LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 11 ppsx

Hình 10.2 Theo công thức (10.2.9), biĨu diƠn d−íi d¹ng t Du (t ) =  Ru ()d (10.2.16) Các giá trị hệ số khuếch tán rối thnh phần vĩ hớng đà đợc tính v dẫn hình 10.2 Phân tích h×nh nμy cho thÊy r»ng, theo thêi gian hƯ sè khuếch tán rối tăng lên, đạt đến cực đại sau 30 giờ, sau dần tiến đến giá trị giới h¹n ∞ D(∞) =  Ru (τ)dτ , mμ thực tế đạt đợc khoảng = 54 ữ 60 Chơng 11: Về việc tính mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng Phổ sóng biển 11.1 Xác định mật độ phổ theo số liệu thực nghiệm Trong chơng đà thấy mật độ phổ S () trình ngẫu nhiên dừng l biến đổi Fourier hm tơng quan R() v đợc xác định theo công thức (3.2.12) Khi cần biết hm tơng quan thực ton khoảng vô hạn biến đổi đối số Khi xác định đặc trng thống kê trình ngẫu nhiên X (t ) theo số liệu thực nghiƯm chóng ta sư dơng c¸c thĨ hiƯn cđa qu¸ trình ngẫu nhiên đợc ghi khoảng hữu hạn T no biến thiên đối số t Khi ta xác định giá trị ~ thống kê hm tơng quan R () khoảng [ T , T ] Đặc biệt, xác định hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic theo thể x(t ) độ di T , giá trị thống kê đợc xác định theo công thức (2.6.2) Nh đà thấy chơng 6, nhiều nguyên nhân, giá trị thống kê hm tơng 206 ~ quan l hm ngẫu nhiên no đó, v giá trị tính đợc R () khác nhiều so với giá trị thực hm tơng quan R() v phơng sai sai số tăng đáng kể đối số tăng Vì việc sử dụng trực tiếp công thức (3.2.12) v thay hm tơng quan thực giá trị thống kê nó, thay khoảng tích phân vô hạn khoảng hữu hạn, tức c«ng thøc ~ T −iωτ ~ S (ω) = e R ()d , T l không hợp lý, việc không tính đến trị số hm tơng quan > T ~ v khác biệt đáng kể hm R () so với giá trị thực hm tơng quan, đặc ~ biệt giá trị gần cận khoảng tích phân, dẫn đến giá trị S () tìm đợc khác với giá trị thực mật độ phổ Một vấn đề nảy sinh l, lm no để xác định giá trị phù hợp mật độ phổ trình ngẫu nhiên xét hm tơng quan thực, m sử dụng giá trị thống kê ~ Ta xét hm R () , giá trị thực cđa hμm t−¬ng quan R(τ) τ ≤ τ m vμ b»ng τ > τ m Hμm nμy cã thĨ xem nh− tÝch cđa hμm R(τ) víi hμm λ(τ) ~ R (τ) = λ(τ) R(τ) , (11.1.1) ®ã  τ ≤ τ m ,  λ (τ) =  0 τ > τ m (11.1.2) ~ Hm R () đợc cho khắp trục số thực Ta tìm biến đổi Fourier v ~ ~ xem l giá trị gần S () mật độ phổ S (ω) , tøc lμ tÝnh S (ω) theo c«ng thøc ~ ∞ −iωτ ~ ∞ −iωτ S (ω) = e R (τ)dτ = e λ(τ) R(τ)dτ 2π − 2π − ∞ ∞ (11.1.3) Ta ký hiÖu S () l mật độ phổ thực trình ngẫu nhiên, tức biến đổi Fourier hm tơng quan thực R(τ) , ký hiƯu Q(ω) lμ biÕn ®ỉi Fourier, tøc phỉ, cđa hμm λ(τ) Q(ω) = ∞ −iωτ e λ(τ)dτ 2π − ∞ (11.1.4) ~ Theo (11.1.3) tÝch λ(τ) R(τ) lμ biÕn ®ỉi Fourier cđa hμm S (ω) ∞ ~ λ(τ) R(τ) =  e iωτ S (ω)dω (11.1.5) Mặt khác, ta có () R (τ) =  e iω1τ S (ω1 )dω1  e iω2 τ Q(ω )dω = −∞ −∞   =  S (ω1 )   e i ( ω2 + ω2 ) τ Q(ω )dω dω1 −∞ − ∞  ∞ ∞ Khi thay thÕ ω1 + ω = ω ë tÝch phân bên v đổi thứ tự lấy tích phân, ta đợc 207 () R() = e iωτ   S (ω1 )Q(ω − ω1 )dω1  dω −∞  −∞  (11.1.6) So s¸nh (11.1.5) v (11.1.6) ta nhận đợc mối liên hệ mật độ phổ thực S () v giá trị gần ®óng cđa nã (11.1.3) ∞ ~ S (ω) =  S (ω1 )Q (ω − ω1 )dω1 (11.1.7) −∞ ~ Từ thấy rằng, S () l giá trị mật độ phổ thực S () đợc lấy trung bình theo ton khoảng tần với hm trọng lợng Q(ω − ω1 ) §èi víi hμm λ (τ) dạng (11.1.2) phổ Q() đợc xác định dới d¹ng τ sin ωτ m m −iωτ  e dτ = πω 2π − τ m Q(ω) = (11.1.8) Nh− vËy, b»ng c¸ch sư dơng tÝch (11.1.1) lμm giá trị thống kê hm tơng quan xác định mật độ phổ, nhận đợc mật độ phổ thực S () , m giá trị đợc lm trơn nhờ hm trọng lợng l phổ hm () Khi phơng pháp lm trơn đợc xác định cách chọn hm () Từ nảy sinh ý tởng ~ lựa chän hμm λ (τ) cho phÐp lμm tr¬n (11.1.7) l tốt nhất, tức cho giá trị S () gần với giá trị thực S () Nh bi toán xác định mật độ phổ phát biểu dới dạng sau: Giả sử có giá ~ trị thống kê hm tơng quan R () T , ta tìm giá trị thống kê mật độ ~ phổ S () theo công thøc τ ~ m −iωτ ~ S (ω) =  e λ(τ) R (τ)dτ 2π − τ m (11.1.9) với điều kiện phải chọn hm () v giá trị m cho thoả mÃn tiêu tối u no Hm () đợc gọi l hm trọng lợng lm trơn, giá trị m gọi l điểm cắt hm tơng quan ý nghĩa hm () chỗ, nhờ ngời ta lm trơn giá trị thống kê hm tơng quan để từ xác định mật độ phổ Nh ta đà thÊy, viƯc chän hμm lμm tr¬n λ (τ) t−¬ng øng với lm trơn phổ thực trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) với hm trọng lợng l phổ hm () ~ Để lm tiêu chuẩn đánh giá đại lợng S () v chọn hm lm trơn tèi −u λ (τ) cã thÓ ~ lÊy sai sè bình phơng trung bình [ S ()] , xác định theo c«ng thøc ~ ~ ~ ~ η2 S (ω) = M S (ω) − S (ω) = σ2 S (ω) + b S (ω) (11.1.10) [ ] {[ ]} [ ] [ ] Trong c«ng thøc ny đại lợng ~ ~ ~ ~ ~ S (ω) = M S (ω) − M S (ω) = σ S (ω) − b S () (11.1.11) ~ l phơng sai giá trị S () v đặc trng cho tản mạn giá trị thống kê [ ] {[ [ ]] } [ ] [ ] mËt ®é phỉ xung quanh kỳ vọng toán học Đại lợng [ ] [ ~ ~ b S (ω) = M S () S () 208 ] (11.1.12) đợc gọi l độ chệch v đặc trng cho lệch kỳ vọng toán học trị số thống kê ~ S () khỏi giá trị thực S () Độ chệch đặc trng cho diện sai số hệ thống, ~ m giá trị S () tập trung gần giá trị thực S () , m gần giá trị ~ M [ S ()] no Tiêu chuẩn khác, nhờ ®ã cã thĨ ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cđa viƯc xác định đại lợng ~ S () v chọn hm lm trơn tối u () , l sai số bình phơng trung bình tích phân [ ] ~  ~ J S (ω) = M   S (ω) − S (ω) dω − ∞  (11.1.13) Bi toán chọn hm lm trơn tối u l lm với giá trị độ di khoảng T đà cho, phải chọn hm () lm cho độ lớn tiêu chuẩn đánh giá đà chọn trở thnh cực tiĨu NghiƯm cđa bμi to¸n nμy phơ thc nhiỊu vμo dạng hm tơng quan thực R() Trong công trình E Parzen [70] đà nhận đợc nghiệm bi toán ny ứng với tiêu chuẩn (11.1.13) cho hai dạng hm tơng quan R() Dạng thứ gồm lớp hm tơng quan giảm theo quy luật hm mũ víi hƯ sè −ρ τ ρ > 0, tøc nh÷ng hm thoả mÃn bất đẳng thức R() R0 e , ®ã R0 lμ mét h»ng sè nμo ®ã Ngời ta đà chứng minh đợc hm tơng quan nh hm lm trơn sau lμ tèi −u: λ (τ) = , 1+ u  1 − u λ (τ) =    u ≤ u > , λ ( τ) = sin u , u  τ  u = ,  τm    vμ số hm khác Dạng thứ hai hm tơng quan m Parzen xét l lớp hm giảm theo kiểu đại số, tức hm có dạng r r < với giá trị lớn Đối với hm dạng ny hm trọng lợng tối u lm cho sai số bình phơng trung bình tích phân cực tiểu l hμm d¹ng λ(τ) = , + Bu r số B đợc biểu diễn qua hμm t−¬ng quan thùc R(τ) Lomnhisky vμ Zaremba [96] ®· chøng minh r»ng hμm träng l−ỵng tèi −u λ(τ) lm cho sai số bình phơng trung bình tích phân (11.1.13) cùc tiĨu, cã d¹ng λ(τ) = R ( τ) ~ R (τ) + D R (τ) [ ] (11.1.14) §iỊu nμy cho thÊy r»ng hμm lμm tr¬n tèi −u λ(τ) phơ thc vμo hμm t−¬ng quan thực trình ngẫu nhiên đợc khảo sát v đó, không tồn hm lm trơn áp dụng cho tất trình ngẫu nhiên Ngoi ra, xác định thực nghiệm đặc trng thống kê trình ngẫu nhiên ta cha biết hm tơng quan thực, giá trị thống kê l ớc lợng gần đúng, nên ta sử dụng trực tiếp công thức đà dẫn để xác định hm () Những c«ng thøc nμy chØ cã thĨ sư dơng nh− lμ công thức định hớng chọn dạng cụ thể hm lm trơn công thức (11.1.9) 209 Hiện tác giả khác đề xớng nhiều dạng hm lm riêng biệt có tính chất khác nhau, mô tả chi tiết hm ny trình by công trình [2, 25, 70, 9197] Phổ dụng số l hm sau: Hm Bartlette  1 τ ≤ τ m , λ (τ) =  0 τ > τ m  (11.1.15) Hμm Bartlette biÕn d¹ng  τ 1 − λ(τ) =  τ m   τ ≤ τ m , (11.1.16) τ > τ m Hμm Tiukey πτ  1 − 2a + 2a cos λ (τ) =  τm   τ ≤ τ m , (11.1.17) τ > m Tiukey đề nghị lấy hệ số a = 0,23 m không rõ lý chọn trị số Parzen cho biết trị số a = 0,25 l tối u dới góc độ tiêu chuẩn (11.1.13) Hμm Hanning   πτ  0,51 − cos  τ ≤ τ m ,  λ(τ) =   τm    τ > τ m  (11.1.18) Hμm Parzen   τ q 1 −   λ(τ) =   τ m      τ ≤ τ m , (11.1.19) τ > τ m với q > 1, đặc biệt Parzen đà xét hμm nμy víi q = Parzen cịng ®· nghiên cứu hm dạng q τ    λ(τ) = 1 +     τm    τ ≤ τ m , (11.1.20) τ > τ m , trị số q = v q = Hμm Hemming πτ  0,54 + 0,46 cos λ(τ) =  τm   τ ≤ τ m , (11.1.21) τ > τ m Tất hm đà trình by l tốt theo quan điểm tối u hoá tính chất no số tính chất giá trị thống kê mật độ phổ Khi xác định giá trị thống kê mật độ phổ theo công thức (11.1.9) với hm lm 210 trơn () đà chọn, giá trị nhận đợc phụ thuộc nhiều vo việc chọn đại lợng m Khi chọn điểm cắt m hm tơng quan cần tính đến hai loại sai số: độ chệch ớc lợng mật độ phổ, xuất giá trị đại lợng m nhỏ v tính biến động ~ đáng kể tập mẫu giá trị S () m lớn Thực vậy, công thức (11.1.9), trị số nhỏ m ta sử dụng giá trị thống kê hm tơng quan, không khác nhiều so với giá trị thực, nhiên ta giả thiết với giá trị > m , m hm tơng quan khác không Chính đà mắc sai số hệ thống gây nên độ chệch ớc lợng Tăng m dẫn tới lm giảm sai số hệ thống ny, nhng công thức (11.1.9), với ~ lớn giá trị thèng kª R (τ) chóng ta sư dơng cã thĨ khác xa so với giá trị thực ~ R() Vì lý phơng sai ớc lợng S () tăng lên, đặc biệt l khoảng ghi thể T trình ngẫu nhiên không lớn ý muốn chọn đại lợng m lm cực tiểu độ chệch lẫn phơng sai ớc lợng mật độ phổ dẫn tới cần thiết phải thoả mÃn hai đòi hỏi mâu thuẫn ảnh hởng đại lợng m