Phân tích SGK lớp 10 chương trình cải cách , để phục vụ cho công tác giảng dạy

phân tích SGK lớp 10 chương trình cải cách , để phục vụ cho công tác giảng dạy

Lời nói đầu

Trách nhiệm của người giáo viên đứng trên bục giảng không chỉ đơn thuần là trình bày cho học sinh những gì sẵn có trong Sách giáo khoa mà còn phải làm cho học sinh nắm được tri thức mà mình truyền đạt , đồng thời giúp học sinh biết linh hoạt sử dụng trong từng trường hợp cụ thể Chính vì vậy , môn phương pháp dạy học sẽ giúp ít nhiều cho người giáo viên trong công tác giảng dạy và nghiên cứu Điều đó cho thấy tầm quan trọng của môn phương pháp giảng dạy Ngoài việc đổi mới nội dung sách giáo khoa , thay đổi phương pháp giảng dạy trong nhà trường phổ thông thì việc thay đổi trong tư duy làm việc của giáo viên là thật sự cần thiết Giáo viên tự đổi mới phương pháp trong việc tìm hiểu , nghiên cứu SGK để từ đó hệ thống hóa kiến thức một cách chính xác và đầy đủ về chương trình giảng dạy Điều này sẽ giúp người giáo viên tìm hiểu để khắc phục những hạn chế của chương trình , đồng thời đưa ra những phương án giảng dạy phù hợp Mặt khác chương trình phổ thông có sự liên kết với nhau , mà đây cũng là vấn đề đáng quan tâm Khai thác được yếu tố này trong giảng dạy sẽ giúp học sinh hình thành khả năng so sánh ,

tư duy trong học toán …cũng như tránh được sự nhàm chán cũng như sự lẫn lộn của các loại kiến thức mà học sinh sẽ gặp phải

Trong thực tế chương trình phổ thông có những kiến thức trình bày ở nhiều phân môn khác nhau , nhưng trong giới hạn của bài tiểu luận chỉ trình bày mối quan hệ giữa hình học giải tích và đại số thông qua nội dung giảng dạy về “đường thẳng “ với “ Hàm số , phương trình , bất phương trình “ chủ yếu phân tích SGK lớp 10 chương trình cải cách , để phục vụ cho công tác giảng dạy sau này

Em cũng xin cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu đã hướng dẫn em hoàn thành bài tiểu luận này Đồng thời cảm ơn anh chị và bạn bè trong việc cung cấp những tài liệu hết sức hữu ích cho bài tiểu luận của tôi

Sinh viên thực hiện

Võ Duy Ngoan

MỤC LỤC

A GIỚI THIỆU

Mục đích nghiên cứu

Định hướng nghiên cứu

Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

I Lịch sử của mối quan hệ giữa đại số và hình học

2 Đại số và một vài phương pháp giải bằng hình học 6

3 Đôi nét về sự ra đời của một vài kí hiệu trong Đại số 8

I ĐƯỜNG THẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA THCS

II PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10

A GIỚI THIỆU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bản thân những tri thức của chúng ta học trong trường phổ thông thì luôn tồn tại mối quan hệ giữa đại số và hình học , nhưng đã có mấy ai thật sự quan tâm và đi sâu nghiên cứu đến vấn đề này một cách có hệ thống ? Ngay cả một số giáo viên ở Phổ thông cũng không mấy chú trọng đến nó , và các công trình nghiên cứu thì cũng không phổ biến ! Khi mà vấn đề được giải quyết thì sự rời rạc trong kiến thức của học sinh sẽ được hạn chế rất nhiều, và một khi học sinh thấy được mối quan hệ giữa hình học và đại số sẽ giúp các

em vận dụng có hiệu quả trong việc giải quyết các bài tập Cũng từ đó sẽ xóa nhòa trong suy nghĩ của học sinh về sự phân biệt giữa hình học , giải tích và đại số , để từ đó sẽ có

sự tôn trọng đúng mức đối với từng phân môn

Các mối liên hệ này thể hiện về nhiều mặt , nhiều nội dung và khía cạnh khác nhau , nhưng ’’đường thẳng “ và những ứng dụng của nó trải dài trong trường Phổ thông , một kiến thức cũng không kém phần quan trọng , nhất là ở chương trình lớp 10 cải cách

