BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 9 potx

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng tióỳp xuùc vồùi mỷt cong Bi 9 MT PHNG TIP XC VI MT CONG I. KHI NIM _ Tip tuyn ti mt im ca mt ng cong thuc mt cong cng l tip tuyn ca mt cong ti im ú _ Nu ti mt im ca mt cong cú vụ s tip tuyn thuc mt mt phng thỡ mt phng ny gi l mt phng tip xỳc vi mt cong ti im ú - mp(Mt,Mk) ; (Hỡnh 9.1) ắ Trong bi ny ta s trỡnh by cỏc loi bi toỏn tip xỳc sau: 1. Mt phng tip xỳc vi mt mt ti mt im cho trc thuc mt 2. Mt phng tip xỳc vi mt mt i qua mt im cho trc khụng thuc mt 3. Mt phng tip xỳc vi mt mt song song vi mt ng thng cho trc II. MT PHNG TIP XC VI MT K Mt phng tip xỳc vi mt k s ti mt im thuc mt s cha cỏc ng sinh l ng thng ca mt k i qua im ú 1) Mt phng tip xỳc vi mt nún Vớ d 1 Cho mt nún nh S v hỡnh chiu ng M 2 ca im M thuc nún (Hỡnh 9.2). Qua im M hóy dng mt phng tip xỳc vi mt nún Gii Vi v trớ M 2 ó cho thỡ cú hai im M v M, m M 2 M 2 : + Gn M SA nún. T M 2 C 2 A 2 M 1 S 1 A 1 + Gn M SA nún. T M 2 S 2 A 2 M 1 S 1 A 1 Mt phng tip xỳc vi nún ti im M thuc nún phi cha ng sinh SM v cha mt tip tuyn vi nún ti mt im tu ý trờn ng sinh SM ; gi A l chõn ng sinh SM trờn ng chun (C) ; v At tip xỳc vi (C) Vy mp (SM, At) tip xỳc vi nún theo ng sinh SM Tng t, ta cng dng c mp (SM,At) tip xỳc vi nún theo ng sinh SM Mt phng ng chun (C) Hỡnh 9.1 Hỡnh 9.2 M 2 M 2 t M 1 M 1 A 2 A 2 t 2 t 2 M ( C x () k t M t A S A 1 A 1 t 1 S 1 S 2 Vớ d 2 Cho mt nún nh S v im M khụng thuc nún (Hỡnh 9.3). Qua im M hóy dng mt phng tip xỳc vi mt nún Gii Cỏc mt phng tip xỳc cn dng cha SM v s tip xỳc vi nún theo cỏc ng sinh SA,SB. Cỏc mt phng tip xỳc ny s ct mt phng ng chun (C) theo cỏc tip tuyn t v t vi ng chun (C). Vỡ vy ta cú cỏch v nh sau: _ V I = SM mp(C) GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 60 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng tióỳp xuùc vồùi mỷt cong V IA, IB tip xỳc vi (C) mp(SIA) v mp(SIB) l hai mt phng tip xỳc cn dng Mt phng ng chun (C) Hỡnh 9.3 2) Mt phng tip xỳc vi mt tr Vớ d Cho mt tr ng chun (C) nm trong mt phng chiu ng v ng thng d (Hỡnh 9.4). Hóy dng mt phng tip xỳc vi mt tr song song vi ng thng d Gii Mt phng tip xỳc cn dng song song vi ng thng d v tip xỳc vi tr theo mt ng sinh. Nh vy phng ca mt phng tip xỳc ó c xỏc nh; vỡ vy ta cú cỏch v nh sau: Mt phng ng chun (C) Hỡnh 9.4 S I A B M 2 S 2 S 1 I 2 I 1 M 1 A 2 A 1 B 1 x (C 2 ) (C 1 ) (C) M t 2 t 2 B 2 t t 1 t 1 t t 2 t 2 d d 2 d 1 a b t t A B J I (c) I 2 I 1 J 1 J 2 M M 2 a 2 b 2 a 1 b 1 M 1 A 1 B 1 t 1 t 1 A 2 B 2 k 1 k 2 l 1 l 2 k l (c 1 ) (c 2 ) x Qua im M tu ý, v mp (a, b) vi a // d v b // ng sinh tr _ V I = a mp(C) v J = b mp(C) mp(a, b) mp(C) = IJ _ V cỏc tip tuyn t, t tip xỳc vi (C) ln lt ti A, B v song song IJ _ T cỏc tip im A, B v cỏc ng sinh k, l Vy cỏc mt phng tip xỳc cn dng l: mp(t, k) v mp(t, l); (Hỡnh 9.5) III. MT PHNG TIP XC VI MT CU Mt phng tip xỳc vi mt cu ti mt im thuc cu thỡ vuụng gúc vi bỏn kớnh ca mt cu i qua im ú GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 61 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng tióỳp xuùc vồùi mỷt cong Vớ d Cho mt cu (O,R) v hỡnh chiu ng M 2 ca im M thuc cu; (Hỡnh 9.6). Hóy dng mt phng tip xỳc vi mt cu ti M Gii - T v trớ M 2 ca im M ó cho, ta gn M thuc ng trũn v tuyn () thuc cu s xỏc nh c hỡnh chiu bng ca im M l hai im M 1 , M 1 ( 1 ) - V mp (h, f) OM ti im M. vy mp (h, f) l mt phng tip xỳc vi mt cu ti im M - Tng t, ta v c mt phng tip xỳc vi mt cu ti im M Bi toỏn cú hai nghim Hỡnh 9.6 x O 2 f 2 h 2 h 1 f 1 M 2 M 1 M 1 ( 2 ) ( 1 ) O 1 IV. MT VI V D NG DNG GII SN Vớ d 1 Cho ng thng d (d 1 , d 2 ); (Hỡnh 9.7). Qua ng thng d hóy v mt phng hp vi mt phng hỡnh chiu bng mt gúc Gii Mt phng cn dng tip xỳc vi mt nún trũn xoay cú : + nh S d + Trc vuụng gúc P 1 + Cỏc ng sinh hp vi P 1 gúc _ Ly im S d tu ý, v mt nún trũn xoay ng S, vỡ cỏc ng snh nún hp vi P 1 gúc nờn hai ng sinh biờn hỡnh chiu ng ca nún hp vi trc x gúc . Hỡnh chiu bng (C 1 ) ca ng chun (C); l ng trũn _ V I = d mp(C); _ V IA, IB tip xỳc vi (C); (Hỡnh 9.7) _ Vy cỏc mt phng cn dng l: mp(SIA) v mp(SIB). Hỡnh 9.7 (C 1 ) x B 2 A 2 B 1 (C 2 ) A 1 I 2 I 1 d 1 d 2 S 2 S 1 Bin lun: Gi l gúc ca ng thng d vi mp P 1 + Nu > : Bi toỏn cú hai nghim S 2 ( 2 ) t 1 O 1 (T 1 ) T 1 Hỡnh 9.8 T 1 ( T 1 ) O 2 x t 2 T 2 T 2 S 1 + Nu = : Bi toỏn cú mt nghim + Nu < : Bi toỏn vụ nghim Vớ d 2 Cho hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún trũn xoay nh S, trc t l ng mt; (Hỡnh 9.8). Hóy v hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún. Gii Hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún l hai ng thng suy bin ca hai mt phng chiu bng tip xỳc vi nún. Hai mt phng tip xỳc ny cng tip xỳc vi mt cu ni tip nún. GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 62 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng tióỳp xuùc vồùi mỷt cong - Vy ta v mt mt cu tõm O t, tip xỳc mt nún theo mt ng trũn () thuc mt phng vuụng gúc trc t. Vỡ t // P 2 nờn ( 2 ) suy bin thnh on thng; [( 1 ) khụng v õy] - Qua nh nún S, v hai mpT v mpT chiu bng tip xỳc cu ta nhn c hỡnh chiu bng l hai ng thng (T 1 ) , (T 1 ) i qua S 1 tip xỳc ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu. Vy (T 1 ) v (T 1 ) l hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún. ắ Nhn xột Hai tip im T 1 , T 1 thuc ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún cng thuc ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu. Do ú chỳng chớnh l hỡnh chiu bng ca cỏc giao im ca ng trũn ln nht nm ngang ca cu vi ng trũn tip xỳc () do cu tip xỳc nún. Vớ d 3 Cho mt phng (n , m ) v mt tr cú ng chun (C 1 ) thuc mt phng chiu ng (Hỡnh 9.9). Hóy v im cao nht, thp nht (i vi P 1 ) ca giao tuyn ca mp vi mt tr Gii - Gi M, N ln lt l cỏc im cao nht, thp nht cn tỡm. Ti M, N tip tuyn ca giao tuyn phi l nhng ng bng ca mt phng ng thi chỳng thuc cỏc mt phng tip xỳc vi tr (Hỡnh 9.9a) - cú cỏc tip tuyn ú ta phi v cỏc mt phng tip xỳc tr song song vi phng ng bng ca mt phng - ú l mp (k,t) v mp (l,t) // mp (KIJ) - Cỏc mt phng tip xỳc ny s tip xỳc vi tr theo cỏc ng sinh tip xỳc k v l. Cỏc giao im M, N ca hai ng sinh tip xỳc ny vi mp l cỏc im cao, thp nht cn tỡm M = k mp v N = l mp ; (Hỡnh 9.9b) Hỡnh 9.9b g' 1 l 1 g 2 ( 2 ) k 2 k 1 N 1 (C 1 ) (C 2 ) M 2 M 1 N 2 K 2 K 1 I 1 I 2 J 2 J 1 t 1 t 2 t 2 g 1 T 2 T 2 T 1 t 1 T 1 P 2 N M m (C) P 1 n m g' 2 ( 2 ) l 2 x Hỡnh 9.9b n ắ Tng t, trong vớ d ny ta cú th tỡm cỏc im gn nht, xa nht (so vi P 2 ) ca giao tuyn, bng cỏch v mt phng tip xỳc tr song song vi phng ng mt ca mt phng . Giao im ca hai ng sinh tip xỳc vi mp cho cỏc im gn nht, xa nht cn tỡm ắ Chỳ ý Tỡm cỏc im cao nht, thp nht, gn nht, xa nht ca giao tuyn ca mt phng vi mt nún cỏch gii ging nh trng hp trờn GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 63 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng tióỳp xuùc vồùi mỷt cong Vớ d 4 Cho im 0 v vt bng m ca mt phng (Hỡnh 9.10). Hóy v vt ng n ca mp ; bit mp cỏch im 0 mt khong R P 1 s P 2 N 1 N 2 n m n O 2 O 1 O 2 N 2 x Hỡnh 9.10 Gii _ Mt phng cỏch im 0 mt khong R nờn mt phng tip xỳc vi mt cu tõm 0 bỏn kớnh R _ V mt cu tõm O, bỏn kớnh R _ Thay i mt phng hỡnh chiu ng mp tr thnh mt phng chiu ng trong h thng mi; chn trc s m Hỡnh chiu ng mi ca mp suy bin thnh ng thng ( 2 ) i qua giao im ca m vi trc s v tip xỳc vi ng trũn bao hỡnh chiu ng mi ca mt cu _ T ( 2 ), tr v hỡnh chiu ng ta c n (chỳ ý cao c bng cao mi); (Hỡnh 9.10) _ Bi toỏn cú hai nghim ( õy ch v mt nghim) ============== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 64 . mt phng tip xỳc vi tr (Hỡnh 9. 9a) - cú cỏc tip tuyn ú ta phi v cỏc mt phng tip xỳc tr song song vi phng ng bng ca mt phng - ú l mp (k,t) v mp (l,t) // mp (KIJ) - Cỏc mt phng tip xỳc ny s. ny vi mp l cỏc im cao, thp nht cn tỡm M = k mp v N = l mp ; (Hỡnh 9. 9b) Hỡnh 9. 9b g' 1 l 1 g 2 ( 2 ) k 2 k 1 N 1 (C 1 ) (C 2 ) M 2 M 1 N 2. v mt tr cú ng chun (C 1 ) thuc mt phng chiu ng (Hỡnh 9. 9). Hóy v im cao nht, thp nht (i vi P 1 ) ca giao tuyn ca mp vi mt tr Gii - Gi M, N ln lt l cỏc im cao nht, thp nht cn tỡm. Ti M,