TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I 59 Nãúu sau khi bë can nhiãùu hãû thäúng khäng thãø âảt tåïi trảng thại cán bàòng äøn âënh, m truưn âäüng theo chu k äøn âënh thç gi l hãû thäúng nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh Xẹt tênh äøn âënh ca nọ thç ta phi âạnh giạ chuøn âäüng ca nọ sau khi váút nhiãùu ( chuøn âäüng tỉû do ) Gi sỉí phỉång trçnh vi phán ca hãû thäúng cọ dảng: ( ) ( )aP aP a Y bP bP b X n n om m o ++ + = ++ + 11 (1) Trong âọ a o a n , b o b m l cạc hãû säú , P l toạn tỉí (vi phán hồûc Laplapce) Sỉû thay âäøi âải lỉåüng âiãưu chènh Y(t) khi cọ tạc âäüng ca X(t) âỉåüc biãøu thë bàòng nghiãûm ca phỉång trçnh (1) v nghiãûm ny cọ dảng: Y(t) = Y o (t) + Y td (t) Trong âọ: Y o (t) - l thnh pháưn cỉåỵng bỉïc âỉåüc quút âënh båíi vãú phi ca pt (1) nọ chênh l nghãûm riãng ca phỉång trçnh vi phán khäng thưn nháút (1) Y td (t) - l thnh pháưn chuøn âäüng tỉû do (hay quạ âäü) v âáy chênh l nghãûm täøng quạt ca phỉång trçnh thưn nháút khäng vãú phi. ( )aP aP a Y n n o ++ + = 1 0 (2) Phỉång trçnh (2) l phỉång trçnh chuøn âäüng tỉû do ca hãû thäúng trãn . Gii ra ta tçm âỉåüc Y (t) = ? v tỉì âọ ta âạnh giạ âỉåüc Sỉû äøn âënh ca hãû thäúng Ta thỉåìng tçm âỉåüc nghiãûm ca phỉång trçnh trãn dỉåïi dảng hm m Y(t) = C 1 e P1t + . . . + C n .e Pnt Trong âọ P 1 . . . P n - l nghiãûm ca phỉång trçnh âàûc tênh a n P n + . . . a 1 P + a o = 0 * Kho sạt mäüt säú dảng nghiãûm ca phỉång trçnh âàûc tênh 6.1.1.Cạc nghiãûm ca phỉång trçnh âàûc tênh âãưu l säú thỉûc & khäng bàòng nhau a/ Nãúu cạc nghiãûm thỉûc ny l ám ( táút c ) ⇒ ta tçm lim lim . t K K n Pkt Yt C e →∞ = == ∑ 1 0 ⇒ Hãû thäúng äøn âënh b/ Nãúu 1 hồûc nhiãưu nghiãûm dỉång ⇒ lim lim . t K K n Pkt Yt C e →∞ = ==∞ ∑ 1 ⇒ Hãû thäúng khäng äøn âënh ϕ t o TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I 60 6.1.2. Phỉång trçnh âàûc tênh cọ 1 càûp l säú phỉïc cn lải l säú thỉûc ám Piu Piu K K =+ =− ⎧ ⎨ ⎩ + α α 1 m Yt C e Ce C e e C e C e K PKt K PKt K Pt t K iut K iut K ( ) . ( . . ) ==++= + ++ − + ∑ 11 1 α =+ . .sin( ) . eD ut t α θ Trong âọ : DCC arctg C C KK K K =+ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ + + 2 1 2 1 θ a/ α > 0 t → ∞ ⇒ lim ( ) t Yt →∞ = ∞ khäng äøn âënh b/ α < 0 t → ∞ ⇒ lim ( ) t Yt →∞ = 0 äøn âënh 6.1.3. Phỉång trçnh âàûc tênh cọ 1 càûp nghiãûm l säú o cn lải l thỉûc ám Piu Piu K K = =− ⎧ ⎨ ⎩ +1 ⇒= + = ++ + − Yt C e C e D ut K iut K iut ( ) . .sin( ) 1 θ Âáy l giao âäüng âiãưu ha ⇒ hãû thäúng nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh 6.1.4. Cọ mäüt nghiãûm bàòng khäng cn lải l nghiãûm thỉûc ám P K = 0 ⇒ khi t → ∞ lim ( ) t K Yt C →∞ = ⇒ hãû thäúng äøn âënh 6.1.4. Cọ mäüt säú nghiãûm trng nhau cn lải l nhiãûm thỉûc ám Gi sỉí cọ nghiãûm trng nhau ⇒ Yt C Ct Ct C t e C e K KPt K Pt () ( . ). =++ + + − +12 3 21 1 12 Nãúu P 1 < 0 ⇒ khi t → ∞ ⇒ Y(t) → 0 ⇒ hãû thäúng äøn âënh Nãúu P 1 ≥ 0 ⇒ khi t → ∞ ⇒ Y(t) → ∞ ⇒ hãû thäúng khäng äøn âënh Kãút lûn : - Táút c cạc nghiãûm nàòm trãn trủc o Jm thç hãû thäúng nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh -Trủc o chia ranh giåïi äøn âënh ca hãû thäúng - Phêa trại l vng äøn âënh - Phêa phi l vng khäng äøn âënh Váûy : Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø mäüt hãû thäúng tỉû âäüng tuún tênh äøn âënh l pháưn thỉûc ca táút c cạc nghiãûm ca phỉång trçnh âàûc tênh âãưu phi l ám ( nghéa l cạc nghiãûm ca phỉång trçnh âàûc tênh phi nàòm bãn trại ca màût phàóng phỉïc ) Re jm o TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I 61 Cạc âënh l ca Λ uanynob 1/ Nãúu hãû thäúng tuún tênh họa äøn âënh thç hãû thäúng phi tuún gọc cng äøn âënh 2/ Nãúu hãû thäúng tuún tênh họa khäng äøn âënh thç hãû thäúng phi tuún gọc cng khäng äøn âënh 3/ Nãúu hãû thäúng tuún tênh họa nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh âãø xạc âënh tênh äøn âënh ca hãû thäúng phi tuún gọc cáưn phi tiãún hnh nhỉỵng thê nghiãûm bäø sung dỉûa vo phỉång trçnh phi tuún gọc ca hãû thäúng Dỉûa vo nhỉỵng kinh nghiãûm thỉûc tãú ca qụa trçnh nghiãn cỉïu ngỉåìi ta âỉa ra âỉåüc nhỉỵng tiãu chøn äøn âënh âãø xẹt tênh äøn âënh m khäng cáưn gii phỉång trçnh âàûc tênh. 6.2: Tiãu chøn äøn âënh âải säú Hurwitz (Âỉïc) Gi sỉí cọ hãû thäúng m tênh cháút âäüng ca nọ âỉåüc mä t bàòng phỉång trçnh vi phán tuún tênh cọ phỉång trçnh âàûc tênh dảng aP a P a P a n n n n o ++ += − − 1 1 1 0 . Ta láûp âënh thỉïc D n=1 tỉì cạc hãû säú a 1 . . . . a n-1 , a n - Trãn âỉåìng chẹo chênh l cạc hãû säú âỉåüc láûp nhỉ bãn - Cn cạc cäüt cn lải phêa trãn âỉåìng chẹo chênh . thç gim dáưn cn phêa dỉåïi thç tàng dáưn Âënh thỉïc ny gi l âënh thỉïc Hurwitz chênh - Nãúu ta b âi mäüt hng cúi v cäüt cúi thç ta âỉåüc âënh thỉïc con D n-2 & v tiãúp tủc ta cọ cạc âënh thỉïc D n-3 . . . . D 2 v D 1 D aa aa nn nn 2 13 22 = −− −− D 1 = a n-1 Phạt biãøu tiãu chøn : Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø cho mäüt hãû thäúng tỉû âäüng tuún tênh äøn âënh l cạc hãû säú trong phỉång trçnh âàûc tênh v cạc âënh thỉïc âỉåìng chẹo láûp tỉì cạc hãû säú trãn phi dỉång Tỉïc l : aa a a DDD nn n 12 1 121 00 00 000 >> >> >>> ⎧ ⎨ ⎩ − − ; ; ; ; ; ; ; Vê dủ 1 : Gi sỉí cọ hãû thäúng tỉû âäüng m phỉång trçnh âàûc tênh cọ dảng P 4 + 5P 3 + 3P 2 +2P + 0,003 = 0 Ta â cọ a 1 . . . a 4 > 0 Láûp âënh thỉïc chênh 13 02 2 1 2 31 00 0 0 00 aa aa a a aa aa n nn nn − − −− TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I 62 D 3 520 1 3 0 003 052 = , = 30 - 0,75 - 4 > 0 D 2 52 13 = = 15 -2 > 0 v D 1 = a n-1 = 5 > 0 Hãû thäúng äøn âënh Vê dủ 2 : Gi sỉí cọ hãû thäúng tỉû âäüng m phỉång trçnh âàûc tênh cọ dảng P 4 + 3P 3 + 0,2P 2 + P + 1 = 0 D 3 310 102 1 031 = , = 0,6 - 0,9 -1 < 0 ; D 2 < 0 Hãû thäúng khäng äøn âënh Tiãu chøn âải säú Hurwitz cho phẹp xạc âënh mäüt cạch nhanh chäúng tênh äøn âënh tuût âäúi ca hãû thäúng khi biãút trỉåïc phỉång trçnh âàûc tênh våïi hãû säú thỉûc. Nãúu nhỉ cọ êt nháút mäüt hãû säú ca phỉång trçnh âàûc tênh l säú phỉïc hồûc phỉång trçnh khäng cọ dảng âải säú m l dảng hm m hồûc hm sin thç tiãu chøn Hurwitz dảng âån gin khäng ạp dủng trỉûc tiãúp âỉåüc. Mäüt giåïi hản nỉỵa ca tiãu chøn Hurwitz l khäng âạnh giạ âỉåüc âàûc tênh cháút lỉåüng ca hãû thäúng v khäng âãư xút âỉåüc phỉång ạn ci tiãún hồûc hiãûu chènh hãû thäúng. 