Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương." pdf

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 5 Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng nguyễn thị ngọc diệp (a) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi chứng minh rằng tập hợp các phần tử compact trong nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng lập thành một ớc chuẩn; đa ra điều kiện đủ để một nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh; đồng thời nghiên cứu tính liên hợp của các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Mỗi nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh là một nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Vì vậy lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng rộng hơn lớp nhóm tôpô luỹ linh địa phơng và lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh đã đợc chúng tôi nghiên cứu và trình bày trong [1]. Bài báo này tiếp tục nghiên cứu một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng nh: tập hợp các phần tử compact của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng, một số lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng đặc biệt, nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Nhóm tôpô G đợc nghiên cứu ở đây là nhóm compact địa phơng, ta dùng ký hiệu G 0 là thành phần liên thông của đơn vị eG. I. phần tử compact của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng Trong phần này ta nghiên cứu tập hợp các phần tử compact của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Định lý 1. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng và B là tập hợp các phần tử compact của G. Khi đó i) B là ớc chuẩn của nhóm G; ii) Nhóm thơng B G là nhóm phi xoắn tôpô; iii) Nếu N=B.G 0 thì N G là nhóm rời rạc, phi xoắn trừu tợng, đồng thời N là ớc chuẩn cực tiểu có tính chất đó. Chứng minh. i) Trớc hết ta chứng minh rằng bao đóng của nhóm con sinh bởi hữu hạn các phần tử compact của G là nhóm compact. Thật vậy, giả sử g 1 , g 2 , ,g k là các phần tử compact của nhóm G. Đặt H:= { } k ggg , ,, 21 . Vì G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng nên H= lim (H , , > ) là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, trong đó . Nhận bài ngày 8/8/2007. Sửa chữa xong 10/9/2007. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 6 H = { } k ggg , ,, 21 là nhóm luỹ linh, g i = (g i ) là phần tử compact (i = k,1 ) với :HH là đồng cấu chính tắc của nhóm H lên H . Theo bổ đề 3.5 [2], H là compact, suy ra H là nhóm compact. Vì vậy tập hợp B các phần tử compact của nhóm tôpô G luỹ linh xạ ảnh địa phơng tạo thành nhóm con của nhóm trừu tợng G. Ta đã biết rằng B là nhóm con xoắn tôpô với tôpô cảm sinh. Mặt khác theo định lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3], ta có B = C.H 1 H m , trong đó H i là nhóm vectơ một chiều, C là nhóm compact cực đại. Vì B là nhóm xoắn tôpô nên H i =e. Vậy B là nhóm compact bất biến của G. ii) N=B.G 0 là nhóm con mở. Giả sử g * =gB là phần tử compact của G * = B G . Khi đó N * = B N là nhóm con bất biến mở trong G * , đồng thời N * BG G 0 0 = 0 0 B G . Vì G 0 là nhóm compact sinh ra nên H * :={g * } là nhóm compact của G * . Suy ra * ** . N NH ** * N H H , do đó * ** . N NH là nhóm compact rời rạc vì H * N * H * là nhóm con mở trong H * . Suy ra * ** . N NH là nhóm hữu hạn. Vì vậy k g* N * hay g k N và hiển nhiên k g* là phần tử compact. Khi đó 0 0 B G = B N = N * là nhóm Lie, phi xoắn tôpô. Vì B 0 là nhóm compact nên N * là giới hạn xạ ảnh của các nhóm Lie liên thông. Suy ra k g* =e * tức g k B. Do đó g là phần tử compact. Điều này trái với giả thiết gB. Vậy B G là nhóm phi xoắn tôpô. iii) Ta chứng minh G= N G là nhóm rời rạc, phi xoắn