b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục Ox.. c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C, trục Oxvà trục Oy.. a Viết phương trình mặt phẳng P đi qu
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo
TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2008-2009)
MÔN TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài : 120 phút A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số : ( )
1 2
2
C x
x y
+
+
−
= a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Oxvà trục Oy
d) Xác định m để đường thẳng (d) :y =x+ 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Câu 2 (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=∫2 0
2 sin cos
π
xdx
x b) J=∫1 +
0
2
3 ) 1
x x
Câu 3 (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuơng gĩc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC)
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đĩ.( phần I hoặc phần II)
I)Theo chương trình chuẩn
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y= −x3 − 3x2 + 4 trên đoạn [-3;2]
2) Xác định m để hàm số y= x3+(m+2)x2−2mx+m+1 cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và cĩ tâm I thuộc đường thẳng (d):
+
=
=
=
6t 1 z
3t y
t -2 x
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y= x2 + 2x+ 5 trên đoạn [-3;2]
2) Xác định m để hàm số y= x3+ (m+ 2 )x2− 2mx+m+ 1 đồng biến trên tập xác định của nĩ
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và cĩ tâm I thuộc mp(P) cĩ phương trình: x + y – z + 2 = 0
HẾT
Trang 2Đ áp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số : ( )
1 2
2
C x
x y
+
+
−
= a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Tập xác định : }
2
1 {
\
Sự biến thiên
chiều biến thiên :
2
1 ,
0 ) 1 2 (
5
+
−
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; )
2
1 ( ) 2
1
; ( −∞ − và − +∞ 0,25 đ
Hàm số không có cực trị Tiệm cận :
2
1 1 2
= +
+
−
=
±∞
→
±∞
x Lim y Lim
x x
+∞
=
−∞
=
+
−
−
→
−
→
y Lim và y
Lim
x x
2 1 2
Đường thẳng
2
1
−
=
y là tiệm cận ngang
Đường thẳng
2
1
−
=
x là tiệm cận đứng 0,25 đ
Bảng biến thiên
0,25 đ
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại điểm ( 2 ; 0 )
Vẽ đồ thị Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
0,5 đ
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) y’(2) =
5
1
− Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) :
5
2 5
1 )
2 ( 5
1
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Oxvà trục
Oy
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 )
y’
y
+ ∞ -1/2
Trang 3Giao điểm với trục Oy : ( 0 ; 2 )
1 2
2
≥ +
+
−
=
x
x
y với x∈ [ 0 ; 2 ] nên diện tích hình phẳng cần tìm :
∫
+ +
−
= +
+
−
=
2
0
2 0 2
0
) 1 2 4
5 2
1 ( ) 1 2
2 / 5 2
1 ( 1
2
2
x Ln x dx
x
dx x
x S
S = 5
4
5
d)Xác định m để đường thẳng (d) :y =x+ 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị ( C ) thỏa phương trình :
m m
có m
x m x
m x m x
m m
m x mx x
x m x x
x
∀
>
+
=
∆
=
− + + +
≠
−
−
=
− + + +
⇔
≠
− +
−
−
−
=
− + + +
⇔
−
≠ +
= +
+
−
, 0 5 4
0 1 )
1 2 (
0 2 1 2 1
0 1 )
1 2 (
0 2 2 1 2 ) 2
1 ( 2
0 2 2 2 4 2
) 2
1 ( 2 1
2 2
2 2
2 2 2
Vậy với mọi m đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt
0,5 đ Câu 2 (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=∫2 0
2 sin cos
π
xdx
Đặt u = cosx thì du= − sinxdx 0,25 đ
Ta có :x = 0 thì u= 1
x =
2
π thì u = 0
Vậy I =
3
1 ) 3 ( )
1 0
1
3
+
1
0
2 3
2 1
0
2
3 1) ( 1 )
x
