Bài toán kiểm tra và thiết kế tối ưu của hệ đàn hồi dẻo

Bài toán kiểm tra và thiết kế tối ưu của hệ đàn hồi dẻo

Trang 1

+ 46ot

HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP ¥NG DAI HOC TONG AGP HA-NOI

NGUYEN VAN PHO

BAI TOAN KIEM TRA VA THIET KE

TOI UU CUA HE DAN HOI—DEO

Luận án Phĩ tiến sĩ Tốn Ly

(tĩm tắt nội dung)

củi L 460

Ngành chuyén mén:

Trang 2

Luận án hồn thành tại bộ mơn Co học, khoa Toản,

trường Đại học Tồng hợp Hà nội, Cơ quan phần biện:

Người phần biện thử nhất: ` ˆ

Người phần biện thử hai :

Ban tám tắt được gửi đi ngày thing năm 1929:

Luận ¿n được bảo bệ trước hội đồng chấm luận an Nhà nước

Thời gian:

Địa điềm :

Ý kiến nhận xêi gửi đến: Phịng Nghiên cửa khoa học

trường Đại học Tồng hợp Hà nội Lnận ản lưu tiữu tại: Thư 0iện trường Đại học

Trang 3

MỞ ĐẦU

Án tồn và tiết kiệm là hai vấn đề lớn đã được các nhà cơ học quan tâm nghiên cứu từ lâu, cho đến nay đã đạt được nhiều kết quả quan trọng

Nhằm thực hiện nghị quyết Đại hội Đẳng Cơng sẵn

Việt nam lần thứ tư, hội nghị cơ học tồn quốc lần thứ

hai (2-1977) đã quyết định chọn tư tưởng tối ưu hĩa

làm một trong những tư tưởng chủ đạo của cơng tac nghiên cứu và ứng đụng cơ học nưởc tfa trong thoi gian tới,

Với sự xuất hiện máy tinh điện tử và sự hồn thiện

các thuật tốn tối ưu hĩa nĩi chung và quy hoạch tốn

học nĩi riêng, cho phép ta giải các bài tốn tối ưu cĩ ý

nghĩa thực tiễn lớn lao,

Ngày nay vấn đề tối ưu khơng cịn là vấn đề lý

thuyết mà cĩ ý nghĩa kinh tế rõ rệt Theo thống kê các số liệu ở Liên xơ M I Râytman đã đưa ra kết luận :

« Khi thiết kế các kết cấu bètơng cốt thép đơn

giản như đầm thì độ lệch trung bình từ thiết kế tối ưu

là 5 — 7% ; đối với kết cấu phức tạp hơn như đầm cĩ

ứng suất trước thì độ lậch trung bình là 10 — 12% ; đối

với dàn và tấm, đặc biệt là vơ thì độ lệch trung bình

cĩ thể lên tới 30 — 40% [15]

Mặt khác, an tồn và tối ưu khịng chi la vin đề kinh tế đơn thuần, mà cĩ tầm quan trọng đặc biệt trong

Trang 4

Trong những năm gần đây, số cơng trình nghiên cứu về bài tốn kiểm tra và thiết kế tối ưu ngày càng - tíng Song cịn nhiều vấn đề lồn tại trong cách đặt bài tốn, phượng pháp giải và ứng dụng vào céngtac thiết kế

Trong luận văn này chủng tịi nhằm nghiên cứu một số vấn đề tồn tại đĩ

Những vấn đề chủng tơi nghiên cứu tập trung vào

hai loại bài tốn, bài tốn kiềm tra và thiết kế tối ưu của hệ đàn-dẻo lý tưởng

— Bài tốn kiém tra:

Hệ đã cho, hãy tìm các tổ hợp tải trọng đơn giản

khác nhau lắc dụng lên hệ, sao cho với các tổ hợp đĩ bệ khơng bị phá hoại đểo, hoặc lìm các tơ hợp khác

nhau của tải trọng phức tạp (kề cả tải trọng chu trinh

và nhiệt đệ khơng dừng), mà hệ thích ứng (thích nghị)

Do đỏ, giải bài tốn kiểm tra là tìm miền rộng nhất

trong khơng gian tải trọng, sao cho bệ an tồn hoặc

' thích ứng đối với mọi điểm thuộc miền đỏ

— Bài tốn thiết kế :

Cho trước các tơ hợp tải trọng cĩ thê tác dụng lên

hệ, hãy tìm kích thước, cấu tạo của hệ, sao cho hệ khơng bị phá hoại dễo đơn giản boặc thích ứng đối với các tơ hợp tải trọng đã cho, đồng thời phiếm hàm mục tiêu

đạt cực trị

Đặt các bài tốn như trên, rộng hơn cách đặt bai

tốn của các tác giả trước đây [17 — 20, 30]

Cơ sở lý luận cơ học đề giải các bài tốn trên là

các định lý về lý thuyết cân bằng giới hạn; định lý tĩnh

về sự thích ứng của E, Melan ; định lý E Melan mở rộng

Trang 5

Cơng cụ tốn học đề giải các bái tốn trên là quy hoạchtuyếntính, quy hoạch tham số và quy Hoachphituyến