trừu tợng. Giả sử h =hN là phần tử compact. Vì N mở nên nhóm con { } gN là nhóm compact rời rạc. Suy ra { } gN là nhóm xyclic hữu hạn, do đó h m =e . Vì vậy h m N. Đặt h * m :=h.B m , ta có h * m N * với N * = 0 0 B G G 0 * tức K * :={h * , N * } là mở rộng bởi hữu hạn nhóm liên thông. Theo định lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3] suy ra K * =D * .N * với D * là nhóm hữu hạn. Vì B G là nhóm phi xoắn tôpô nên D * =e * hay h =e . Vì đối với bất kỳ một nhóm con bất biến F mà nhóm thơng F G là nhóm phi xoắn tôpô thì F phải chứa G 0 và B nên N là nhóm con nhỏ nhất của G 0 chứa G 0 và B. Vậy N là ớc chuẩn cực tiểu để nhóm thơng N G là nhóm rời rạc, phi xoắn trừu tợng. ii. nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng Trong nhóm trừu tợng cũng nh trong nhóm tôpô, tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn nói chung không làm thành một nhóm con. Vì vậy bài toán nghiên cứu các Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 7 nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô đợc nhiều nhà toán học quan tâm, đặc biệt là vấn đề: khi nào tập hợp các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại chia ra một số hữu hạn lớp liên hợp. Trong phần này chúng tôi chứng minh rằng nếu G là nhóm compact, luỹ linh xạ ảnh địa phơng sao cho 0 G G hữu hạn thì trong G chỉ có một lớp nhóm con xoắn trừu tợng cực đại liên hợp. Bổ đề 1. Giả sử trong nhóm trừu tợng G có ớc chuẩn giải đợc R có chỉ số hữu hạn và các phần tử có cấp hữu hạn của R làm thành ớc chuẩn R * sao cho nhóm thơng * R R là nhóm phi xoắn, đầy đủ, luỹ linh. Khi đó các nhóm xoắn trừu tợng cực đại trong G liên hợp với nhau. Chứng minh. Xét nhóm thơng G * = * R G . Vì R * = * R R là nhóm luỹ linh phi xoắn trừu tợng và * * R G là nhóm hữu hạn nên G * =D * .R * , D * R * =e * và tất cả các D * liên hợp với nhau trong G * . Giả sử P 1 , P 2 là hai nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong G. Ta có R * P 1 P 2 . Do đó P 1 * = * 1 R P , P 2 * = * 2 R P là các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong R * , suy ra chúng liên hợp với nhau. Vậy P 1 , P 2 liên hợp với nhau trong G. Định lý 2. Giả sử G là nhóm compact, luỹ linh xạ ảnh địa phơng sao cho nhóm thơng 0 G G hữu hạn. Khi đó các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại liên hợp với nhau trong G. Chứng minh. Vì G 0 là nhóm compact, luỹ linh, liên thông nên G 0 là xuyến. Ta chứng minh G 0 là nhóm đầy đủ. Thật vậy, xét ánh xạ : G 0 G 0 , x x n , n là số tự nhiên. Do G 0 là nhóm Abel nên là ánh xạ đồng cấu và (G 0 ) là nhóm liên thông. Vì )( 0 0 G G không thể là nhóm xoắn liên thông nên )( 0 0 G G =e * . Suy ra G 0 = (G 0 ) hay G 0 là nhóm đầy đủ. Giả sử T là tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn trong G 0 . Ta có T G là nhóm đầy đủ, phi xoắn, Abel nên T G là nhóm đầy đủ, phi xoắn, luỹ linh. Khi đó theo bổ đề 1, các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong G liên hợp với nhau. III. một số lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng Nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh đều là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Nhng điều ngợc lại không phải bao giờ cũng đúng. Trong phần này ta xét một số lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng có chiều ngợc lại. Định lý 3. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng Lie. Khi đó G là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 8 Chứng minh. Giả sử g 1 , g 2 , , g k là các phần tử của G. Ta cần chứng minh rằng H= { } k ggg ,,, 21 là nhóm tôpô luỹ linh. Thật vậy, vì G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng mà H là bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh của G nên H là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Mặt khác trong nhóm Lie H không có nhóm con nhỏ tuỳ ý nên tồn tại lân cận đủ nhỏ của đơn vị e mà trong đó chỉ có nhóm con đơn vị e là ớc chuẩn tầm thờng duy nhất. Do H là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh nên e H là nhóm tôpô luỹ linh hay H là nhóm tôpô luỹ linh. Vậy G là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng. Định lý 4. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng, liên thông. Khi đó G là nhóm tôpô luỹ linh. Chứng minh. Vì G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng, liên thông nên tồn tại ớc chuẩn compact F của G để nhóm thơng F G là nhóm Lie. Nh vậy nhóm thơng F G là liên thông, luỹ linh xạ ảnh địa phơng, Lie, do đó theo định lý 3 ta có F G là nhóm luỹ linh. Gọi F 0 là thành phần liên thông của đơn vị của nhóm compact F. Khi đó F 0 là nhóm luỹ linh, compact, liên thông. Vì vậy F 0 là xuyến bất biến thuộc tâm của G. Suy ra F 0 thuộc tâm của F. Ta có nhóm thơng 0 F F là ớc chuẩn hoàn toàn không liên thông của nhóm liên thông 0 G G . Suy ra 0 F F thuộc tâm của 0 F G . Do đó 0 F F là nhóm Abel. Vì vậy 0 F F là nhóm luỹ linh. Nh vậy F là mở rộng trung tâm của nhóm luỹ linh F 0 bởi nhóm luỹ linh 0 F F , do đó F là nhóm luỹ linh. Ta có 0 0 F F F G F G trong đó F G là nhóm luỹ linh, 0 F F thuộc tâm của 0 F G . Do đó 0 F G là mở rộng trung tâm của nhóm luỹ linh 0 F F bởi nhóm luỹ linh F G . Vì vậy 0 F G là nhóm luỹ linh. Vì F 0 thuộc tâm của G nên G là mở rộng trung tâm của nhóm luỹ linh F 0 bởi nhóm luỹ linh 0 F G . Do đó G là nhóm luỹ linh. Trong lý thuyết nhóm tôpô, đối với lớp nhóm sinh bởi một tập compact thì khi lấy tôpô rời rạc nó là nhóm trừu tợng hữu hạn sinh. Ta gọi lớp nhóm đó là lớp nhóm tôpô compact sinh ra. Bổ đề 2. Nếu là nhóm con đóng của nhóm luỹ linh, liên thông Lie G thì là nhóm compact sinh ra. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của G. Nếu dim G=1 thì Gằ mà ằ là nhóm compact địa phơng nên G là nhóm compact địa phơng. Do đó là nhóm compact sinh ra. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 9 Giả sử kết luận của bổ đề đúng đến dim G=n-1, ta chứng minh kết luận của bổ đề đúng với dim G=n. Thật vậy, vì G là nhóm liên thông Lie nên trong G có nhóm con liên thông A không tầm thờng thuộc vào tâm của G. Theo định lý Cartan- Maltsev- Iwasawa tổng quát ta có A=H.V, trong đó H là nhóm compact liên thông tối đại của A, V=H 1 . H 2 H n với H i (i=1, 2, , n) là các nhóm vectơ một chiều. Ta lần lợt xét hai trờng hợp sau: Trờng hợp 1: eH . Đặt H G G = * , ta có dim = * G dim < H G dim G . Theo giả thiết quy nạp, H H = * là nhóm compact sinh ra. Mặt khác, vì H H = * H nên là mở rộng của nhóm compact H bởi nhóm compact sinh ra H . Do đó là nhóm compact sinh ra. Trờng hợp 2: eH = . Vì G là nhóm compact địa phơng, liên thông nên G là nhóm compact sinh ra. Khi đó, trong G tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị để G = { } V . Ta xét nhóm xyclic cấp vô hạn sinh bởi phần tử Vv . Nhóm { } v là nhóm con rời rạc cấp vô hạn của V. Nhóm { } v V có chứa phần tử compact không tầm thờng nên { } { } v V , là nhóm compact sinh ra. Do đó { } V, ' = là nhóm compact sinh ra. Vì vậy ' 0 ' là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh. Có hai khả năng sau: Nếu =G thì là ớc chuẩn của G, tức 0 là ớc chuẩn rời rạc của 0 G G . Vì mọi nhóm Lie liên thông đều là hữu hạn sinh nên 0 là nhóm hữu hạn sinh, mà nhóm liên thông 0 là compact sinh ra nên là nhóm compact sinh ra. Nếu G thì ' 0 là nhóm compact sinh ra. Ta có ' 0 ' 0 0 ' . Nhóm 0 ' hữu hạn sinh đợc coi nh nhóm luỹ linh hữu hạn sinh ' 0 ' . Suy ra là nhóm compact sinh ra. Bổ đề 