Do kiến thức về đường thẳng được phân bố rất rải rác ở từng khối lớp và từng cấp học khác nhau , vì vậy mà việc hệ thống mà cách chính xác và mang tính logic , chặt chẽ là hết sức cần thiết Từ đó giúp phát triển khả năng so sánh , hệ thống kiến thức, cho học sinh

II XÂY DỰNG ĐỀ CƯƠNG NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu

Xem xét mối quan hệ giữa hình học , giải tích và đại số trong quá trình dạy học nhằm giải quyết các vấn đề sau :

Hình học giải tích đề cập về “ đường thẳng” như thế nào ?

Đại số xem xét “ đường thẳng “ ra sao ?

Sách giáo khoa đã tạo ra mối liên kết giữa hình học , giải tích và đại số ở góc độ nào ? Nghiên cứu sự kết hợp các kiến thức giữa hình học , giải tích và đại số giải quyết được vấn

đề gì ?

Nội dung nghiên cứu

Làm rõ mối quan hệ giữa hình học , giải tích và đại số trong lịch sử

Các sách giáo khoa trình bày về kiến thức về đường thẳng và những kiến thức có liên quan ra sao ?

Làm rõ mối quan hệ mà sách giáo khoa đã tạo ra

Phương pháp tổ chức nghiên cứu

Nghiên cứu lịch sử về mối liên hệ giữa hình học , giải tích và đại số

Tổng hợp chương trình sách giáo khoa phổ thông về “ đường thẳng “ lớp 6 , 7 , 9 và tập trung ở sách giáo khoa 10

Nghiên cứu mối quan hệ mà SGK đã tạo ra

B LỊCH SỬ

I LỊCH SỬ CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC , GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ

Theo dòng chảy lịch sử của hình học , giải tích và đại số ghi nhận những công lao

to lớn của các nhà toán học nổi tiếng như : Pythagoras, Thales, Euclide , Cantor,Eudoxus , Fermat…những đóng góp của các nhà toán học đã tạo nên sự phát triển rực rỡ của toán học ngày nay

1 Tổng quan về lịch sử Hình học

Cũng như khái niệm số, những kiến thức đầu tiên về hình học đã nảy sinh vào thời

kỳ sơ khai, bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn phong phú của loài người Từ công việc cày cấy ,cất nhà đều đòi hỏi phải đo đạc đến việc phải biết các quy tắc vạch đường thẳng để dựng những chiếc cột hay bức tường thẳng đứng v.v Tất cả những điều đó đều không thực hiện được nếu không biết đến những kiến thức cơ bản về hình học

Phương Đông , trong đó chủ yếu là Ai Cập và Babylon , được xem như cái nôi của hình học Những tài liệu toán học cổ nhất mà người ta tìm thấy được là các bảng tính của người Babylon ( từ 1800 đến 1500 TCN và một quyển sách viết trên giấy cói của người Ai Cập ( khoảng 1650 TCN ) Hai tài liệu cổ này cho chúng ta thấy nguồn gốc của hình học gắn liền trực tiếp với những vấn đề thực tế ,mà trước hết là việc đo đạc ruộng đất và xây cất các công trình kỷ niệm

Những thành tựu của người Hy Lạp thế kỷ thứ IV TCN đánh dấu sự chuyển biến sâu sắc , kể từ giai đoạn này trở đi thì hình học mới nhanh chóng trở thành một khoa học suy diễn và trừu tượng Sự chứng minh bằng logic đã trở thành phương pháp cơ bản để khẳng định tính chân thật của một mệnh đề toán học Bắt đầu từ Thales , ông đã tìm cách chứng minh các mệnh đề toán học Trong thực tế Pythagore mới là người mang lại những biến đổi sâu sắc cho hình học Để nghiên cứu hình học , ông xuất phát từ cơ sở đầu tiên của nó , và cố gắng chứng minh bằng các định lý bằng suy luận logic , chứ không phải bằng cách dựa vào trực giác Và ông cũng đã từng “ Giải phương trình bậc hai bằng hình học ( áp dụng các phép tính về diện tích ) “ Các qui luật cơ bản đã được phát triển thời Aristore( 384 – 322 TCN) và hệ tiên đề đầu tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclide vào khoảng 300 năm TCN Hình học lúc này được xem là công cụ hiệu quả nhất ,

dựa vào các tiên đề hình học nhiều mệnh đề toán học được chứng minh và hình học 2 chiều , 3 chiều phát triển mạnh mẽ Hình học trong thời kỳ này có tính chất trực quan dễ hiểu nên hầu hết các bài toán đại số đều có thể giải quyết bằng công cụ hình học Trong thời kỳ này người ta tôn sùng bộ môn hình học , do đó nhiều nhà toán học cũng chịu ảnh hưởng và đi nghiên cứu về nó Điều này giải thích tại sao trên cửa chính của Viện , Platon cho khắc dòng chữ “ Không ai cần vào dưới mái nhà của tôi nếu người đó không phải là một nhà hình học “

Đã nhắc đến hình học thì không thể không lưu tâm đến hình học giải tích , một phân môn mà có thể nhìn thấy sự gắn kết giữa hình học và đại số Hình học giải tích là bộ môn nghiên cứu các đối tượng hình học bằng công cụ của đại số dựa trên cơ sở phương pháp tọa độ Thực chất của phương pháp tọa độ trên mặt phẳng là : vị trí của mổi điểm được xác định bởi giao điểm của hai đường ( gọi là hai đường tọa độ ) thuộc hai hệ đường tọa

độ khác nhau Hai hệ đường đó lập nên lưới tọa độ , thỏa mãn điều kiện : Qua mỗi điểm trên mặt phẳng có một và chỉ một đường của hệ Như vậy , một phép tương ứng một – một được thiết lập giữa các điểm của mặt phẳng Euclide với các cặp số x và y (tọa độ của điểm ) , cặp số đó xác định vị trí của điểm trên mặt phẳng đang xét.Vị trí của điểm trong không gian cũng được thiết lập một cách tương tự

Tên gọi của hình học giải tích hình thành từ lịch sử và được duy trì một cách vững chắc , nhưng không phản ánh đúng nội dung của khoa học này Đặc trưng của hình học giải tích trước hết không phải ở chỗ ứng dụng đại số vào hình học và do đó ở chỗ sử dụng phương pháp giải tích mà trước hết ở chỗ ứng dụng phương pháp tọa độ Cho nên đúng hơn thì nên gọi là hình học tọa độ

Phương pháp tọa độ là một thành tựu của thế kỉ XVII – XVIII nhưng đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại Người ta thấy mầm mống của khái niệm tọa độ ở các nhà toán học Ai Cập thời xưa , đã sử dụng các tọa độ song song ( các đoạn thẳng ) khi thực hiện các công trình xây dựng Các nhà thiên văn Hy Lạp ( Hippacc thế kỉ II TCN & Ptolemee thế

kỉ II sau CN ) đã dùng các tọa độ cầu ( vĩ độ và kinh độ ) để xác định vị trí của các điểm khác nhau trên mặt đất Tuy nhiên sự phát triển phương pháp tọa độ ở các nhà toán học