-

Phương pháp nghiên cứu là trên cơ sở lý luận cơ `

học, lập các bài tốn cực trị tương ứng, đưa các bài

tốn đĩ về đạng đơn giản nhất đề cĩ thể giải bằng các

thuật tốn thơng thường của quy hoạch tốn học Giải

một số thí dụ bằng số đề minh họa và so sánh Chương

cuối của luận văn nêu mội số vấn đề cĩ thể ứng dụng

trực tiếp các kết quả thu được ở bai chương trên vào cơng tác thiết kế

Các bài tốn cực trị được thành lập là những bài

tốn quy hoạch trong khơng gian hàm, nĩi chung chỉ

cĩ thể tìm nghiệm gần đúng Do đĩ, vấu đề sai số và én định nghiệm cần được nghiên cứn Dựa theo cáo

định lý và quan niệm về sai số và ồn định của phương an tdi wu trong lý thuyết quy hoạch, luận văn cũng đã đề nghị cách giải quyết các vấn đề đĩ,

Phần lớn nội dung của luận văn đã được đăng trong các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] Luận văn gồm phần mở đầu va ba chương Phần mở đầu trình bày tơng quan về tình hình nghiên cửu và ứng dụng bài tốn kiêm tra và thiết kế tối ưu của

hệ dan hồi — dẻo trong và ngồi nước, qua đỏ xác định vị trí những vấn đề luận văn nghiên cứu

Chương L trình bày các kết quả thu được về bài

tốn kiềm tra và thiết kế tối ưu của hệ đàn-đẻo chịu

tác dụng tải trọng đơn giản (tăng tỷ lệ với một tham số)

Chương II, trình bày các kết quả thu được về bài

tốn kiêm tra và thiết kế tối ưu của hệ đàn-đẻo chịn tác dụng tải trọng phức tạp

Trang 6

CHUONG I

_ BAI TOAN KIEM TRA VÀ THIẾT KẾ TỔI ƯU THEO TRANG THAI GIOL HAN

Để tìm tải trọng giới hạn, người ta dựa vào cáo

định lý tĩnh và động của lý thuyết cân bằng giới hạn đề tim cận dưới và can trên, nếu các cận đỏ tring nhau thì ta tìm được giá trị đúng Đối với các bài tốn phức tạp nĩi chung cận đưởi và cận trên xa nhau Vì vậy,

người la đặt vấn đề lim một cận lrên nhỏ nhất hoặc

một cận dưới lớn nhất, với những giả thiết nhất định, Đối với hệ liên tục, lần đầu tiền, năm 1965 Koop-

man D.C., Lanee R.H [Í7] dùng quy hoạch tuyến tính

đề tìm tải trọng giới hạn của bản Sau đĩ, cĩ cáo cơng trình của A H Rjanitsưn [18], M.I Râytman [19], A A

Tchiras [20] vv , ứng đụng quy hoạch tốn học vào bài

tốn kiềm tra và thiết kế tối ưu của hệ dan-déo

Tãi cả các cơng trình trên đền nhằm tìm một cận

đưới hay cận trên tốt nhất ứng với một tơ hợp tải trọng- xác định, Song khi kiêm tra khả năng chịu lực của cáo

hệ, người la cần biết giả trị đúng (kkơng phải là cận) của mọi tơ hợp tải trọng khác nhau (khơng phải một tơ

hợp) táo dụng lên hệ mà hệ khơng bị phá hoại đẻo

Vi vậy, cĩ hai vấn đề tồn tại được đặc ra đối vời bài lốn kiềm tra,

Một là: tim gia iri dung cia tai trọng giời hạn, nếu

cĩ phạm sai số là do phương pháp giải, chứ khơng phải do cách đặt bài tốn

Trang 7

Theo một nghĩa nào đĩ, bài tốn thiết kế là bài tốn

ngược của bài tốn kiềm lIra Cho nên các vấn đề lồn tại của bài tốn kiềm tra cũng là những vấn đề tồn tại _

của bài tốn thiết kế ‘

Trong cdc tiét §8 — §13 cha chuong I, ching tơi đã thành lập và đề nghị cách giải bài tốn thiết kế lối ưu

đối với một tập hợp các Lồ hợp lãi trọng táo đụng lên hệ

Trong các tiết §14, §1ã chúng tơi trình bày phương pháp đánh giá sai số và xél tỉnh ồn định nghiệm bài

tốn kiểm tra

Các kết quả cụ thề thu được ở chương Ï là:

1 — Bài tốn kiềm lra theo trạng thái giới hạn của

Trang 8

ây là tham số tÃi trọng biển thiên xác định nào đĩ Ấn của bài tốn là tương ứng suất suy rộng Q(x) va tham

~ 38 Ay oO

A là tốn tử vi phân cân bằng tĩnh

V là miền hệ chiếm trong khơng gian x | Xu Xe, xạ]

S, la phan mat ngoai chiu lac dung của ngoại lực V, 1A mién thnéc V, mà tại đĩ khi lực ngồi đặt giá

tri toi han thl ứng xuất gián đoạn, vi trí của Vụ

chưa biết trước

E là toản lử điều kiện cân bằng của các điềm

trên Vy NĐlà tốn tử điều kiện cân bằng của các điểm trên biên tác dụng ngoại lực S,