6.3: Tiãu chøn äøn âënh Muxau Λ ob (Nga) Vo nàm 1938 khi nghiãn cỉïu vãư ngun l gọc quay MuxauΛob nh bạc hc ngỉåìi Nga â âỉa ra tiãu chøn âạnh giạ äøn âënh hãû thäúng tỉû âäüng dỉûa trãn viãûc xẹt mäüt âỉåìng cong gi l âỉåìng cong Muxau Λ ob. Gi sỉí hãû thäúng tỉû âäüng cọ phỉång trçnh âàûc tênh a n P n + . . . . + a 1 P + a o = 0 Thay P = iω ⇒ M (i ω ) = a n (i ω ) n + . . . . + a 1 (i ω ) + a o = 0 ⇒ M (iω) = U (ω) + i V(ω) = R(ω). e i ψ ( ω ) U ( ω ) - Cọ ton bäü säú hảng cọ m chàơn (pháưn thỉûc) V(ω) - Cọ ton bäü säú hảng cọ m l (pháưn o) R(ω) v ψ(ω) - L mädun v argumen ca vẹc tå M(iω) TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I 63 V(ω) U(ω) ω = 0 ω = 0,1 ω = 0,64 ω = 1,73 0 V(ω) U(ω) ω = 0 ω = 0,58 0 ω = 0,3 Trãn màût phàóng phỉïc, M (iω) l mäüt vẹc tå v gi l vẹc tå MuxauΛob, khi ω = 0 ÷ ∞ thç muiỵ vẹc tå v nãn âỉåìng cong Muxau Λ ob trãn màût phàóng phỉïc ( Vẹc tå quay chiãưu ngỉåüc kim âäưng häư ) Phạt biãøu tiãu chøn : Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø cho mäüt hãû thäúng tỉû âäüng tuún tênh äøn âënh l âỉåìng cong Muxau Λ ob phi láưn lỉåüt âi qua n gọc vng ca màût phàóng phỉïc theo chiãưu ngỉåüc kim âäưng häư . Khi ω thay âäøi tỉì 0 ÷ ∞ . Trong âọ n l báûc phỉång trçnh âàûc tênh ca hãû thäúng nãúu âỉåìng cong Muxau Λ ob âi tàõt qua gọc ta âäü v sang gọc vng khạc thç hãû thäúng nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh Hãû thäúng äøn âënh HT nàòm trãn biãn giåïi äøn âënh HT khäng äøn âënh Chụng ta cọ thãø tháúy ràòng âäúi våïi hãû thäúng äøn âënh thç táút c cạc hãû säú ca phỉång trçnh âàûc tênh dỉång (a i >0) nãn âỉåìng cäng Muxau Λ ob ln cọ xu hỉåïng xút phạt tỉì pháưn dỉång trủc thỉûc ( ω = 0) . Ngoi ra âäúi våïi hãû äøn âënh mä t bàòng phỉång trçnh vi phán tuún tênh hãû säú hàòng thç ψ ( ω ) l hm âån âiãûu tàng âäúi våïi ω nãn âỉåìng cäng Muxau Λ ob ca hãû äøn âënh cọ dảng xoạy trän äúc måí ra. Vê dủ 1 : Hãû thäúng cọ phỉång trçnh âàûc tênh P 4 + 5P 3 + 3P 2 +2P + 0,003 = 0 ⇒ M (iω) = (iω) 4 +5(iω) 3 +3(iω) 2 + 2(iω)+0,003= 0 ⇒ M (iω) = (ω 4 - 3ω 2 + 0,003) + i (-5 ω 3 + 2ω) ⇒ U = ω 4 - 3 ω 2 + 0,003 ; V( ω ) = -5 ω 3 + 2 ω Dỉûng âỉåìng cong Muxau Λ ob ω = 0 ⇒ U = 0,003 V = 0 ω = 0,64 ω = 0,1 ⇒ U = 0 ⇒ Hãû thäúng äøn âënh Vê dủ 2 : P 4 + 3P 3 + 0,3P 2 +P + 1 = 0 ⇒ M (iω) = (ω 4 - 0,2ω 2 + 1) + i (- 3ω 3 + ω) ⇒ U = ω 4 - 0,2 ω 2 + 1 ; V( ω ) = -3 ω 3 + ω ⇒ Hãû thäúng khäng äøn âënh V(ω) o U(ω) n = 2 n = 1 n = 3 n = 4 n = 5 ω = 0 V(ω) o U(ω) n = 3 n = 4 ω = 0 V(ω) o U(ω) n = 6 n = 7 n = 4 ω = 0