Hy Lạp đã bị kìm hãm do chưa có kí hiệu bằng chữ và chưa có một quan niệm tổng quát

về số

Các nhà bác học người Pháp là Fermat và Descartes đã cống hiến lớn nhất trong việc xây dựng nên hình học giải tích Nhờ dùng các kí hiệu bằng chữ do nhà bác học người Pháp đề xuất , cả Fermat và Descartes ( độc lập với nhau ) đã đồng thời cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp tọa độ , làm cơ sở cho hình học giải

tích do các ông xây dựng nên vào thế kỉ VII Tư tưởng cơ bản của phương pháp do hai ông xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những phương trình đại số thông qua trung gian là một hệ tọa độ Nhờ phương pháp này , mọi bài toán hình học có thể chuyển thành bài toán đại số và việc giải bài toán thứ hai thường dễ thực hiện hơn là giải trực tiếp bài toán ban đầu Nhà tư tưởng vĩ đại Descartes đã hiểu rõ hơn người cùng thời ông là Fermat , về tính hạn chế và đặc thù của bộ môn hình học tổng hợp của các nhà toán học cổ đại Một cống hiến lớn của Descartes so với Fermat là đã đưa vào toán học đại lượng biến thiên , sáng tạo ra một hệ kí hiệu thành đạt hơn , thiết lập được sự liên hệ chặt chẽ giữa không gian và số , giữa đại số và hình học Vì vậy , người ta xem Descartes là người sáng lập có công nhất của hình học giải tích Theo Engel thì đại lượng biến thiên của Descartes là một bước ngoặc trong toán học , do đó mà toàn bộ toán học cao cấp và các ngành toán học tự nhiên phù cận đã có khả năng phát triền mạnh mẽ Nhà sáng lập hình học giải tichd Descartes đã không thể thực hiện đến cùng việc số học hóa hình học Ông không mở rộng phương pháp tọa độ vào không gian và tự hạn chế trong việc nghiên cứu các đường cong phẳng , hệ tọa độ của ông chưa được hoàn thiện : chỉ có một trục nằm ngang , còn các tung độ được xem như các đoạn thẳng biến đổi song song , chưa có

sự phân biệt rõ ràng về dấu của các tọa độ

Việc chuyển phương pháp tọa độ vào không gian ba chiều chỉ được thực hiện vào cuối thế kỉ XVII , và tiếp tục trong thế kỉ XVIII , trong các công trình của một số nhà bác học

mà trước hết là Clairot và Euler Và đến cuối thế kỉ XVIII hình học giải tích đã trở thành một môn khoa học hoàn chỉnh , được đưa vào giảng dạy ở những năm đầu tiên của bậc đại học

Sự ra đời của phương pháp mới đã xác lập mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số , đem lại khả năng khái quát cho lời giải các bài toán hình học

2 Đại số và một vài phương pháp giải bằng hình học

Đại số thuở ban đầu chưa có những kí hiệu toán học như ngày nay Do đó bài toán đại số được viết ra để truyền đạt đều bằng lời rất khó hiểu và cồng kềnh Vì vậy , đại số ít được

sử dụng Tuy nhiên , nhiều công thức đại số được ra đời nhưng lại không chứng minh bằng ngôn ngữ đại số mà được thông qua hình học

Mượn hình học để chứng tỏ tính hợp lí của các đại

lượng trong đại số Từ các bài toán đơn giản như

trung bình tỉ lệ

Trung bình của x và y được biểu diễn qua hình học

là điểm chính giữa của đoạn thẳng xy

S1= a2 S2=ab

S3=ab S4= b2

Hay hằng đẳng thức (a+b)2 = a2 + b2 +2ab

Khi đó ta vẽ được cạnh hình vuông là a + b , từ đó ta chia hình vuông này thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như hình vẽ

Từ đó , diện tích S = S1 + S2 + S3 + S4

Đó chính là ab2 a2  2abb2

Đến giải phương trình 2 10 39



 x

x ta có thể biễu diễn hình học bằng hình vuông có cạnh băng (X + 5) , trong hình vuông đó ta có thể chia thành 4 hình vuông có cạnh bằng 5/2 , một hình vuông cạnh bằng X và 4 hình

chữ nhật có chiều dài bằng X và chiều

rộng là 5/2 như hình vẽ

Diện tích của bốn hình vuông (ở các góc)

là :

2

5

*4

2

 

 

 

Diện tích phần in đậm là : 2 5

4*

2

Diện tích hình vuông lớn là : X 52 2 52

10 4 39

4

Lúc này : X 52 64

Do đó : x = 3

Vào thế kỉ thứ III sau CN bài toán tính tổng n số tự nhiên xuất hiện Lúc đó công thức này chưa được chứng minh bằng phương pháp quy nạp như ngày nay mà được chứng minh thông qua hình học

 1

1 2

2

n n

   

Ta có thể biểu diễn các số vào một tam giác vuông cân có cạnh n.Trên các dòng từ

1 đến n ta sắp xếp từ 1 đến n phân tử rồi gắp điểm A lên sao cho đường chéo của tam giác

cũ không trùng với đường chéo của tam giác mới thì ta nhận được hình chữ nhật có cạnh

là n+1 Khi đó diện tích của hình chữ nhật bằng n(n+1)

Hình chữ nhật này được tạo ra từ hai tam giác của biểu diễn n số tự nhiên đầu tiên như diện tích của một tam giác là n(n+1)/2

Vậy công thức đã được chứng minh bằng hình học

Căn bậc hai của số học của 2 cũng được lấy từ hình học và được định nghĩa là độ dài hình học của cạnh huyền trong tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1

1 2

1

3 Đôi nét về sự ra đời của một vài kí hiệu trong Đại số

Toán học không dừng lại ở đó mà tiếp tục phát triển và củng cố nền hình học với sự

ra đời của các đường cong phức tạp Lúc này hình học không thể mô tả một cách trực quan bằng hình vẽ được Hơn nữa cách chứng minh cũng không thể dựa vào hình vẽ như trước đây được nữa Điều này đã đẩy các nhà toán học đi tìm con đường mới , do đó mà đại số được chú ý quan tâm hơn nhiều Các kí hiệu toán học ra đời Ví dụ phép toán nhân

đã được người Hindu dùng cách viết Bha ( âm tiết đầu của từ Bhavita nghĩa là tích ) giữa các nhân tử Năm 1631 William Oughtred (1574 – 1660 ) người Anh đã dùng dấu “x “ trong tác phẩm của mình và ngày nay dấu “x” vẫn được sử dụng Dấu “ “ thay cho phép nhân

được Thomas Harriot (1560 -1621 ) được dùng song ít được sử dụng , nhưng đến năm

1684 Gottfried Wihelm Leibnitz ( 1-7-1646 _ 4-11-1716 ) người Đức chấp nhận nó

Dấu “” được Leibnitz dùng khi làm phép nhân và ngày nay nó được dùng để chỉ phép giao trong toán lý thuyết tập hợp

Đối với người Hindu còn thể hiện cách viết chia bằng cách viết số chia trên số bị chia Ví dụ : 4 chia cho 5 bằng 4/5 Sau đó JohnPell (1630 ) dùng dấu “” rồi 1684 Leibnitz dùng dấu “:” Năm 1525 , trong cuốn “Dieloss” Ch Rubolff đã đưa dấu “ ” vào

sử dụng thay thế cho cách viết Rq của người Hindu …

Với nhiều kí hiệu lần lượt ra đời thì các phép toán không còn cồng kềnh khó chịu như trước nữa nên phát huy được sức mạnh , sự thuận tiện và ưu việt hơn Thời kì này là sự thống trị của đại số do công cụ đại số tỏ ra rất hiệu quả Sự ra đời của đại số làm cho vị trí của đại số được củng cố

II KẾT LUẬN LỊCH SỬ

Như thế , trong lịch sử , quan hệ giữa Đại số và Hình học được thiết lập trước hết ở chỗ Hình học cho phép giải một số bài toán đại số mà lời giải khó tìm thấy trong phạm vi Đại số