3. Giả sử H là nhóm con đóng của nhóm compact sinh ra, luỹ linh xạ ảnh địa phơng G. Khi đó H là nhóm compact sinh ra. Chứng minh. Ta có B BH BH H . Vì B BH là nhóm con đóng của nhóm luỹ linh, liên thông Lie B G nên theo bổ đề 2 ta có B BH là nhóm compact sinh ra. Do đó BH H cũng là nhóm compact sinh ra. Nh vậy H là mở rộng của nhóm compact HB bởi nhóm compact sinh ra BH H nên H là nhóm compact sinh ra. Định lý 5. Nếu G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng, compact sinh ra thì G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 10 Chứng minh. Đặt H=B.G 0 , trong đó B là tập tất cả các phần tử compact của G. Theo định lý 1 ta có H G là nhóm rời rạc, compact sinh ra nên nó hữu hạn sinh. Suy ra G={g 1 , g 2 , , g k , H} với g i (i = 1, 2, , k) là các phần tử đại diện của các lớp ghép hữu hạn sinh của H G . Ta xét F h = { } mk hhhggg ,,,, ,,, 2121 với h=h 1 , h 2 , ,h m , h j H, j=1, 2, , m. Vì G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng nên F h là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Do đó F h là nhóm Lie xạ ảnh. Giả sử V là một lân cận của đơn vị eG. Ký hiệu V h =VF h . Do F h là nhóm Lie xạ ảnh nên tồn tại ớc chuẩn R h V h sao cho h h R F là nhóm Lie xạ ảnh. ở đây ta có thể lấy V là lân cận compact của eG. Hơn thế nữa, theo kết quả của Iwasawa- Yamabe, ta có thể chọn trong G một hệ lân cận đầy đủ của đơn vị e mà mỗi lân cận V là tích trực tiếp của nhóm compact và nhóm Lie địa phơng không có nhóm con không tầm thờng. Nhờ vậy thành phần compact có thể chọn để sao cho nó là ớc chuẩn của nhóm con mở Lie xạ ảnh. Đặc biệt ta có thể giả thiết lân cận V=B V .L V , trong đó B V là ớc chuẩn compact của H, L V là nhóm Lie compact địa phơng. Ta có thể giả thiết nhóm L V là nhóm Lie địa phơng để sao cho bất kỳ nhóm con trong V đợc chứa trong B V . Thật vậy, giả sử W là lân cận của đơn vị thuộc L V sao cho W 2 L V . Ta xét tập V =B V .W. Nếu {v } là nhóm xyclic sinh bởi v V thì v =b V .w với b V B V , wW. Giả sử we. Ta ký hiệu n là số nhỏ nhất sao cho w n W. Khi đó v n =b V n . w n =b.w 0 , bB V , w 0 W. Do w n , w 0 thuộc L V nên w n =w 0 . Vì v n biểu diễn đợc một cách duy nhất nên v n =v 0 , trái với giả thiết cách chọn n. Suy ra w=e. Do đó tất cả các ớc chuẩn R V , V h thuộc B V . Ta ký hiệu R = { } h V R là nhóm tôpô sinh bởi tất cả các ớc chuẩn h V R . Suy ra RB V . Đặt R = { } 1 , ii bRb với b i B. Ta có B V là nhóm con bất biến trong B tức R thuộc B V và rõ ràng R cũng là nhóm con bất biến trong B. Vì g i . h V R . g i -1 = h V R , i= k ,1 nên g i .R. g i -1 =R, i= k,1 , mà g i . R . g i -1 =R suy ra G 0 Z G (R ). Vậy R là ớc chuẩn của G thuộc V. Ta chứng minh ' R G là nhóm luỹ linh địa phơng. Thật vậy, giả sử . F= { } ' ' 21 ., ,, R Rfff k là nhóm con hữu hạn sinh. Khi đó F { } { } ' 21 21 , ,, , ,, Rfff fff k k . Suy ra F là nhóm luỹ linh vì R f R với f=f 1 ,f 2 , ,f k và B= lim (B , , > ), trong đó B là nhóm compact Lie luỹ linh. Nh vậy ta tìm đợc một thành phần Z k của dãy tâm dới của nhóm B sao cho k Z V tức k Z B V . Rõ ràng k Z là nhóm con bất biến trong G. Do đó F :=R . k Z cũng bất biến trong G và F B V . Từ cấu trúc của F suy ra phần xoắn tôpô của ' F B là nhóm luỹ linh địa phơng, compact sinh ra của nhóm luỹ linh Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 11 ' F G . Vì G là lân cận tuỳ ý của V nên G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Định lý 6. Giả sử G là nhóm compact sinh ra, trong G có ớc chuẩn luỹ linh xạ ảnh địa phơng trù mật L. Khi đó G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Chứng minh. Giả sử M là nhóm con mở của nhóm G sao cho 0 G M là nhóm compact. Khi đó theo định lý Yamabe [6], M là nhóm luỹ linh xạ ảnh