đ-ợc: 2 2 2 31 log 2 2 0 y y y y y y 12 25 y x loai y x tm .Vậy hpt có 1 nghiệm duy nhất là: ; 5; 2xy 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com III Tớnh tớch phõn: 4 1 ln 9 . x I dx x 1,00 đặt 2 2x t x t dx tdt Đổi cận : khi 1 1& 4 2x t x t Do đó : 2 22 2 11 ln 9 2 2 ln 9 t I tdt t dt t .Đặt 2 2 2 ln 9 9 t ut du dt t dv dt vt 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ln 9 4 9 33 4ln5 2ln8 4 ln 10ln5 12ln2 4 23 t I t t dt t t t t 0,25 0,25 0,25 0,25 IV . Tính thể tich khối chóp .ABDMN . 1,00 ta thấy 1 11 1 AC BD BD mp ACC A CC BD BD AC ABCD là hình thoi ccạnh a gọi ABC do 1 AC vuông góc với mặt phẳng BDMN 1 AC BN 22 1 1 1 1 0 . cos 2 4 2 aa AC BN AB BC CC BB BA 0 1 cos 120 2 0 60BAD ABD đều cạnh a .Ta thấy các đ-ờng thẳng 1 ,,BN DM AA đồng quy tại điểm I với 1 A là trung điểm của AI , N là trung điểm của BI , M là trung điểm của DI . . . 1 3 3 1 . . 4 4 4 3 IAMN A BDMN IABD ABD IADB V IAIM IN V V IAS V IAID IB = 3 3 . 16 a 0,25 0,25 0,25 0,25 V Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : P c b a . 1,00 22 2 2* 2 8 ** ab c c a b .Lấy (*)x2 +(**) theo vế ta đ-ợc 22 2 2 2 2 2 2 12 6 22 cc a b c c a b a b và từ (*) 22 22 2 2 2 8a b b a ; 6 22 8 2 ; 2 cc u a b u v v b a .u v u v bc ac c b a 43P .Dấu bằng xẩy ra khi và chi khi 22 13 2 13 22 / / & 2 2 2 2 4 a cc ab u v a b b ba c .Vậy max 43P 0,25 0,25 0,25 0,25 VIa 2,00 www.VNMATH.com 1 ) Trong mt phng vi h to Oxy cho hai điểm 2;1 , 1; 3AB do tứ giac ABCD là hình bình hành nên ta có 3 3;4 * 4 DC DC xx CD BA yy mặt khác : 1 2 30 ** 5 16 0 CC DD xy Cd Dd xy từ (*) và (**) ta giải đ-ợc 3 6 ; 62 C D CD x x yy ta có 3;4 , 4; 3BA BC cho nên hai véc tơ ,BA BC không cùng ph-ơng ,tức là 4 điểm , , ,A B C D không thẳng hàng ,hay tứ giác ABCD là hình bình hành.Đáp số 3; 6 , 6; 2CD 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Chứng minh rằng 12 ,dd cắt nhau tại A ; 1,00 ph-ơng trình tham số của 12 ,dd lần l-ợt là 12 1 1 2 ; 1 2 1 2 3 2 x t x s d y t d y s z t z s giải hpt giữa 1 2 1 2 , 1; 1; 1 1;1;1d d x y z d d A 1 d có vtcp 1 1;2;2u , 2 d có vtcp 2 1;2; 2u mặt phẳng P chứa 12 ,dd đi qua 1;1;1A và có 1 vtpt 12 / / ; 8;4;0 2; 1;0n u u n pt mặt phẳng :2 1 0P x y ta thấy MP ta có 1 1 2 1 12 2 1 2 2 / / 2;4;0 1;2;0 3 / / 0;0;4 0;0;1 v u u v uu v u u v là 2 vtcp của 2 đ-ờng thẳng phân giác của 2 góc tạo bởi 12 ,dd Đ-ờng thẳng 11 1 2 2;3;1 : : 3 2 1;2;0 1 xa quaM ya vtcpv z (loại do 1 A không tạo thành tam giác hoặc 1 1 2 ,,dd đồng quy tại A không tạo thành tam giác.) Đ-ờng thẳng 21 1 2 2;3;1 : : 3 0;0;1 1 x quaM y vtcpv zb Vậy đ-ờng thẳng cần tìm là 1 2 :3 1 x y zb 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa Tìm số phức z thoả mãn 3 1 .z i i z và 9 z z là số thuần ảo . 1,00 Đặt ,z a bi a b .Ta có 3 1 .z i i z 31a b i b ai 2 2 2 2 3 1 2a b b a b Khi đó 2 3 2 2 2 2 13 92 9 9 5 22 2 4 4 4 a ai aa z a i a i i z a i a a a là số ảo khi và chỉ khi 3 5 0 0 5a a a a 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com Vậy các số phức cần tìm là 2 , 5 2 , 5 2z i z i z i 0,25 VIb 2,00 1 Tìm toạ độ các điểm ,BC thuộc E sao cho I là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam 1,00 Ta có 2IA Đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt: 2 2 14xy Toạ độ các điểm ,BC cần tìm là nghiệm của hệ pt: 2 2 22 14 1 94 xy xy 2 2 2 2 2 14 14 3 3 5 18 9 0 5 xy xy xx xx 30x y B A C A (loại) 3 4 6 3 4 6 3 4 6 ; , ; 5 5 5 5 5 5 x y B C hoặc 3 4 6 3 4 6 ; , ; 5 5 5 5 BC 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Xác định toạ độ điểm 12 ;MN . 1,00 Giả sử 12 ; ; 1 ; ; 2; 2M t t t N s s s , 1;0;1A Ta có ; 2; 2 1 , 1; ; , 1; 2; 2 1MN t s t s t s AM t t t AN s s s theo gt: 2 2 2 1 1 2 2 1 3 .3 2 2 1 6 6 t s t s t s AM AN t s t s t s MN 2 10 22 13 8 27 66 39 0 99 ts st ts tt do đó 1;1;2 , 0;2;0MN hoặc 13 13 22 8 10 16 ; ; , ; ; 9 9 9 9 9 9 MN 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb Tìm số phức z thoả mãn 2z và 2 . 2z i z 1,00 Giả sử ,z x yi x y .Ta có z x yi và 2 . 2 2z i z x y x y i Khi đó 22 22 2 2 2 . 2 2 2 2 xy z z z i x y x y 22 22 22 2 0 2 1 5 8 2 1 xy xy xy xy x y xy xy 1 1 1 1 x y x y Vậy 1zi hoặc 1zi 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com . TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC THI TH I HC, CAO NG NM 2011 Môn thi: Toán, khi A,B,D ÁP ÁN (gm 5 trang) Câu Ý Ni dung iªm I . 32 34y x x 1,00 Tp xác đnh: Hàm s có tp xác đnh D. S bin thi n: Chiu bin thi n 2 36y' x x Ta có 2 0 0 x y' x , y 0 x 2 x 0. 3 3 x x 34 limy lim x 1 xx 0,25 0,25 Bng bin thi n: x -2 0 y' 0 0 y 0 -4 0,25