Về sự thống trị của hình học trong giai đoạn đầu , trước khi Hình học giải tích lên ngôi , việc phân tích đưa ra hai lý do :

- Những lí do gắn liền với sự có trước của Hình học trong lịch sử : trước khi các phương pháp Đại số được xây dựng thì phương pháp Hình học đã phát triển đến độ

mà chúng được xem như gắn liền với tư duy suy diễn và lập luận logic , Các nhà Đại số đầu tiên đã phải tìm trong Hình học ý nghĩa của lập luận của họ Hình học đem đến cho họ một “ kho “ các bài toán đã được giải hay cần phải giải Những bài toán như vậy , cho dù được giải theo kiểu Đại số đi chăng nữa thì cũng cần giải thích bằng Hình học Các phương trình đại số về cơ bản được xem như bài toán Hình học

- Những lý do mang bản chất khoa học luận : Hình học gắn liền với việc nghiên cứu không gian vật lý Cách biểu diễn bằng hình vẽ là một cách biểu diễn thích đáng và đem đến những phương tiện hiệu quả cho việc giải quyết vấn đề Nó cũng mang lại cho các phương pháp Hình học một đặc trưng trực giác Ngược lại đại số - được đồng nhất trước hết với lý thuyết các phương trình , lại không có những phương tiện thích đáng để biểu diễn các đối tượng của nó , Trong khi chờ đợi sự phát triển của xu hướng

kí hiệu hóa nó phải tự hài lòng với những lập luận logic rất cồng kềnh Việc dịch bài

toán Đại số sang Hình học –theo một đường vòng với nguyên lý “ thuần nhất “ ( một số tương ứng với độ dài , một bình phương hay tích hai số tương ứng với diện tích ) – cho phép mang lại nghĩa cho lập luận Đại số , đồng thời mang lại những phương tiện giải được phát triển hơn trong Hình học

- Chính sự phát triển xu hướng kí hiệu hóa đã đảm bảo tính độc lập của Đại số , mang lại cho nó những phương tiện biểu diễn và giải quyết riêng Đại số kí hiệu cho phép người ta một cái nhìn trừu tượng , loại bỏ những ý tưởng trực giác và kinh nghiệm

về các số (số - số lượng , số - số đo ) Bước chuyển này không chỉ xác nhận sự độc lập hoàn toàn của Đại số đối với Hình học mà còn đảm bảo sức mạnh và khả năng phát triển của nó

Descartes và Fermat đã đánh giá đúng sức mạnh của phương pháp Đại số so với phương pháp Hình học Như thế trong Toán học , sự ra đời của đại số kí hiệu và Hình học giải tích đã làm đảo lộn vai trò của các phương pháp Đại số và các phương pháp Hình học

C PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ

I ĐƯỜNG THẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA THCS

SGK Lớp 6 :

Trong chương trình SGK , khái niệm về đường thẳng được đề cập trong phần Hình học

Sách giáo khoa 6 đưa khái niệm theo phương pháp kiến thiết , mô tả :

“ Sợi chỉ cẳng thẳng , mép bảng cho ta hình ảnh của đường thẳng Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía “

Ở đây học sinh hiểu khái niệm dưới dạng mô tả những hình ảnh cụ thể Để rồi từ đó tiếp tục dùng những hình ảnh trực quan để đưa vào những khái niệm về vị trí hai đường thẳng: trùng nhau , cắt nhau , song song Chương trình đại số thì chưa đề cặp đến đường thẳng

a

Sách giáo khoa lớp 7

Đại số : Ngay sau khi đưa khái niệm “ Mặt phẳng tọa độ “,thì đồ thị của hàm số y=ax (a0 )

đã được đề cặp đến , SGK đã công nhận “ Đồ thị của hàm số y = ax (a0 ) là một đường