Lie. Với trờng hợp G là nhóm Lie, định lý đã đợc chứng minh trong [4]. Nếu 0 G G là nhóm compact hoàn toàn không liên thông thì định lý đúng đối với 0 G G vì 0 0 G GL trù mật trong 0 G G . Do 0 G G là compact sinh ra nên tập hợp các phần tử compact của G tạo thành nhóm compact B * . Ta có thể giả thiết rằng B * = 0 G M . Khi đó M là nhóm con bất biến trong G và M G là nhóm luỹ linh, rời rạc, hữu hạn sinh. Vì M ML trù mật trong M G nên ta có thể chọn các phần tử đại diện cho các phần tử sinh của M G thuộc L. Giả sử f 1 , f 2 , , f r L. Ký hiệu V là lân cận compact bất kỳ của đơn vị e G. Theo kết quả của Iwasawa- Yamabe [6], ta có thể chọn trong M một hệ lân cận đầy đủ của đơn vị e mà mỗi lân cận U phân tích đợc thành tích trực tiếp của nhóm compact và nhóm Lie địa phơng không chứa nhóm con không tầm thờng. Không mất tính tổng quát ta giả thiết U =V. Xét nhóm con hữu hạn sinh, compact sinh ra { } tr hhhfff , ,,,, ,, 2121 với h i L. Lý luận tơng tự cách chứng minh định lý 5, trong V có ớc chuẩn H V của nhóm G sao cho V V H HL. là nhóm luỹ linh địa phơng. Bằng cách thơng hoá k Z G với k Z là thành phần của dãy tâm dới của M đợc chứa trong G, ta có thể giả thiết M là nhóm luỹ linh. Khi đó V H G là nhóm luỹ linh địa phơng vì nó là nhóm sinh bởi ớc chuẩn luỹ linh địa phơng V V H HL . và V V H HM . . Suy ra V H G là nhóm luỹ linh. Vậy G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Định lý 7. Giả sử H là ớc chuẩn luỹ linh xạ ảnh địa phơng của nhóm tôpô G. Khi đó H là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Chứng minh. Bất kỳ một nhóm con hữu hạn sinh nào của H cũng đợc chứa trong một nhóm con mở compact sinh ra D của G, mà HD là nhóm con bất biến trù mật trong D. Do đó theo định lý 6 ta có D là nhóm luỹ linh xạ ảnh. Vậy H là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 3A-2007 12 TàI liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Ngọc Diệp, Một số tính chất của nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh, Tạp chí khoa học, Trờng Đại học Vinh, Tập XXXIII, Số 4A (2004), 5-10. [2] B. M. , a mm a m n, k , , 4 (1955), 291- 332. [3] B. . , m mx , C. Ma., VII, N 0 4 (1966), 854- 877. [4] B. . , m PI- x mx x, OK. AH CCCP, 161 N 0 2 (1965), 288- 271. [5] H. Yamabe, On conjecture of Iwasawa and Gleason, Ann of Math., 58, N 0 1 (1953), 48- 54. [6] H. Yamabe, A generalization of a theorem of Gleason, Ann of Math., 58, N 0 2 (1953) 351-365. Summary Topological locally projective nilpotent groups In this paper we proved that the set of compact elements of a topological locally projective nilpotent group is a normal subgroup; give sufficient conditions such that a topological locally projective nilpotent group is a topological locally nilpotent group or a topological projective nilpotent group; also present conjugacy of maximum twisting abstract subgroups of a topological locally projectively nilpotent group. (a) cao học 13 đại số, trờng đại học vinh. . của G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh. Mỗi nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh là một nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng. Vì vậy lớp nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng rộng. nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng lập thành một ớc chuẩn; đa ra điều kiện đủ để một nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng, nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh; đồng thời nghiên. là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh nên e H là nhóm tôpô luỹ linh hay H là nhóm tôpô luỹ linh. Vậy G là nhóm tôpô luỹ linh địa phơng. Định lý 4. Giả sử G là nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phơng,