đến dạng giá trị thống kê mật độ phổ biểu lộ nh ~ sau: Tại giá trị m nhỏ đồ thị S () đỉnh mật độ phổ bị lm trơn Khi tăng dần giá trị m đỉnh dần lộ rõ ra, nhng tiếp tục tăng m , ~ khác giá trị thống kê v giá trị thực hm tơng quan, đồ thị S () ~ không phản ánh đặc điểm cđa hμm S (ω) , mμ sÏ tiÕn dÇn tíi thể trình ngẫu ~ nhiên m từ R () đợc xác định 11.2 Phân tích phổ sóng biển Lý thuyết phổ trình ngẫu nhiên dừng đợc sử dụng rộng rÃi phân tích sóng biển ngời ta xem dao động mực biển điểm xác định nh l hm ngẫu nhiên thời gian Những khảo sát thực nghiệm vỊ sãng biĨn cho thÊy: hμm ngÉu nhiªn Z (t ) mô tả dao động thẳng đứng mặt nớc theo thời gian điểm cố định so với mực trung bình, mức độ gần no đó, xem nh trình ngẫu nhiên tựa dừng, có tính egođic Giả định thể chia thnh đoạn dừng, phạm vi đặc trng xác suất giữ nguyên không đổi, chuyển từ đoạn dừng ny sang đoạn dừng khác đặc trng xác suất biến ®ỉi nh¶y vät TÝnh tùa dõng cđa sãng thùc cịng nh khó khăn kỹ thuật thực đợt đo sóng di hạn dẫn tới chỗ, để xác định đặc trng thống kê buộc phải sử dụng không nhiều thể với độ di hạn chế ~ Tơng ứng với giả thiết tính egođic, giá trị thống kê hm tơng quan R () theo thể độ di T đợc xác định theo công thức (6.2.2) Sự phân tích băng ghi sóng gió ổn định đại dơng, biển v hồ nớc đà cho thấy hm tơng quan sóng gió xấp xØ b»ng biĨu thøc d¹ng Rz (τ) = De −α τ hay 211 cos βτ (11.2.1) Rz (τ) = De −γ τ cos βτ cos Bτ , (11.2.2) ®ã D phơng sai trình, tần số dao động thăng giáng, B tần số nhãm, α − hƯ sè suy gi¶m néi nhãm cđa ®−êng bao hμm t−¬ng quan, γ − hƯ sè suy giảm liên nhóm đờng bao hm tơng quan Ta xét phơng pháp xác định mật độ phổ ví dụ nghiên cứu phổ sóng biển dựa vo công trình [72] Với kiểu hm tơng quan đà chọn, mật độ phổ đợc xác định theo công thức (11.1.9) Để phân tích ảnh hởng đại lợng m trớc tiên ta chọn hm lm trơn () l hm Bartlette (11.1.15) Khi công thức (11.1.9) trình ngẫu nhiên thực Z (t ) cã thĨ viÕt l¹i d−íi d¹ng τ ~ m S z (ω) =  Rz (τ) cos ωτdτ π0 (11.2.3) ThÕ hμm t−¬ng quan (11.2.1) vμo (11.2.3) v lấy tích phân, ta nhận đợc De ~ Dα  1 S z (ω) =  α + (β + ω)2 + α + (β − ω)  + 2π  2π  +  − α cos( β + ω )τ m + ( β + ω ) sin( β + ω )τ m +  α + (β + ω )  − α cos(β − ω)τ m + (β − ω) sin(β − ω)τ m   α + (β − ω)  (11.2.4) Nh− ®· chơng 3, số hạng thứ (11.2.4) l mật độ phổ thực, ứng với hm tơng quan (11.2.1) Do đó, số hạng thứ hai biểu thị độ chệch hệ thống ~ đại lợng S () Độ chệch ny, nh đà thấy từ (11.2.4), giảm dần m tăng Nh hm tơng quan xác định sai số, m phải cho biểu thức dấu ngoặc nhọn công thức (11.2.4) không ảnh hởng đáng kể đến đại ~ lợng S () Sự ảnh hởng ny đại lợng m phản ánh hình 11.1, biểu diễn đồ thị mật độ phổ tính theo c«ng thøc (11.2.4) víi D = ; α = 0,1 ; = 0,644 v giá trị m = 7,3 giây (đờng liền nét) v m = 1000 giây (đờng gạch nối) Để lm rõ tính biến động tập mẫu giá trị thống kê mật độ phổ thay hm tơng quan thực R() công thức (11.2.3) giá trị thống kê ~ ~ ~ R () , hình 11.2 dẫn giá trị S () nhận đợc theo chuỗi trị số R () tính theo đoạn thể di 20 phút sóng biển ổn định Đại lợng m đợc chấp nhận lấy 112 giây 212 Hình 11.1 Hình 11.2 Hình 11.3 ~ Trên hình 11.2 thấy rõ đồ thị hm S () khác Sự tản mạn ny l đà chọn giá trị m lớn m với giá trị đó, tản mạn giá trị thống kê hm ~ tơng quan R () biểu lộ mạnh Các hình 11.1 v 11.2 cho thấy chọn giá trị m cần phải: mặt lấy đủ lớn để không xảy chệch, mặt khác phải nằm miền giá trị đối số , cha biểu lộ rõ tản mạn giá trị thống kê hm tơng quan Sự thoả hiệp hai đòi hỏi mâu thuẫn ny thực cách thay đổi tham số T v m khoảng dừng trình ngẫu nhiên đủ lớn Còn nh khoảng dừng trình không cho phép tăng đáng kể độ di thể hiện, xác định đặc trng thống kê, lúc việc chọn hm lm trơn () có vai trò quan trọng Trên hình 11.3 dẫn ~ giá trị mật độ phổ sóng gió S () tính theo công thức (11.1.9) với hm trọng lợng Hemming (11.1.21) (đờng cong 1), v với hm trọng lợng Bartlette (11.1.15) (đờng cong 2) Độ di thể băng ghi sóng T b»ng 30 §−êng cong cđa τ m lín, τ m = 0,1 T , tơng ứng với tản mạn đáng kể đại lợng ~ với m nhỏ, thuộc miền tin cậy đại lợng R (τ) Nh− ta thÊy tõ cong cho giá trị lm trơn mật độ phổ Ti liệu tham khảo Phần 213 tính với giá trị ~ R () , đờng cong hình 11.3, đờng               Ν  Ν             Ν        IV      VII, 214   Ν nΝ   Ν Wiener N Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series New York, 1949 33 Taylor G J Diffusion by continuous movements Proc London Math Soc (2), 20 PhÇn                           Ν     215                         vv               Ν  Ν  216 Ν   Ν            Ν             Ν             Ν  217        91 Blackman R B., Tykey Y.W The measurement of power spestra from the point of view of communications engineering Bell syst., Tech J., v 37, 1958 92 Hotelling H Analysis of complex of statistical variables into principal component J Educ Psycho., v 24, 1933 93 Crenander U On empirical spectral analysis of stochastic processes Archives for Mathematics, v 1, 1951 94 Crenander U Rosenblatt M., Statistical analysis of stationary time series N.Y., 1956 95 Jenkins G.M General consideration in the analysis of spectra Techno-metrics, v 3, 1961 96 Lomniski Z.A Zaremba S.K On the estimation of autocorelation in time series Ann Math Statist., v 28, 1957 97 Priestiey M.B Basis concideration in the estimation of spectra Technometrics, v 4, 1962 218 ... ®iĨm cđa hμm S (ω) , mμ sÏ tiÕn dÇn tới thể trình ngẫu ~ nhiên m từ R () đợc xác định 11. 2 Phân tích phổ sóng biển Lý thuyết phổ trình ngẫu nhiên dừng đợc sử dụng rộng rÃi phân tích sóng biển... ω1 )dω1  dω −∞  −∞  (11. 1.6) So sánh (11. 1.5) v (11. 1.6) ta nhận đợc mối liên hệ mật độ phổ thực S () v giá trị gần (11. 1.3) ~ S () =  S (ω1 )Q (ω − ω1 )dω1 (11. 1.7) −∞ ~ Tõ ®ã thÊy r»ng,... đợc xác định theo công thức (11. 1.9) Để phân tích ảnh hởng đại lợng m trớc tiên ta chọn hm lm trơn () l hm Bartlette (11. 1.15) Khi công thức (11. 1.9) trình ngẫu nhiên thực Z (t ) cã thĨ viÕt