%ạu là tham số tải trọng xác định A, là tham số tải trọng biến thiên

e„ là thành phần tải trọng co sở chọn trước

f(Q) =C Ia điền kiện dẻo

Đề đơn giản, tử nay về sau ta viết gộp hai điều

kiện (1) và (2) trong Ý và trên Ý, là

LQ =0 Vx EV, ¢5,

Tiết § 5— 1 của luận văn đã chứng minh được rằng

việc chọn tham số À¿., làm hàm mục tiêu là tùy ý, khi

thay đồi vai trị của cáo tham số tải trọng thì kết quả

vẫn trùng nhan, -

2 — Bài tốn kiềm tra theo trạng thái giới hạn của

hệ chịu tác dụng tải trọng đi động

Theo quan niệm của cơ học kết cấu, với những giả

thiết nhất định tải trọng chuyển động cĩ thể coi như

Trang 9

số điềm rời rạc trên đường đặt tải [21] Vì vậy, từ bài

.tồn () đối với tải trọng cố định cĩ thê suy ra bài đốn vời tải trọng di động i ¡ Gọi SỈ = 1,2 p) là phần mặt S chịu tác dụng đồng thời của cáo tải trọng rời rạc Ta cĩ bài tốn: 1 Ay, —> max Với các điều kiện: LOW =0 Wee V,¢S NOO) =f (hoe + Ay) ex JO Wee SM (i) P fŒQO)<GVãeVW @=13 p) My, <0 — VAy(Œ + Ù là tham số Akg — min Với các điều kiện: L0 = 0vxe V, £ sỐ NGO = fOn tej Wes, GO) <6 VRE V G=L 2p) hy <0, Vay (kf k,) là tham số 3 — Bài tốn kiềm tra theo trạng thái giới bạn của hệ tổ hợp Xét trường hợp bệ gồm một số hữu hạn

phần tử, mỗi phần tử được cấu lạo bởi một loại vật liệu đếo khác nhau, Từ bài tốn () ta suy ra:

Trang 10

{ Ay, => max ° Với các điều kiện : LỊ =0 VxeV,,¿ số — j NỏĨ = | Ack + And ex 1°) Vee sẽ |Ì s89 <c VY, 0= 1.3.0 An, 2 9, VA, (k &k,) là tham số ø ol rem ——- qm ay, —> min Với các điều kiện : L600 =0, ve Vi sẽ NGO = fue + ay) ej Wee sf ft()<œG ve V Ang <0, Way (x 6 k,) 1a tham sé Chỉ số «j » ứng với phần tử «j» 4 Xấp xÏ trường ứng suất

Một đặc điềm quan trọng của bài tốn trạng thái -giới hạn là khi tải trọng đặt giá trị tới hạn thì trường

ứng suất tỉnh cho phép tương ứng cĩ thể gián đoạn

[22], song gián đoạn ở đâu thì chưa biết trước, nếu

coi ửng suất liên tục như các cơng trình trước đây [ †7, 30, ] thi chi tìm được cận đưới của tải trọng giới hạn

Bé phan anh được đặc điểm nĩi trên, chủng tơi đề nghị dùng một trong hai mỏ hình xấp xỉ trường ứng

suất sau :

Trang 11

a) Mị hình phần tử ứng suất thuần nhất (đều)

Chia V thành một số hữu hạn phần tử, cọi gần đúng các điểm trong của mỗi phần tử, coi gần đúng các đặc điềm trong của mỗi phần tử cĩ trạng thải ứng

suất như nhau Như vậy điều kiện cân bằng của các điềm trong của các điểm trên biên (lát cắt tương đương),

Từ đĩ suy ra quan hệ giữa các ứng lực trên biên giữa các phần tử Trong mỗi phần tử (ta chọn một hệ tọa độ

xác định nào đĩ, chọn ửng suất đặc trưng cho phần tử

đối với hệ tọa độ đã chọn, biểư diễn ứng suất trên biên

qua ứng suất đặc trưng Trong mỗi phần tử, điều kiện déo chỉ cần thỏa mãn đối với ứng suất đặc trưng Mị hình xấp xỉ này đã được đề cập đến trong [22], song chi cho trường hợp riêng đơn giản cĩ

b) Mơ hình phần tử cửng hay dan hồi

Chia V thành một số hữu hạn phần tử, các điềm

trong của mỗi phần tử coi gần đúng là luơn luơn ở trang thai cứng hay đàn hồi tuyệt đối và vơ hạn, chảy dẻo chỉ cĩ thể xảy ra trên biên giữa các phần tử

Trên một lát cắt giữa hai phần tứ, cĩ hai hệ ứng

suất ứng với hai phần tử kề nhau

Trong mơ hình này điều kiện cân bằng khơng chỉ lập cho các điểm trên biên mà cịn cho từng phần tử,

cịn điều kiện dẻo thì chỉ cần thơa mẩn đồi với các

điềm trên biên Trên mỗi biên chỉ là một lát cắt, ứng suất trên đĩ khơng thể đặc trưng cho trạng thái ứng

suất tại một điềm, để thỏa mãn điều kiện dẻo ta liễn

hành như sau: /

Tại mỗi điềm nut, ta cé ứng suất trên các mặt (đường) tử các ứng suất đĩ chuyển chúng về một hệ

Trang 12

Trường hợp riêng, khi VÀ; = 0 thì các bài tốn trên trở thành bài tốn tìm một tỔ hợp tải trọng cực

đại tác dụng lên bệ, mà hệ khơng bị phá hoại đếo¿ như

Koopman D.C [17 | và M Fraini [ 30 ] đã xét

Luận văn đã giải ba thi dụ bằng số : bản vuơng cĩ lát cắt ở giữa song song với cạnh, chịu kéo đều theo bai phía đối diện ; bản trịn tựa bản lề chịu tải trọng phân bố đều ; bản vành biên trong tự do, biên ngồi tựa bản

lề, chịu kéo và nén đều Kết quả thu được trùng với

kết quả tính theo các phương pháp khác

6 Bài tốn thiết kế tối ưu theo trạng thái giới hạn: Gọi G là miền tải trọng mà hệ cĩ thể phải chịu đựng Các điềm cựa biên của bao lõi biên tuyến tính từng khúc của G là Pị, Pạ, , Pạ Ta coi hệ phải chịu tác dụng của h tải trọng khơng đồng thời P¡ =1, 2, , h)

Hàm mục tiêu của bài tốn thiết kế

1= [PG av,

Trang 13

7 Phương pháp giải bài tốn thiết kế tối ưu théo

trạng thái giới hạn :

a) Trường hợp miền tải trọng cho trước cĩ một

điềm cực biên (khơng kế gốc)

"Nếu điều kién déo trơn (chẳng hạn điền kiện

Misès), và từ điều kiện f = C(z) ta suy ra, chẳng han

z„=(; Q2

Thay r¡ vào hàm mục tiêu ta cĩ I= f ®(z;, Q;) av

(v)

Như vậy ta đã loại được ràng buộc phi tuyển, bài

tốn thiết kế tối: ưu trở thành bài tốn quy hoạch phi tuyến dang dang đơn giản nhất : >®;(xj) A; => mỉn i với các điều kiện Sai, Xi=b, Œ@ =1, 2.) j

— Nếu điều kiện déo khong tron (chẳng hạn điều kién Trésca) Ta dat cơ) ==X„¿, Và giả sử rằng F= = F(„,p), thì bài lốn thiết kế cũng đưa về dạng trên b) Trường hợp miền tải trọng cho trước cĩ lớn

hơn một điềm cực biên (Khơng kề gốc)

Điều kiện déo ứng với các điểm cực biên của miền tải trọng là :

rc) _>

f(Q )<(CŒ@) (k= 1,2 ,p)

Khi đặt CŒ) = Q„ với những giả thiết trong tự

như trên ta cĩ bài tốn: *

Trang 14

by On dinh và sai số nghiệm của bài tốn quy hoạch tuyến tỉnh và ứng dụng

Gọi Xoo Y, la ngbiém cia bai tốn gốc và bài tốn đối ngẫu, Các hệ số tị, bị c¡ nhận các gia số tương ứng, ơa,; ơb;, ơe;, thì nghiệm của bài tốn xuất phát và bài tốn đối ngẫu là

X, = X, + 6X, Y¥, = Y, +: 6Y

Dinh nghĩa : Nhiệm Ä, Y, được gọi là ồn định, khi các hệ số a¡¡, bị, €; biển thiên tùy ý trong miền xác

định: nào đĩ, nếu cơ sở tối ưu của bài tốn trực tiếp và bài tốn đối ngẫu trước và sau khi «kích dong»

được thành lập trén cing mét bé véc to co sé (hé

véotơ cùng chỉ số)

Trang 15

ch Ơy; + zy? baj; > 6c; + C5 — Sân y? ic ie ic << ` Y, 4 PT G@= 1,2 ny n) m m chiêu yi + Ye ba, = de; Vj in i= G = hh + 1, , n) ơi ^0 Wer yi>— y} ViGT G = 1,2, , m1 < m)

Trong đĩ c¡ là hệ số của hàm mục tiêu; a;; là hệ số của

ma trận điều kiện; b; là hệ số tự đo ; mạ là số điều kiện

dạng bất đẳng thức ; m — m; là số điều kiện dang đẳng

thức Các biến phân ða;;, ðb; ơc; là đủ nhỏ, nên đã bd

qua các số.hạng bậc hai của cáo biến phân, X„, Yạ coi như đã biết Luận văn đã đề nghị phương pháp giải bài tốn ồn định theo điều kiện nêu trên và xét một

thi du dé minh hoa a,

luận văn cũng đã áp dụng các kết quả trên vào

xét ơn định và đánh giá sai số nghiệm bài tốn kiềm tra

CHUONG II

BAL TOAN KIEM TRA VA THIET KE TOI UU THEO TRANG THAI THICH UNG

Năm 1938, E Melan đã chứng mình định lý tĩnh sự thích ứng của hệ đàn-dẻo lý tưởng ba chiều với tải trọng tựa tĩnh [ 16] Năm 1957 B Prager đã tổng quát

hĩa định lý E Melan cho trường hợp hệ đồng thời chịu

tac dung của nhiệt độ và tải trọng [27] Theo các định

Trang 16

lý đĩ đề xác định miền thích ứng gặp nhiền khĩ khăm,

Năm 1958, V.I Rodenblum [ 28 | đưa ra phương pháp

tìm “miền thích ứng bằng lý thuyết bao hình, song phương pháp d6 cịn cĩ nhiều hạn chế [3I-

Gần đây A A Tchiras [ 20 ] đã ứng đụng quy hoạch

tốn học vào một loại cơng trình nghiên cứu về bài toản

thích ứng, song chỉ mỏi đừng lại ở việc thành lập bài

tốn, mà chưa nêu cách giải

Trong các cơng trình kể-trên, đền nhằm xét bài

tốn cho một lớp tải trọng xáe định Ở đây chúng tơi

đặt vấn đề tìm một miền, mà tải trọng tựa tĩnh biến

thiên tùy ý thuộc miền đĩ thì hệ thích ứng (nhiệt độ được coi là trường hợp riêng của tai trọng)

Theo định lý E.Melan, điều kiện đề hệ thích ứng

trên miền tải trọng G là

ae(xs) YE€G(@)

eG) là trường ứng suất dư khơng phụ thuộc thời

gian P(t) la tai trong

Điều kiện („) quá chặt chẽ, một kết quả khác là luận văn đã chứng minh định lý gọi là định lý E,Melan mở rộng, trong đỏ điều kiện („) thay bởi điền kiện nhẹ hơn,

cĩ lính chất địa phương Nhờ đĩ, tìm được miền thích rộng hơn, trong khi định nghĩa về sự thích ứng vẫn

như cũ Trên cơ sở định lý E Melan mở rộng, luận văn đã nêu cách giải bài tốn thích ửng

