Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số

Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số

2.5 Kĩ thuật đổi biến trong việc áp dụng bất đẳng thức kinh điển

 Nhận xét :Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh

hoặc khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn bằng kĩ năng đổi biến để có thể áp dụng được các bất đẳng thức kinh điển dễ dàng hơn

Ví dụ1:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng

2 1 2 1 2 1 9

a  bc b  ac c  ab (1)

Giải: Đặt x = a2 2 bc ; y = 2 2b  ac ; z = c2 2ab

 Ta có xyzabc2 1

(1)  11 19

z y

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xyz3.3 xyz, và:   

z y x

1 1 1

3.3 1

xyz

   1 1 19



















z y x z y

x Mà x+y+z < 1 Vậy 111 9

z y

2

a b b c c a        a b c , ,  0 (BĐT Nesbit)

Giải

0

0

b c x

a b z













  

  

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

        

 

Dấu “ = ” xảy ra  x = y = z  a = b = c

b c a c a b a b c           

Giải

0

0

b c a x

a b c z













   

   

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

      

x y z

Côsi yz zx zx xy yz xy x y z

x y  y z  x z   



Ví dụ 4 Cho  ABC CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c )  abc (1)

Giải

0

0

b c a x

a b c z













   

   

Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau :

x y y z z x

Áp dụng BĐT Côsi, ta có : x

x y y z z x    xy yz z xyz

Ví dụ 5 Cho  ABC CMR:

p a p b p c

p a   p b   p c      (1)

Giải

Đặt :

0 0 0

p a x

p b y

p c z











  

  

  

, (1)  12 12 12 x y z

xyz

x  y  z    (2)

Ta có:

VT (2) = 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2. 2 2. 2 2. 2

x

x y z

 

Dấu “ = ” xảy ra  x = y = z  a = b = c   ABC đều

Ví dụ 6 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab bc ca  abc.

Chứng minh BĐT:

2 2 2 2 2 2

3

S

Giải:

Đặt x1,y1 ,z1thì điều kiện trở thành: x y z 1 và ta có :

2 2 2 2 2 2

S  x  y  y  z  z  x  Theo BĐT Buniacovski ta có:

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

Dấu bằng xảy ra khi 1

3

x y  z hay a   b c 3.

Ví dụ 7 Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1 Chứng minh BĐT:

3 1 3 1 3 1 3

S

Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc=1 và BĐT trở thành:

3 2

S

Áp dụng BĐT (5) ta có:

2

S

a b c

 

Dấu bằng xảy ra khi a b c    1 hay x    y z 1.

Ví dụ 8 Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 1

x  y  z 

Chứng minh BĐT:

x yz  y xz  z yx  xyz  x  y  z

Giải:

Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: a b c   1 và BĐT trở thành:

a bc  b ac  c ab  1 ab  bc  ca

Ta có:

a bc  a a b c(   )bc  a2 2a bc bc  (a bc)2  a bc

Tương tự ta cũng có:

b ac b ac

  

  

Cộng các BĐT này lại ta sẽ được đpcm

Dấu bằng xảy ra khi 1

3

a   b c hay x y  z 3

Ví dụ 9 Cho abc 1.Chứng minh rằng:

3

1

2 2 2





b c

Giải:

Đặt a  x b y c z

3

1

; 3

1

; 3

1

Do abc1 xyz0

3

1 ( ) 3

1 ( ) 3

1 (     





a

3

1 3

1

) (

3

2 3 1

2 2 2

2 2 2

























z y x

z y x z y x

Dấu " = " xảy ra

3

1

0   







 x y z a b c

Ví dụ 10 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.















c b

a c

b a

c b

a

Giải:

Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c

Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0

2

; 2

; 2

y x c z x b z y

Vậy b c a a c a b b a c b c y2x z z2y x x2z y









































( 2) ( 2) ( 2) 6

2

1

x

z z

x y

z z

y x

y y x

3 6 2

1 ) ( ) ( ) ( 6 2



























zx

x z yz

z y xy

y

Bài tập:

Bài tập 1 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh:

2

2 x y 2 z 1 1 1

x y  y z z x x  y z

Lời giải :

+Đặt a x 0;b y 0;c z 0

+VT= 62 4 62 4 62 4 23 2 23 2 23 2 2 21 2 21 2 21

a b b c c a  a b  b c  c a a b b c c a

(Theo BĐT CôSi)

+VP= 14 14 14 2 21 2 21 2 21

a b c a b b c c a

(Áp dụng BĐT CôSi cho từng cặp)

ĐPCM Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1

Bài tập 2: Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng

1 1 1

1

x y  y z  z x  

Lời giải :

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-abab

a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0



3 3

a  b 1 ab a b c  

Tương tự ta cú

3 3  

c 1 bc a b c

b      ,

3 3

a 1 ca a b c

Cộng theo vế ta có

x y   y z   z x  = 3 13

a  b  1+ 3 13

c 1

b   + 3 13

a 1

c  



a b c ab bc ca

 

1

1

a b c  c a b   (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Bài tập 3 :Cho x, y, z > 0 t/m đk :xyz = 1 Tỡm min của biểu thức sau :

E

x y z y x z z x y

Lời giải:

Đặt

a ; b ;c abc 1

x y c(a b); y z a(b c); z x b(a c)

E

b c a c a b

         

Dễ dàng CM đợc : a b c 3

b  ca  ca  b 2

Nhân 2 vế với a + b +c  0

 