Tiên đề liên tục

Tài liệu tham khảo: Tiên đề liên tục

Tiên ĐỀ liên tỤC Nhóm thực hiện: 1.Trần Thị Thanh 2.Nguyễn Hồng Minh 3.Nguyễn Thị Thúy 4.Nguyễn Thị Thủy 5.Nguyễn Thị Quyết 6.Nguyễn Thùy Dương 7.Nguyễn Thị Hải 8.Lê Thị Tuyết Nga 9.Phạm Lan Phương  1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV  2. Các định lý  3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn  4. Đo đoạn thẳng  5. Tọa độ của một điểm  6. Đo góc Tiên ĐỀ liên tỤC 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho: -Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi . -Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.  Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp. Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất.Hoặc là điểm đầu tiên của lớp thứ hai. Hình 1 1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV  Định nghĩa 16:Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Đơđơkin là một lát cắt Đơđơkin của đường thẳng.  Chú ý: Sau khi trên một đường thẳng đã có một lát cắt Đơđơkin ta có thể chọn một trong hai lớp làm lớp thứ nhất và khi đó lớp còn lại là lớp thứ hai. Việc lựa chọn này thực chất là việc xác định hướng cho một đường thẳng. 2. Các định lý 2.1.Định lý 31: Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một lát cắt Đơđơkin thì điểm đó là duy nhất 2. Các định lý 2.1.Định lý 31: Chứng minh:  Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C1 và C2.  Lấy một điểm P thuộc đoạn C1C2. Hình 2  P ở giữa C1 và C2 nên P vừa thuộc lớp thứ nhất vừa thuộc lớp thứ hai điều này mâu thuẫn ( vì theo tiên dề đơđơkin điểm P chỉ có thể thuộc một và chỉ một lớp mà thôi vậy suy ra trên một đường thẳng có một lát cắt đơ đơ kin thì điểm đó là duy nhất (đpcm) 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn các đoạn thẳng A 1 B 1, A 2 B 2 ,…,A n B n ,…sao cho mỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước đó (A i B i A i-1 B i-1 ) Cho trước bất kì một đoạn thẳng AB nào ta cũng có một số tự nhiên n để cho đoạn A n B n của dãy bé hơn đoạn AB, thì khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn A i B i của dãy. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh:  Trước hết ta chứng minh sự duy nhất của điểm C. Giả sử có hai điểm C 1 và C 2 cùng thuộc tất cả các đoạn thẳng của dãy tức là C 1 C 2 A n B n với n bất kì.Điều này trái với giả thiết là bất cứ đoạn thẳng AB nào cho trước( ở đây là C 1 C 2 ) ta cũng có một số tự nhiên n đủ lớn để cho đoạn A n B n của dãy bé hơn đoạn thẳng C 1 C 2 đó. Vậy điểm C là duy nhất. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh:  Bây giờ ta giả sử trên đường thẳng a có một dãy vô hạn các đoạn A 1 B 1 , A 2 B 2, …thỏa mãn điều kiện của tiên đề Căngto.Ta cần chứng minh có một điểm C thuộc tất cả các đoạn của dãy. Ta chọn một hướng trên đường thẳng a và giả sử các điểm A i đều đi trước B i. 2. Các định lý 2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto) Chứng minh: Ta chia các lớp điểm A i , B i với i=1,2,…,n,… đó như sau: Tập hợp các điểm A i thuộc lớp thứ nhất và tập hợp các điểm B i thuộc lớp thứ hai. Theo giả thiết với i j ta có đoạn A j B j thuộc đoạn A i B i . Vì A j ở giữa A i và B j nên A i đi trước B j . Tương tự vì B j ở giữa A j và B i nên A j đi trước B i. Như vậy với i,j bất kì ta có A i đi trước B j .Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơ đơkin nên trên đường thẳng a có một lát cắt C. Điểm C này ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp và là điểm thuộc bất cứ đoạn A n B n nào. Thật vậy nếu có một đoạn A n B n nào không chứa điểm C thì hai điểm đó sẽ thuộc cùng một lớp( trái với giả thiết). [...]... chứa đoạn AkAk+1 XM mà XM trùng CD nên ta suy ra AkAk+1 trùng CD (vô lý) 2 Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chú ý: Dựa vào các nhóm tiên đề I, II, III cùng với các tiên đề Cangto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên đề Đơđơkin Như vậy là tiên đề Căngto và Acsimet tương đương với tiên đề Đơđơkin 3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định nghĩa 17:  Trong mặt phẳng cho một điểm... nhất cũng chứa điểmB.Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên đề Đơđơkin nên ta có một lát cắt X 2 Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh: Theo tiên đề III1 và định lí 18 thì đi trước điểm X có một điểm M sao cho XM trùng CD Vì M đi trước X nên M thuộc lớp thứ nhất và giả sử M đi trước một điểm Ak nào đó ( vì mọi điểm Ak đều đi trước điểm X) Điểm Ak+1 cũng thuộc lớp thứ nhất nên Ak+1... đó tiên đề Acsimet không đúng nghĩa là với mọi n ta đều có điểm An đi trước điểm B 2 Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh: Ta chia tập hợp các điểm của đường thẳng AB ra hai lớp như sau:Mỗi điểm đi trước một điểm Ai nào đó ( những điểm này cũng đi trước các điểm Ai+1, Ai+2,….), được xếp vào lớp thứ nhất.Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB đượcxếp vào lớp thứ hai Mỗi lớp này đều...2 Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì.Khi đó có một số hữu hạn các điểm A1 ,A2 ,….,An thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2 ở giữa A1 và A3 , …., An-1 ở giữa An-2 và An, B ở giữa A và An và sao cho các đoạn AA1, A1A2,….,An-1An đều bằng đoạn CD 2 Các định lý Định lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chứng minh:  Ta chọn chiêu trên... định nghĩa trên thực chất là các tiên đề về độ dài đoạn thẳng Như vậy là ứng với một đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định gọi là độ dài của đoạn thẳng đó 4 Đo đoạn thẳng Định lí 35: Với mỗi đơn vị dài cho trước , mỗi đoạn thẳng có một độ dài duy nhất Để chứng minh định lí này chúng ta cần hai bổ đề sau :  Bổ đề 1: Nếu AB > A’B’ thì f( AB) > f( A’B’)  Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng đơn... đoạn thẳng Định lí 35: Bổ đề II: Chứng minh:  Ta lại chia đôi đoạn OO1 bằng điểm O 2 và lí luận tương tự như trên ta có f(OO2) = 1/22  Nếu tiếp tục chia như vậy cho đến điểm On ta có f(OOn) = 1/2n 4 Đo đoạn thẳng Định lí 35: Chứng minh định lí 35: Với đoạn thẳng AB cho trước ta chứng minh f(AB) được xác định duy nhất Trên nửa đường thẳng AB gốc O ta lấy các đoạn AA1 , AA2 … đều bằng OE Ta xét các... Định lí 35: Chứng minh định lí 35: b Nếu trong các điểm A1 , A2 ,A3 , … không có điểm nào trùng với điểm B thì theo tiên đề Asimet ta có điểm An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An 4 Đo đoạn thẳng Định lí 35: Chứng minh định lí 35: Khi đó theo bổ đề I ta có : n – 1 < f(AB ) < n Độ dài đoạn thẳng AB trong trường hợp này chưa được xác định chính xác mà còn sai... đoạn thẳng Định lí 35: Bổ đề 1 Nếu AB > A’B’ thì f( AB) > f( A’B’) Chứng minh:  Nếu AB > A’B’ thì giữa 2 điểm A và B có một điểm P duy nhất sao cho AP trùng A’B’ Khi đó ta có : f(AB) = f(AP) +f( PB) theo điều kiện 3 = f(A’B’) + f(PB) vì theo điều kiện 2 ta có f(AP) = f(A’B’) Do đó f(AB) > f (A’B’) vì độ dài đoạn thẳng là một số thực dương 4 Đo đoạn thẳng Định lí 35: Bổ đề II: Nếu ta chia đoạn thẳng... Mà theo tính chất của đường vuông góc cùng hình xiên và hình chiếu ta có:AY>AX nên suy ra X nằm giữa A và Y => X đi trước Y (2) => Từ (1) và (2) ta suy ra sự phân chia Ax thành 2 lớp đã thoả mãn các tiên đề của Đơđơkin Khi đó có một điểm C luôn luôn ở giữa 2 điểm bất kì thuộc 2 lớp Ta chứng minh OC ≡ r Thật vậy,ta tiến hành xét 2 trường hợp 3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Chứng... định lí 18) Trong tam giác vuông OAY có : OY>AY(quan hệ đường xiên) =>OY>r =>Điểm Y thuộc lớp 2 =>Lớp 2 khác rỗng =>Vậy cả lớp 1 và lớp 2 đều không rỗng (1) 3 Giao điểm của đường thẳng và đường tròn Định lý 34: Chứng minh: Ta cần chứng minh :Mỗi điểm X của lớp 1 đều đi trước mọi điểm Y của lớp 2 Ta có: OX r(chứng minh trên) => OY > OX Mà theo tính chất của đường vuông góc cùng hình . lí 33 (Tiên đề Acsimet) Chú ý: Dựa vào các nhóm tiên đề I, II, III cùng với các tiên đề Cangto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên đề Đơđơkin.. đoạn thẳng  5. Tọa độ của một điểm  6. Đo góc Tiên ĐỀ liên tỤC 1 .Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia