Cấu trúc đa tạp Riemann của nửa không gian trên

Cấu trúc đa tạp Riemann của nửa không gian trên

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN      TÔN THỊ YẾN ANH CẤU TRÚC ĐA TẠP RIEMANN CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG HUẾ, KHÓA HỌC 2007 - 2011 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của Thầy Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo trong lĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu,cũng như tạo điều kiện để tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè trong lớp toán 4A đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Tôn Thị Yến Anh ii Mục Lục Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 Mở đầu 1 1 ĐA TẠP RIEMANN 2 1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Phép biến đổi đẳng cự trên đa tap Riemann . . . . . . . . . . . 9 1.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . 9 2 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ NỬA KHÔNG GIAN TRÊN 15 2.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré . . . 15 2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên . . . . . . . . . . . 27 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 1 MỞ ĐẦU Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, nhiều cấu trúc quan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát. Một trong những cấu trúc quan trọng được khảo sát cảm sinh từ cấu trúc đa tạp đó là cấu trúc đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử của đa tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann, tức là một tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó. Với mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc này và được sự hướng dẫn tận tình của thầy Trần Đạo Dõng, tôi đã lựa chọn đề tài Cấu trúc đa tạp Riemann của nửa không gian trên để nghiên cứu. Nội dung nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các các khái niệm và tính chất cơ bản của đa tạp Riemann và ứng dụng để khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann của nửa mặt phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré và nửa không gian trên. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, khoá luận được chia làm hai chương. Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann có liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trên và nửa không gian trên của chương 2. Chương 2 tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann 2-chiều của nửa mặt phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Riemann, khảo sát các phép biến đổi đẳng cự, độ cong Gauss và mở rộng một số kết quả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann 3-chiều. 1 Chương 1 ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Rienmann như trường vector và dạng vi phân, phép biến đổi đẳng cự, dạng liên kết và phương trình cấu trúc, . liên quan đến chương sau. Các kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [2], [3], [5]. 1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu Định nghĩa 1.1.1. Không gian Euclid E n là một không gian afin liên kết với không gian véc-tơ Euclid −→ E n . Mỗi phần tử α p = (p, −→ α ) ∈ T E n = E n × −→ E n được gọi là một véc-tơ tiếp xúc của E n tại p. T E n được gọi là không gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của E n , mỗi phần tử của T E n được kí hiệu là α. Với p ∈ E n , kí hiệu T p E n là tập các véc-tơ tiếp xúc của E n tại p. Khi đó T p E n là một không gian véc-tơ thực n- chiều và được gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của E n tại p. Cho U là một tập mở trong E n . Khi đó T U = U × −→ E n được gọi là không gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của U. Với p ∈ U, kí hiệu T p U = T p E n và gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của U tại p. Định nghĩa 1.1.2. Trường véc-tơ trên tập mở U ⊂ E n là ánh xạ X : U −→ T U p −→ X(p) sao cho với p ∈ U, ta có X(p) ∈ T p U. Từ định nghĩa ta thấy trường véc-tơ X : U −→ T U xác định một hàm 2 véc-tơ −→ X : U −→ E n (và ngược lại X xác định bởi −→ X), theo công thức X(p) = (p, −→ X (p)). Trường véc-tơ X được gọi là khả vỉ (lớp C k ) nếu hàm véc-tơ −→ X khả vỉ (lớp C k ). Khi −→ X là ánh xạ hằng thì trường véc-tơ X được gọi là trường véc-tơ song song. Định nghĩa 1.1.3. Cho cung tham số ρ : J → E n , t → ρ(t) Trường véc-tơ dọc theo ρ là ánh xạ X : J −→ E n sao cho t ∈ J, ta có X(t) ∈ T ρ(t) E n . Khi đó X xác định hàm véc-tơ −→ X : J → E n , X(t) = (ρ(t), −→ X (t)). Trường véc-tơ X được gọi là khả vỉ (lớp C k ) nếu hàm số ρ và hàm véc-tơ −→ X khả vi (lớp C k ). Ta có thể xét trường véc-tơ dọc theo ρ là t → X  (t) = (ρ(t), −→ X  (t)) gọi là đạo hàm của X dọc ρ trong E n . Kí hiệu D dt X. Xét trường mục tiêu Z trên tập mở U ⊂ E n và véc-tơ α ∈ T p U. Lấy cung tham số ρ : J → U sao cho ρ  (t 0 ) = α, ta có t → Z(ρ(t)) là một trường véc-tơ dọc theo ρ. Khi đó véc-tơ D(Z◦ρ) dt (t 0 ) không phụ thuộc vào ρ đã chọn. Ta định nghĩa D(Z◦ρ) dt (t 0 ) là đạo hàm của trường véc-tơ Z theo véc-tơ tiếp xúc α. Kí hiệu là D α Z. Định nghĩa 1.1.4. Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ E n là hệ n trường véc-tơ (khả vi) {U 1 , U 2 , ., U n } trên U sao cho mỗi p ∈ U, hệ véc-tơ {U 1 (p), U 2 (p), ., U n (p)} là một cơ sở của T p U. Nếu với mỗi p ∈ U, U i (p).U j (p) = δ j i thì trường mục tiêu {U i } được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu có hai trường mục tiêu {U i }, {V i } trên tập mở U thì ta có V i =  j i C j i U j , trong đó C j i là một hàm trên U. Ma trận (C j i ) n×n được gọi là ma trận chuyển mục tiêu. 1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu 1.2.1. Dạng vi phân bậc một 1. Cho U là một tập mở trong E n . Dạng vi phân bậc một( hay 1-dạng vi phân) θ trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U, một ánh xạ R- tuyến tính θ p : T p U → R. Kí hiệu Ω 1 (U) là tập hợp các dạng vi phân bậc một trên U. 2. Cho θ,  θ là hai 1-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta 3 định nghĩa θ +  θ, ϕθ là các 1-dạng trên U xác định bởi (θ +  θ) p = θ p +  θ p , (ϕθ) p = ϕ(p)θ p , ∀p ∈ U. 3. Cho θ là 1-dạng vi phân và X là trường véc-tơ trên U. Ta có hàm số θ(X) được xác định bởi θ(X)(p) = θ p (X(p)), ∀p ∈ U. Khi đó nếu {U 1 , U 2 , ., U n } là một trường mục tiêu trên U thì mọi dạng vi phân bậc một θ trên U hoàn toàn xác định bởi các hàm số θ(U i ), i = 1, n. suy ra có các 1-dạng vi phân θ i trên U xác định bởi: θ i (U j ) = δ i j =    1 nếu i = j 0 nếu i = j (i, j = 1, n). Họ {θ i } i=1,n được gọi là trường đối mục tiêu của trường mục tiêu {U i } i=1,n . 1.2.2. Dạng vi phân bậc hai 1. Cho U là một tập mở trong R n . Một dạng vi phân bậc hai (hay 2-dạng vi phân) ω trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U một ánh xạ ω p : T p U×T p U → R là dạng song tuyến tính phản xứng trên T p U. Kí hiệu Ω 2 (U) là tập hợp các 2-dạng vi phân trên U. 2. Cho ω,  ω là hai 2-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta có ω +  ω, ϕω là các 2-dạng vi phân trên U xác định bởi (ω +  ω) p = ω p +  ω p , (ϕω) p = ϕ(p)ω p , ∀p ∈ U. 3. Cho θ, γ ∈ Ω 1 (U), tích ngoài của θ và γ, kí hiệu θ ∧ γ, là dạng vi phân bậc hai trên U xác định bởi ∀X, Y ∈ T p U, (θ ∧ γ) p (X, Y ) = θ p (X)γ p (Y ) − θ p (Y )γ p (X). 1.2.3. Nhận xét Cho {U i } i=1,n là trường mục tiêu trên U và {θ i } i=1,n là trường đối mục tiêu của {U i }. Khi đó mọi ω ∈ Ω 2 (U) viết được duy nhất dưới dạng: ω =  i<j ϕ i,j θ i ∧ θ j , ϕ i,j = ω(U i , U j ). Đặc biệt, trong tọa độ afin (x 1 , x 2 , ., x n ) trên tập mở U trong E n , mỗi ω ∈ Ω 2 (U) viết được duy nhất dưới dạng: ω =  i<j ϕ i,j dx i ∧ dx j , ϕ i,j = ω(U i , U j ). 4 1.2.4. Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc một Cho U là một tập mở trong E n , xét toạ độ afin (x 1 , x 2 , ., x n ) của E n . Khi đó mọi dạng vi phân bậc một θ được viết duy nhất dưới dạng θ =  n i=1 ϕ i dx i . Ta định nghĩa ánh xạ sau gọi là vi phân ngoài của vi phân bậc một: d : Ω 1 (U) −→ Ω 2 (U) θ =  n 1 ϕ i dx i −→ d(θ) :=  n i=1 dϕ i ∧ dx i . Khi đó ta có các tính chất: 1. d là R- tuyến tính; 2. d(ϕθ) = dϕ ∧ θ + ϕdθ, với ϕ ∈ Ω 0 (U), θ ∈ Ω 1 (U). 3. d(d(ϕ)) = 0, với ϕ ∈ Ω 0 (U). 1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi 1.3.1. Đa tạp tôpô Cho M là không gian tôpô Haudorff. Một bản đồ trên M là cặp (V, ϕ) trong đó V là một tập mở của M và ϕ : V → V  là một đồng phôi từ V lên một tập mở V  của R n . Giả sử (V, ϕ) là một bản đồ trên M. Khi đó với mỗi x ∈ V , ϕ(x) ∈ V  được hiển thị dưới dạng ϕ(x) = (x 1 , x 2 , ., x n ) trong đó x 1 , x 2 , ., x n ∈ R. Ta gọi các số x i là các toạ độ địa phương của x. Một họ các bản đồ {(V i , ϕ i )} i∈I của M sao cho {V i } i∈I là một phủ mở của M được gọi là một atlas của M. Không gian tôpô M có một atlas được gọi là một đa tạp tôpô . 1.3.2. Đa tạp khả vi Cho M là không gian tô pô Hausdorff. Atlas {(V i , ϕ i )} i∈I của M được gọi là atlas khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V 1 , ϕ 1 ), (V 2 , ϕ 2 ) của at- las sao cho V 1 ∩ V 2 = ∅ và ϕ 1 : V 1 −→ V  1 , ϕ 2 : V 2 −→ V  2 , ta có ánh xạ: ϕ 2 ◦ ϕ −1 1 | ϕ 1 (V 1 ∩V 2 ) : ϕ 1 (V 1 ∩ V 2 ) −→ V  2 là một ánh xạ khả vi. Trên tập các atlas khả vi của không gian tô pô M ta xét một quan hệ hai ngôi như sau: Cho A = {(U i , ϕ i )} i∈I ,B = {(V j , ψ j )} j∈J là hai atlas của M. Khi đó A 5 được gọi là tương đương với B, kí hiệu là A ∼ B, nếu {(U i , ϕ i ), (V j , ψ j )} i∈I,j∈J là một atlas khả vi của M. Quan hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu trúc khả vi trên M. Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của nó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi. Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định bởi atlas {(V i , ϕ i )} i∈I với ϕ i : V i −→ V  i ⊂ R n được gọi là một đa tạp khả vi n chiều, ký hiệu dim M = n. 1.3.3. Ví dụ 1. R n là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(R n , id)}. 2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(V i , ϕ i )} i∈I và N là một tập con mở của M. Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas {(N ∩ V i , ϕ i | N∩V i )} i∈I . 