Bài tập DAO ĐỘNG kỹ THUẬT

◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ ◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II ◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình vi phân da

◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ

◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II

◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình

vi phân dao động của hệ

2cx2Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ là :

Gọi tọa độ của chất điểm là x,y

Từ hình vẽ , ta được : x= lsin , y=lcos

Hàm động năng : T= 1 2 2 1 2 2

2m x y 2ml Hàm thế năng :  = -mgy = -mgl cos

Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai

Hình2

m

q = C cos t +sin =0 C sin t 1 0 2 0 (2) (C ,C1 2:const xác định từ điều kiện đầu)

Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được

c1  q0 , 2 0

0

q c

0

1

( )2

1 2

2 0

3 s

P P

Thế năng của lò xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật :

2

2

c x

T = 2

P P cg

1 Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả

thiết bỏ qua khối lượng Đại lượng đặc trưng cho phần tử đàn hồi có độ cứng là kí hiệu

là c Phần tử đàn hồi có nhiều hình dạng và kết cấu tùy theo sử dụng và cách chịu lực của chúng Dưới đây là cách xác định tham số độ cứng dao động

a Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi

Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy đổi tương đối đơn giản Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4)

 Trong đó E là môđun đàn hồi ,A là diện tích mặt cắt



Hình 4

Trong trường hợp thanh đàn hồi lò xo chịu xoắn (hình 5)

x

p

M l GI



 

Trong đó G là môđun trượt ,I p là momen

quán tính của mặt cắt ngang

Từ công thức trên ta suy ra

Fl f

8 D

G n

d- Đường kính thiết diện D- Đường kính lò xo G- Mô đun trượt n- Số vòng lò xo

 

c c c c c

Ví dụ 1: Cho hệ dao động gồm khối lượng và

các lò xo mắc như hình 9 Hãy tính tần số riêng

Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song

c c c

4,64 20.10

c g m

Hình 11

II Phần hai : Bài tập

Câu 1 Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích

 , 2 bu

h m



Thay vào (1) ta được lập phương trình vi phân dao động của hệ :

y   2  y   02y h  1sin   t h c2 os  t

Nghiệm của phương trình có dạng :

y t*( ) A sin(    t  )

Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần

số dao động riêng của hệ ?

89 8 9

8 9

1,5.1,5.20

15( / )3

15 67 67 89 15 89

70.20.15 84

7.636( / ) 70.20 20.15 70.15 11

C

m

    (rad/s)

Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối

dài L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ

số cản nhớt b như hình 14

1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m?

2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga Biết m=10 kg, L= 1m, a= 0,6m ,độ cứng lò xo c=104 N/m , hệ số cản nhớt b=3.102kg s /

Hình 14 Hình 15

1

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15

Gọi  là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng

Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được :

m

Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

3.10 (0,6)

5, 4 (s )

ba mL

Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau :

Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l ,khối lượng mỗi vật điểm là m

Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c , ở vị trí cách trục quay mộtđoạn là d Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạngbằng khoảng cách giữa hai trục con lắc Bỏ qua khối lượng của thanh , lò xo và bỏ qua lực cản

a.Xác định các tọa độ chính của hệ

b.Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu :

Hình 16

Vectơ riêng :

1 1 v

V v

Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính

Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng

1 1 1 1

( ) sin( ) ( ) sin( )

Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự

do như hình 17 Các khối lượng chỉ có thể dao

động theo phương thẳng đứng

a Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động

của cơ hệ ?

b Xác định tần số dao động riêng và vectơ dao

động dạng riêng của cơ hệ ?

c Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ

chính ?

Điều kiện đầu :

c  c  c b  b  b m  m  m

Chọn tọa độ suy rộng là x x1 , 2 với x x1 , 2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối

lượng m m1 , 2 khỏi vị trí cân bằng tĩnh

Với điều kiện ban đầu : c1  c2  c , b1  b2  2 , b m1  m2  3 m

Thay vào hệ phương trình (1) , ta được hệ phương trình vi phân dao động của cơ hệ :

1 3 5

6

c m

V



Với :