x dx
x x
Đặt u= x3+ 1 thì du= 3x2dx 0,25 đ
Ta có : x = 0 thì u = 1
x = 1 thì u= 2 Vậy J=
6
1 3
1 6
1 3
1 3
2
1 2
1
2 = − = − + =
Câu 3 (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3)
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA
Ta có BC= ( 0 ; − 2 ; 3 )
Trang 4) 0
; 0
; 1 (
=
OA
Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là :
) 2
; 3
; 0 (
=
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến )
2
; 3
; 0 (
=
n nên có phương trình :
(y – 2)3 + 2z = 0⇔3y + 2z – 6 = 0 0,5đ
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC)
Phương trình mp(ABC) : 1 6 3 2 6 0
3 2 1
=
− + +
⇔
= +
x
0,25 đ
Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH:
=
=
=
2t z
3t y
6t x
0,5 đ
H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :
= +
+
=
=
=
0 6 -2z 3y 6x
2t z
3t y
6t x
Giải hệ trên ta được H ( )
49
12
; 49
18
; 49
36
0,25 đ
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= −x3 − 3x2 + 4
y= −x3 − 3x2 + 4 xác định và liên tục trên R
2
; 0 0
'
6 3
−
=
=
⇔
=
−
−
=
x x y
x x y
( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] )
0,5 đ
Xét trên trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2
0,5 đ
2) Xác định m để hàm số y= x3 + (m+ 2 )x2 − 2mx+m+ 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu
Hàm số xác định có tập xác định là R
1 2
) 2
y
Trang 54 10 6
) 2 (
'
0 2 ) 2 ( 2 3 0
'
2 ) 2 ( 2 3
'
2 2
2
+ +
= + +
=
∆
=
− + +
⇔
=
− + +
=
m m
m m
m x m x
y
m x m x
y
(1)
0,5 đ
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt : ∆ ' > 0 ⇔m< − 5 − 21v m> − 5 + 21 0,5 đ
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):
+
=
=
=
6t 1 z
3t y
t -2 x
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto AB = ( 4 ; − 4 ; 2 )
→
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
0 2 z y
⇔
Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :
= + +
−
+
=
=
−
=
0 2 z 2y
2x
6t 1
z
3t
y
t 2
x
Giải hệ trên ta được I ( ; 22 )
2
21
; 2
3
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
2
967 19
) 2
21 ( ) 2 2
3
Phương trình mặt cầu ( S )
2
967 )
22 ( ) 2
21 ( ) 2
3 (x+ 2+ y− 2 + z− 2 = 0,5 đ
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
y= x2 + 2x+ 5 trên đoạn [-3;2]
Ta có tập xác định của hàm sô là R Hàm số liên tục trên R
] 2
; 3 [ 1 0
'
5 2
1 '
2
−
∈
−
=
⇔
=
+ +
+
=
x y
x x
x y
0,5 đ
Ta có y(-3) = 8 ; y(-1) =2 ; y(2) = 13
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 13 , đạt tại x = 2
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 0,5 đ
2) Xác định m để hàm số y= x3 + (m+ 2 )x2 − 2mx+m+ 1 đồng biến trên tập xác định của nó
Hàm số xác định có tập xác định là R
1 2
) 2
y
Trang 64 10 6
) 2 (
'
0 2 ) 2 ( 2 3 0
'
2 ) 2 ( 2 3
'
2 2
2
+ +
= + +
=
∆
=
− + +
⇔
=
− + +
=
m m
m m
m x m x
y
m x m x
y
(1)
0,5 đ
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương)
∆ ' ≤ 0 ⇔ − 5 − 21 ≤m≤ − 5 + 21 0,5 đ
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto AB = ( 4 ; − 4 ; 2 )
→
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
0 2 z y
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )
Vecto BC = ( − 2 ; 2 ; − 4 )
→
Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0
0 2 2 y
−
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) Giải hệ này ta được
Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = 11
Vậy phương trình mặt cầu ( S ): (x+ 1 )2+ (y− 1 )2 + (z− 2 )2 = 11
0,5 đ Hết