3. Xét siêu cầu n chiều trong R n+1 S n = {x = (x 1 , x 2 , ., x n+1 ∈ R n+1 , (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + . + (x n+1 ) 2 = 1}. Gọi N = (0, 0, ., 0, 1) ∈ R n+1 và S = (0, 0, ., 0,−1) ∈ R n+1 lần lượt là điểm cực bắc và cực nam của S n . Xét U N = S n \{N}, U S = S n \{S} là các tập mở của S n . Ta có {U N , U S } tạo thành một phủ mở của S n . Xét phép chiếu nổi P N lên siêu phẳng x n+1 = 0 sao cho với mỗi x ∈ U N , ảnh P N (x) là giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng x n+1 = 0. Phép chiếu nổi từ cực nam P S được xác định tương tự. Khi đó S n là đa tạp khả vi với atlas {(U N , P N ), (U S , P S )}. 1.3.4. Ánh xạ khả vi Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n. Ánh xạ f : M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản đồ (U, ϕ) của M, bản đồ (V, ψ) của N sao cho U ∩ f −1 (V ) = ∅ ta có ánh xạ ϕ ◦ f ◦ ϕ −1 từ tập con mở ϕ(U ∩ f −1 (V )) của R m vào R n là ánh xạ khả vi. Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f −1 : N → M khả vi được gọi là vi phôi. 1.3.5. Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi 1. Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp khả vi, C ∞ (M) là tập các hàm khả vi trên M. khi đó ánh xạ X : C ∞ (M) → R được gọi là một véc-tơ tiếp xúc tại p ∈ M nếu X nếu 6 thoả mãn: i. X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p), ii. X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g). Chúng ta có một kết quả về các vectơ tiếp xúc được thể hiện qua định lí sau: 2. Định lí [3, Định lý 4.1.1] Tập hợp T p (M) tất cả các véc-tơ tiếp xúc tại p là không gian véc-tơ hữu hạn chiều với số chiều bằng dimM. 3. Định nghĩa a. Cho M là một đa tạp khả vi. Khi đó T (M) = ∪ p∈M T p (M) được gọi là một phân thớ tiếp xúc trên M và không gian véc-tơ T p (M) được gọi là thớ đi qua p. Mỗi ánh xạ X : M → T M sao cho với mọi p ∈ M, X(p) ∈ T p (M) được gọi là một trường véc-tơ trên M. b. Trường mục tiêu trên đa tạp n-chiều M là họ n trường véc-tơ {X 1 , X 2 , ., X n } trên M sao cho tại mọi p ∈ M, hệ véc-tơ {X 1 (p), X 2 (p), ., X n (p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ T p M. 1.4 Đa tạp Riemann 1.4.1. Cấu trúc Riemann Cho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng trên T p M sao cho với hai trường véc-tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M, hàm số p → X(p), Y (p) là hàm khả vi. Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một đa tạp Riemann. Kí hiệu (M,, M ). 1.4.2. Độ dài cung Cho α : I → M là một đường cong lớp C 1 trên đa tạp Riemann (M,, M ). Độ dài của α được xác định như sau: L(α) =  I  γ  (t)  dt =  I  γ  (t), γ  (t) M dt. 1.4.3. Ví dụ 1. R n với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann. Chứng minh Theo ví dụ trên ta có R n là một đa tạp khả vi. Tại mỗi điểm p ∈ R n , 7 [...]... số khả vi trên H3 Do đó ds2 = |dz|2 t2 = 1 t2 dx2 +dy 2 +dt2 t2 xác định một cấu trúc Riemann trên H3 Vậy H3 cùng với metric xác định như trên là một đa tạp Riemann 3-chiều 2.2.2 Nhận xét Cấu trúc metric Riemann của nửa không gian trên H3 trong không gain 3-chiều R3 có thể xét như là mở rộng từ metric Riemann của nửa mặt phẳng Poincare H2 trong không gian 2-chiều R2 2.2.3 Biến đổi đẳng cự của H3 Để... −1 2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên 2.2.1 Nửa không gian trên Tập hợp H3 := {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0} là một tập con mở của R3 và được gọi là nửa không gian trên Xét H = {s + tj|s, t ∈ C} là đại số quaternion (chuẩn tắc) Khi đó ta có thể biểu thị H3 dưới dạng sau: H3 = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} Mệnh đề H3 là một đa tạp khả... VÀ NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2chiều của nữa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Rienmann, độ cong Gauss, các phép biến đổi đẳng cự, Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann 3-chiều Các khái niệm và kết quả được tham khao trong tài liệu [3], [6], [7] 2.1 Cấu trúc. .. = −ω1 của mặt S trong E3 đã nghiên cứu trước đây và dạng liên kết của đa tạp Riemann (S, can) đều thoả mãn các đẳng thức 1 2 dθ1 = −ω2 ∧ θ2 , dθ2 = −ω1 ∧ θ1 Do đó các dạng liên kết này trùng nhau 1 Ngoài ra, phương trình Gauss dω2 = Kθ1 × θ2 của mặt S đã nghiên cứu trước đây chứng tỏ độ cong Gauss K của mặt S trùng với độ cong Gauss của đa tạp Riemann (S, can) 14 Chương 2 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG... đa tạp Riemann n-chiều Chứng minh Ta có Rn là một đa tạp khả vi Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p ∈ Rn trên không gian tiếp xúc Rn được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Do đó tích vô hướng p như trên xác định một metric Riemann trên Rn Vậy (Rn , , M )) là một đa tạp Riemann n- chiều Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann (Rn , , M ) Cho γ : R+ → Rn là đường... Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré 2.1.1 Nửa phẳng Poincaré Xét đa tạp 2-chiều H2 = {(x, y) ∈ R2 /y > 0} trong R2 Kí hiệu can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trong R2 và ψ : H2 → R, (x, y) → ψ(x, y) = 1 y2 Ta có H2 := ψ.can xác định một metric Riemann 2-chiều trên H2 nên (H2 , H2 ) là một đa tạp Riemann 2-chiều được gọi là nửa mặt... Mệnh đề H3 là một đa tạp khả vi 3-chiều trong R3 với cấu trúc Riemann ds2 := Chứng minh dx2 + dy 2 + dt2 |dz|2 = t2 t2 Do H3 là tập con mở của R3 và R3 là một đa tạp khả vi 3-chiều với atlas {(Rn , id)} nên H3 là một đa tạp khả vi 3-chiều Ta có với mỗi p ∈ H3 , không gian tiếp xúc tại điểm đó là R3 ∼ R3 nên có thể cảm sinh lên không gian = p này metric Riemann chính tắc trong R3 xác định bởi |dz|2 = dx2.. .không gian tiếp xúc tại điểm đó chính là Rn ∼ Rn nên tích vô hướng trên không p = gian tiếp xúc tại điểm p được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Vậy Rn với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann 2 Xét M = Rn và tại mỗi p ∈ M ta xác định một tích vô hướng : , M = 4 < Xp , Yp >, (1 + |p|2 )2 với là tích vô hướng chính tắc trên Rn Khi đó, (Rn , , M) là một đa tạp Riemann. .. phép biến đổi đẳng cự của (H2 , ) 2.1.4 Đĩa Poincaré Kí hiệu D là hình tròn mở, tâm O, bán kính 1 trong R2 D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 1} = {z = x + iy ∈ C/|z| = x2 + y 2 < 1} Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phẳng Poincaré, ta có D là một đa tạp Riemann 2-chiều với cấu trúc Riemann D = ψ.can, trong đó ψ(x, y) = 4 (1−(x2 +y 2 ))2 và can là cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích... Ta sẽ có khái niệm độ cong Gauss trên đa tạp Riemann 2-chiều thông qua định lí sau 6 Định lí [3, Định lý 4.3.2] Cho (M, ) là đa tạp Riemann 2-chiều Khi đó có một và chỉ một hàm số K trơn trên M sao cho với trường đối mục tiêu {θ1 , θ2 } của trường mục tiêu trực chuẩn {U1 , U2 } tuỳ ý trên tập mở V của M ta có 1 dω2 = Kθ1 ∧ θ2 , 1 trong đó ω2 là dạng liên kết của (M, , ) Hàm K được gọi là hàm độ . POINCARÉ VÀ NỬA KHÔNG GIAN TRÊN 15 2.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré . . . 15 2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên . . .. thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann có liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trên và nửa không gian trên của chương 2.