Tin học lý thuyết - Chương 3 pdf

Automata hữu hạn & Biểu thức chính quy Nội dung: • Khái niệm DFA & NFA • Sự tương đương giữa DFA & NFA • Biểu thức chính quy • Các tính chất của tập chính quy Chương 3:... Sự tương đương

Automata hữu hạn &

Biểu thức chính quy

Nội dung:

• Khái niệm DFA & NFA

• Sự tương đương giữa DFA & NFA

• Biểu thức chính quy

• Các tính chất của tập chính quy

Chương 3:

Nondeterministic Finite Automata

Biểu thức

chính quy

1

1 0

0 0

Phép chuyển trên nhãn x

Automata hữu hạn đơn định (DFA)

If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Automata hữu hạn không đơn định (NFA)

1 0

q 1

q 2

0 1

• Ví d ụ: cho automata M (hình vẽ) và xét chuỗi nhập 01001

0

0

1 0

0 1

Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên

• M( {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 2 , q 4 } )

{q4} {q4}

q4

Ø {q4}

q3

{q2} {q2}

q2

{q2} Ø

q1

{q0,q1} {q0,q3}

q0

1 0

Sự tương đương giữa DFA & NFA

Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn

Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA

Ví dụ: NFA M ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 }) với hàm chuyển

NFA với - dịch chuyển (NFA)

Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA 

Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA 

Giải thuật hình thức cho NFA 

Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFA

Input: chu ỗi nhập x$

Output: câu trả lời ‘YES’ (x được chấp nhận) hoặc ‘NO’

If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Sự tương đương giữa NFA và NFA

Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có -dịch

chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có

q1

{q2} {q1, q2}

{q0, q1, q2}

q0

2 1

0 Trạng thái

Inputs δ’

Xây dựng DFA từ NFA()

Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFA sau:

Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M

• Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ -CLOSURE(q0)

• F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng thái của F }

• Xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật:

T := -CLOSURE (q 0 ) ; T chưa được đánh dấu ;

Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do

Begin

Đánh dấu T; { xét trạng thái T}

For Với mỗi ký hiệu nhập a do

begin

U:= -closure((T, a))

If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then begin

Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ; Trạng thái U chưa được đánh dấu;

[T, a] := U;{ [T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}

end;

end;

End;

Xây dựng DFA từ NFA()

• Bảng hàm chuyển

E A

a a

E

E B

D

C B

C

D B

B

C B

A

b a

Ký hiệu nhập Trạng thái

• Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ -CLOSURE(q0) )

• Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng

thái 10  F)

Xây dựng DFA từ NFA()

Biểu thức chính quy (RE)

Biểu thức chính quy (RE)

Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái BTCQ trên Σ là các tập

hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:

●  là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng

●  là BTCQ ký hiệu cho tập {}

● a  Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a}

● Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và S thì (r + s), (rs)

và ( r*) là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R  S, RS và R* tương ứng

Thứ tự ưu tiên:

Phép bao đóng > Phép nối kết > Phép hợp

Ví dụ:

• Biểu thức ((0(1*)) + 1) có thể viết là 01*+1

Sự tương đương giữa NFA  và BTCQ

Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với -dịch

chuyển chấp nhận L(r)

Chứng minh: quy nạp theo số phép toán

• Xét r không có phép toán nào

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được

ký hiệu bởi một BTCQ

Chứng minh:

trạng thái i đến trạng thái j mà không đi ngang qua trạng thái nào lớn hơn k)

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

• Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi Rk

ij đều tồn tại một biểu thức chính quy ký hiệu cho Rk

ij

 Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-1, tức là tồn tại BTCQ r k-1

lm sao cho L(r k-1

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Ví dụ: viết BTCQ cho DFA

(0 + 1)(00)*

0 + 1

0 + 1

r k 32

(0 + 1)(00)*0





r k 31

0*1

1 + 01 1

r k 23

(00)*

 + 00



r k 22

0(00)*

0 0

r k 21

0*1 1

1

r k 13

0(00)*

0 0

r k 12

(00)*





r k 11

Mối liên hệ giữa FA và BTCQ