Đề minh họa cho các kết quả trên, luận văn đã

Trang 17

Bài tốn thiết kế tối ưu theo trạng thải thích ứng

từ trước tởi nay ít được nghiên cứu, luận văn cũng đã xét một số trường hợp riêng của bài tốn này ^

Các kết quả cụ thê thu được trong chương II là: 1 — Bài tốn thích ứng trên cơ sở định lý E Melan Khơng mất tính chất tổng quát, gọi kụ, kạ là các trọng số khơng âm của phương A„, qn là ứng suất đàn

hồi ứng với tải trọng co sé ey

Bước I: Giải bài tốn Ay —> max Với các điều kiện Lp=0 VxcV,ứ§ _> —> Na=0 VWxeS, => flat Qatkhaqgl<G VxeV —> —>

flo; + (Qa — keh) a] <C Wee V

Ay > 0; py (x) va A, 14 An cia bai toan

Giải bai tốn trên ta thu được

ky (a)max = AF 5 By (Ar)max = À, và trường ứng suất dư

tương tng pF (x)

Bước II: Giải bài tốn

Às¿ —> mâX

Với các điều kiện

HP+ Ero + I< C VEEV

he > 0, VA, (x = 2) 1A tham số,

—— +

Trang 18

ị À; -> min “Với các điều kiện

fA +E Con + ha) Gel < <C VeeV

de <0, VA, (k + 2) 1A tham 86,

_ +

ASA Sy

2 Bài tốn thích ứng khi bệ đồng thời chịu tác

dụng của tải trọng và trường nhiệt khơng dừng

Trong bài tốn này coi quy luật phân bố nhiệt đã

biét Theo V.1 Rodenblum [ 28 ], chẳng hạn chọn quy luật phân bố nhiệt là: 0 G0 = K@) + H@) S@) thì ứng suất đàn hồi đo nhiệt gây ra là = K(t) $+ H(t) S°@œ) ứng suất tổng cộng là + _> 6 =ptg +2 Qou + hd Ge

trong đĩ H(Đ và K() là hàm đã biết của thời gian

t, S\(), Š”(x) là các hàm đã biết của X khi đã biết

quy luật phản bố nhiệt 0q, †), ta tìm miền biến thiên

lớn nhất của K() và HŒ), nghĩa là coi chúng là cáo tham số tải trọng |

Trang 19

3 Định lý E: Melan mổ rộng

'a) Định lý E, Melan mổ rộng dang I: `

Hệ đàn-dảo lý tưởng chịu tác đụng của tải trọng và nhiệt độ biến Lhiên theo quy luật tùy ý (tựa tinh)

trên G, là thich ứng trên G, nến tại mỗi điềm bất kỳ

P, € G tồn tại một lân cận AP* của P* và tồn tại một trường ứng suất dư khơng phụ thuộc thời gian

p

Pom (x), sáo cho tổng trường ứng suất dư đĩ với trường ứng suất đản hồi lý tưởng ứng với mọi điềm P€ AP*

là an tồn VX € V

Hệ khơng thích ứng lrên G, nếu ít ra cĩ mội điền P*€ G nào đĩ khơng tưn tại lân cận AP* hoặc khơng

tồn tại trường ứng suất dư p_ (x), sao cho tồng trường

P*

ứng suất đư đĩ với trường ứng suất đàn hồi lý tưởng

VP € AP* là cho phép

b) Định lý E Melan-mở rộng đạng l1:

Hệ đàn-dẻo lý tưởng chịu tác dụng của tải trọng

và nhiệt độ biến thiên theo quy luật tùy ý (tựa tĩnh)

trên G, là thích ứng trên G, nếu trên mỗi miền con G¡, tồn tại một trường ứng suất dư khơng phụ thuộc thời gian 2Q) sao cho tơng trưởng ứng suất dự đĩ với

trường ,ứng suất đàn hồi lý tưởng Vp € Gi là an tồn

w <vYV

Hệ khơng thích ứng tr ên G, nếu ít ra cỏ một miền

con G¡ nào đĩ, khơng tồn tại trường ứng suất dư khơng phụ thuộc thời gian; đề tơng trường ứng suấi dư đỏ với

trường ứng suất đàn hồi lý tưởng YP € G¡ là cho phép

VxcV,

Trang 20

Ghi chủ: Trên đây ta đã coi G được chia thành

một số hữu hạn miền con G¡ đĩng, liên thơng, lớn hơn

mê? điểm

Thật ra, cĩ thể phát biểu hai đạng trên vào một

định lý chung, song phát biểu riêng dang hai dé dé wng

dụng hơn

©) Hệ quả : Miễn thích ứng theo định lý E Melan mở rộng là miền lồi trong khơng gian tải trọng

4 — Bài tốn thích ứng trên cơ sở định lý E Melan

m6 rong:

Tìm miền thích ứng trên eơ sở định lý E, Melan mở

rộng bằng cách tìm cận đưởi, cận trên và cách khai

triền từ cân đưới đần về cận trên

a) Bài tốn tìm cận trên : Ay, -» max Voi các điều kiện Ip=0 WeEV, ES Np =0 Vx eS, f[Z+ 2 Outed al<c Veev hy, 0, VÀ, Œ =ˆ i) 18 tham số ay — min Với các điều kiện

|| Ip=0 Ve eV, ES,

| No =0 VxeS,

) 11+ 2 Ou+ GIS C VEE

Trang 21

Trong đĩ ø và A, là An của bài tốn Dễ đàng chứng

minh cận trên là miền lồi x

b) Bài tốn tìm cận dưới của miền thích ứng :

Chọn cận dưới là miền thích ứng trên cơ sở định

lý E.Melan (đã trình bảy ở trên)

e©) Bài tốn thác triền từ cận dưởi đần về cận trên

Cĩ thể thác triển theo hướng bất kỳ, chẳng hạn theo hướng Aj , Goi bién cha cAn dudi trén huéng A, 1a ae Bai toan thac trién là Ay — max Voi cac diéu kién Ip=0 WxeV, €5, Nop =0 Vee Sp fle + 5 (Ax +) gi <G Về V ‡ > om

| f{pt ari t ada} <ec

LL WREeV VA, (k#1) là tham số

Tiếp Lục thác triển tương tự trên mọi phương, dấu hiệu

đừng lại là bài tốn tháo triền chỉ cĩ một phương án

duy nhất,

5 — Phương pháp giải bài tốn thích ứng

Khi nghiên cứu bài tốn thích ứng người ta coi

ứng suất đàn hồi đã biết,

Ta xấp xỉ trường ứng suất dư p(x) bằng một mơ

hình gần đúng đúng nào đĩ Như vậy điều kiện cân

Trang 22

tỉnh thuần nhất Nếu điều kiện dẻo la tuyến tính từng

khúc, thì nĩ được biểu diễn đưởi đạng một hệ bất đẳng thứ? bậc nhất đối với pị Và À„ Do đỏ, bài tốn thích ứng trở thành bài tốn quy hoạch tham số tuyến tính: Thuật tốn giải cáo bài tốn đĩ đã được trình bày tỷ mỹ irong cáo tài liệu {23,.24] `

Trường hợp khả năng tính tốn khơng cho phép, ta dàng phương pháp giảm An (như vậy chỉ tìm được

cận dưới)

Chẳng hạn, trường hợp hai tham số tải trọng, ứng suất đàn hồi là

—> x —>

Cor + Anda + (Aon + Aa) da

Giả sử la chọn được một trường ứng suất du khơng _—> >

:

phụ thuộc thời gian p, tht ap cững là một trường ứng

suất đư, a là tham số chưa xác định

Trường ứng suất tổng cộng là

— (1) (2)

y= (hon + ay) đụ + (Aggy + Ay) Gj + a0,

Lập lại bài tốn thích ứng tương tự như trên, ần của

bài tốn là À¡ và a, cịn ^¿ là tham số Trường hợp nhiều

chiều ta cũng tiến hành hồn tồn tương tự

ĐỀ minh họa và so sánh, luận văn đã xét hai thí

dụ bằng số: kéo và xoắn đồng thời của trịn; đĩa quay

chịu tác dụng của trường nhiệt độ khơng dừng

6 — Bài iốn thiết kế tối ưu theo trạng thái thích

ứng: :

Cũng tương tự như bài tốn thiết kế tối ưu theo trạng lhái giới hạn Bài tốn thiết kế thích ung là

T= {Fa dV > min

Trang 23

Với các điều kiện Lo) -0 VX<€V, é Sử) ` NZ?=0 Wee s? fe + L3 (Agx + Ax) «py <c —> Vx€<Y f()y<(CG WerEeV G=1,2 p) ong ta PW) „ ,

trong đỏ p` ˆ ( = I, 2, p) là ứng suất dư ứng với

các điểm crre biên của miền tải trọng G

7 Phương pháp giải bài tốn thiết kế tối ưu theo

trạng thải thích ứng

Giải bài toản thiết kế tối ưu theo trạng thích ứng

gặp nhiều khĩ khăn vì ứng xuất đàn hồi px phụ thuộc tham số thiết kế z Vi vậy sau đây chúng tơi chỉ xét một số trường hợp riêng a) Trường hợp miền thích ứng cĩ mội điềm cực biên (khơng kể gốc) — Nếu là điều kiện dếo trơn, tt đẳng thức => ~~ => ~ f le -+È 35(Aœ + And qụ (X, z)] = ¢, và cĩ thể suy ra, chẳng hạn —> —> T = p(t, 9)

Khi các tham số thiết kế khơng chứa trong điều kiện

cân bằng, thay z¡ vào hàm mục tiêu ta cĩ bài tồn

Trang 24

> —» le foe 2) đV + min z (y) Với các điền kiện Le=0 VEEVES, Np=0 Vx€S [f@)<€ (*)

Điều kiện (*) cĩ thể khịng xét đồng thời mà kiềm

tra lại sau

— Nếu điều kiện đểo khong tron, khi đặt C (x) =

= xạ¿¡ giả sử rằng F được biều diễn đưới dạng ® (xạ)

va qj; Ja ham bac nhất của Th thì ta cũng cĩ bài tốn qny hoạch phi tuyến dạng đơn giản

b) Trường hợp miền thích ứng cĩ số điềm cực biên

lớn hơn một (khơng kể gốc)

Nĩi chung khơng thể thỏa mãn f = e với mọi điềm

cực biên Cũng tương tự như trường hợp trên, song

khơng khử được điều kiện đểo và phải thỏa mãn với

mọi điềm cực biên,

8 — Quan hệ giữa bài tốn phá hủy đểo đơn giản va bài tốn thích ứng

Căn cứ theo các hệ thức tốn học thu được, luận

văn đã chứng minh : miền tải trọng thích ứng thuộc

vào miền tải trọng an tồn (khơng bị phá hoại déo don giản) và đưa ra một số nhận xét về quan hệ giữa hai

- bài tốn,

Trang 25

CHƯƠNG Ill

ỨNG DỤNG `

Những vấn đề nêu sau đây là những bài tốn phức tạp, muốn giải quyết trọn vẹn phải nghiên cứu nhiều vấn đề Luận văn chỉ trình bày một số ý kiến về những

khía cạnh cĩ liên quan đến các bài tốn của hai-chương

trên

{ — Cách khắc phục mâu thuẫn giữa tính tốn nội

lựa và kiềm tra tiết điện của phương pháp tính tốn

theo trạng thái giới hạn

Sau khi trình bày nội dung và lý do lồn tại mâu thuẫn, bằng lý luận rút ra từ các hệ thức tốn học, luận

văn đã đi đến các kết luận:

aj Tính tốn theo phương pháp hiện hành như quy

phạm ban hành thì vẫn an tồn, song chưa tận dụng

hết khả năng chịu lực của vật liệu, nĩi cách khác khơng cho ta phương án tối ưu,

b) Để cĩ phương án tối ưu, ta giải trực tiếp bài

tốn thiết kế tối ưu theo trạng thái giới bạn, như đã

trình bày ở chương Ï, trong điều kiện nước ta hiện

nay cĩ đủ khả năng giải bài tốn đĩ

3 — Tỉnh hệ liên hợp Thanh — Bản — Vỏ

Bằng phương pháp xấp xỉ trường ứng suất theo mơ

hình các phần tử hữu hạn, các chỗ nối đều được chọn

là các lát cắt tưởng tượng

Sau khi xác định nội lực, ta lập phương trình cân

bang, diéu kién déo và hàm mục tiêu, Giải bài tốn theo

phương pháp trình bảy ở chương I Như vậy khĩ khăn tính tốn hệ liên hợp được khắc phục

Trang 26

3 — Thiết kế hệ đản hồi cĩ trọng lượng cực tiêu

Mối liên hệ giữa thiết kế đàn hồi cĩ trọng lượng

cực tiểu và thiết kế đẻo cĩ độ bền đền đã được M Save

thiết lập [29] Sau khi chứng minh mội loạt định lý tac giả đã đi đến kết luận:

“Thiết kết dễo cĩ trọng lượng cực tiều, nhưng tải

trọng giảm 1/ø lần, trong đĩ

Fy

F;

F, < k? 1a điều kiện đàn hồi

F, < k? la diéu kiện dẻo

Dựa vào mệnh đề trên, giải bài tốn thiết kế giới

o>

hạn lối ưu (trọng lượng cực tiều) ứng với tải trong P

thì ta cĩ thiết kế đàn hồi cĩ trọng lượng cực tiéu voi

tải trọng Pg

Như vậy, phương pháp giải bài tốn thiết kế tối

ưu trinh bày ở chương Ï, cĩ thề áp dụng trực tiếp đề

giải bài tốn thiết kế tối ưu hệ đàn hồi cĩ trọng lượng cực tiều,

MỘT SỐ TÀI LIỆU ĐÃ CƠNG BỐ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG LUẬN ÁN

1 Nguyễn Văn Phĩ;

Giải bài tốn trạng thái giới hạn bằng lý thuyết

quy hoạch tốn học

Thơng báo khoa học, Đại học Tơng hợp, Tốn học

Trang 27

2 Nguyễn Văn Phỏ:

Xác định khả năng chịu lực của các cơng trình bằng quy hoạch tuyến tính

Báo cáo tại hội nghị Toản học tồn miền Bắc lần thứ nhất, năm 1971

3 Nguyễn Văn Phĩ :

Xác định khả năng chịu lực của hệ chịu tác dụng của tải trọng và nhiệt độ biến thiên bằng lý thuyết quy hoạch Tạp chí khoa học kỹ thuật UBKHKTNN số 6-1972 4 Nguyễn Văn Phĩ : Ứng dụng quy hoạch tốn học vào một số bài tốn co hoc Tap chỉ Tốn học — UBKHRKTNN _ lập 1, sd 4, 12-1973 5 Nguyễn Văn Phĩ : Giải bài tốn trạng thải giới hạn bằng phương pháp - phần tử bữu bạn Tap chí khoa học kỹ thuật — UBKHRKTNN — số 5-1973 6 Nguyễn Văn Phĩ :

Về một phương pháp thiết kế tối ưu hệ đàn hồi-đẻo Tạp chí khoa học kỹ thuật UBKHKTNN—số 9-1974, 7 Nguyễn Văn Phĩ :

Nghiên cứu một số bài tốn thiết kế tối ưu bằng các phương pháp quy hoạch tốn học

Trang 28

8 Nguyễn Văn Phĩ:

Về một phương pháp nghiên cứu sự én định và “đánh giá sai số nghiệm bài tốn quy hoạch tuyến

tinh,

Tạp chí Tốn học, VKHVN, tập HI, số 4 — 12-1975,

9 Nguyễn Văn Pho:

Bàn về cách khắc phục màu thuẫn giữa tính tốn nội lực và kiểm tra tiết diện của phương pháp

trạng thái giới hạn,

Tạp chỉ khoa hạc kỹ thuật VKHVN — số §-1975, 10 Nguyễn Văn Phĩ :

Giải bài toản kiểm tra và thiết kế tối ưu các kết cấn

bêtơng cốt thép bằng lý thuyết quy hoạch tốn học Tuyên: tập hội nghị bêiơng và bêtơng cốt thép tồn miền Bắc lần thứ nhất UBKTCBNN — Hà nội 1975 11 Nguyễn Văn Phỏ:

_—— Mổ rộng định ly E Melan và phirong pháp giải bai tốn kiềm tra và thiết kế tối ưn của hệ chịu tác dụng của tải trọng và nhiệt độ biến thiên

Tạp chí khoa học kỹ thuật VKHVN -_ số 3-1976

12 Nguyễn Văn Phỏ :

Phương pháp giải một lớp quy hoạch phi tuyến trong bài tốn thiết kế tối ưu

Tạp chí Tốn học VKHVN Tap IV — số 3— tháng

9-1976

13 Nguyễn Văn Phỏ :

Một số vấn đề nhằm gĩp phần hồn thiện tiêu chuẩn thiết kế theo trạng thái giới hạn

Trang 29

14 Nguyễn Văn Phĩ : 15 16 17, 18 19

Ứng dụng quy hoạch lốn học vào một số bài tốn tối ưu của lý thuyết đẻo ‘ ` Báo cáo tại Hội nghị tốn học tồn quốc lần thứ bai 1977,

CFÀI LIỆU TRÍCH ĐẪN)

M.M PElTMAH, /I,H APHH

OHTHMH3A1H8 HIADAM€TDOB (©/163O0Ố€TOHHHX AOHC-

TpyKHHf na SUBM,

Crpođinsnar Mockpa 1974

B.T KOITEP

O6mue T€ODeMH TeopHH YVHDYTOHIACTHW€CKHX

cpeq 43a Unoctpansoli aureparty pp Mocksa.1961

KOOPMANH D.C LANCE R.H., — On linear prog- ramming and plastic analysis — Journal of the Me- chanis and Physics of Solids — 13, No 2 — 1965 Pyooknđi nepenou Mexannka L1? 2 — 1966

A.P PXAHHIIHH

Paccer o6070ueK M€TOJOM HDp€HGIbHOFTO DABHO- BeCHA IPH HOMOHIH 1HH€ÏHOFO TpOTDAMHPOBAHH1

C6 Tpyan YI scecow3noli kondpepenuun mo TeOpHH

OỐC/IOI€K H H14CTHHOR

Wan c«Hayxa » Moecxpa 1966

H HW KAPMEHKO, M, M4 PEATMAH

HliHà TpAHHU"A Hecymeli CHOCOỐIHEMOCTH H

OITHMAIBHO€ HDOEKTHDOBäHH€ 3(6/1€3OỐ©TOHHHX nat

Trang 30

20 21 22 23 24 25 26 27 C6 Tpy.ant VI scecotosnot Konpepenuun no TeODHH OỐO/ON€K H H/IACTHHOK - #13 « Haywa » Mocksa 1966 A,A,HHPAC

T€OpIđ OHITHMH8AHHH B TpĐIEIbBHOM AHA1Hä€ _TBepAOTO AePopMupyemoro Tega,

fan « Munrnc » Bnapntc, 1971,

GROSS 0., PRAGER w — Minimum Weight design for moving loads — Proceedings of the Fourth U.S National Congress applied Mechanis ~ Vol 2, 1962

Pycexnit nepesom: Mexanuxa N° 2— 1964

G HODGE — Plastic analysis of Strutures New York, 1959

E.T TÕ/IbIITEH, H.B IOHH -

Hoppe HAHpABI€HHR B AMHeHOM HDOFDAMMHpO-

BAHH, €COB€TcKoe panno ›» Mockpa 1966

K.B TEJIETEHOB, K.K KAJIUAEB, I 1 3AI- JIETHH

Merogb MAT€MATHHCKOTO TPOTDAMMHpOBAHHH W3an «Tlayxa » lasaxskộđ CCCP — AJIMA — ATA

1975

.H 3AHTBH.I7

HenHHeliHoe mporpaMMupopanue « ConercKoe pazuo » — Mockza 1973

A ®HAKO,T MAK — KOPMUK

Heaunelinoe nporpammupospanue Meron nocae- AOBATCABHOH Ố€3YCIOBHOH MHHHMH3AHHH LÍ3T, «Mup » Mocxsa, 1972, `

PRAGER W — Shafledown in elastic, plastic media

Trang 31

Symposium su la plasticita nella scienza della con-

strutioni in onone de Arturo Danusso, varenna,

Settembre 1956

Pycexnii nepesog: Mexanuxa N° 5 — 1958 ` 28 B.W PO3EHBJHIOM

l TeODHH TpUCHIOCOỐ/16MOCTb YHDYTO-HACrHqe-

CKHX TẴ©4I f3Berng AxaxeMni Hayka CCGP — OTH N° 6-1958

29 SAVE M — Some aspects of minimum weight

Engineering Piastilicity — Cambridge University

Press — 1958

Pyccxnit nepesoag: Mexanuxa N° 1-1971

30 M9 DPAMHT

Onpenxenenve necymel CHOCOỐHOCTH HH.IHHpHW6-

CKOH ØỐO/1OH€K H MỆTOAOM JIHH©ÏHOTO HDOTpAM-

MHDOBAHH1

Crpolitenpyad MexaHuKa HH pacueT coopyxenuit

N° 1-1969

To 100¢ khd 13 >< 19 Tại xưởng ín Trưởng Đại học Tịồng bợp Hà nội Šố xuất