Với đoạn thẳng AB cho trước ta chứng minh f(AB) được xác định duy nhất.
Trên nửa đường thẳng AB gốc O ta lấy các đoạn AA1 , AA2 … đều bằng OE . Ta xét các trường hợp sau đây :
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
a . Nếu có một điểm Ak trùng với điểm B ta có:f(AB) = f(AA1) + + f(A1A2) + … + f(Ak -1Ak) = k
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
b . Nếu trong các điểm A1 , A2 ,A3 , … không có điểm nào trùng với điểm B thì theo tiên đề Asimet ta có điểm An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An sao cho điểm B ở giữa An – 1 và An
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Khi đó theo bổ đề I ta có : n – 1 < f(AB ) < n
Độ dài đoạn thẳng AB trong trường hợp này chưa được xác định chính xác mà còn sai kém 1 đơn vị.
Ta chia đôi đoạn An – 1 An bằng điểm P1 . Khi đó :
Nếu điểm B trùng với điểm P1 ta có f(AB) = n – 1/2 Nếu điểm B không trùng với P ta xét hai trường hợp:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
1 . Trường hợp điểm B ở giữa An – 1 và P1 ta có n – 1 < f(AB) < n – 1/2
2 . Trường hợp điểm B nằm giữa Pn và A ta có: n – ½ < f(AB) < n
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Ta có thể viết chung kết quả cả hai trường hợp trên như sau : n +1/2+ ε1/2 <f(AB) < n – ε’1/2
Trường hợp 1 ta lấy ε1 = 0 và ε’1 = 1 Trường hợp 2 ta lấy ε1= 1 và ε’1 = 0
Nếu điểm B thuộc đoạn nào đó,ta gọi tên đoạn đó là M1 M1',với M1 đi trước M1'
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong trường hợp này nếu phép đo dừng lại ở đây thì độ dài đoạn AB được xác định sai kém ½ đơn vị dài . Ta lại tiếp tục chia đôi đoạn M1M’1 bằng điểm P2 và cũng xảy ra hai trường hợp tương tự như đối với điểm P1 ở trên :
Nếu điểm B trùng với điểm ta có :
f(AB ) = f(A) + f() = f(A)+ ¼
Nếu điểm B không trùng với P2 mà lại thuộc đoạn M1P2 hoặc đoạn P2M’1 thì khi đó ta có :
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Số tìm được là số đo của đoạn thẳng AB,hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng AB.số này là 1 số thực (có thể là số nguyên hay số hữu tỉ) và được xác định 1 cách duy nhất.
Bây giờ ta cần chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng được xác định như trên thỏa mãn bốn điều kiện nêu ra trong định nghĩa:
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35:
Điều kiện 1:
Theo cách đo đoạn thẳng AB thực hiện như trường hợp 1 và 2 như trên thì f(AB) là một số dương
Điều kiện 2:
Giả sử AB=A’B’theo cách chia như trên thực hiện với các đoạn thẳng AB và A’B’với các điểm tương ứng là Mi và Ni.
Ta có:
f(AM1) = f(A’N1) ; f(AM2) = f(A’N2) ; … ; f(AMp) = f(A’Np) do đó đến giới hạn ta có : f(AB) = f(A’B’)
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 3:
Giả sử ta có điểm C ở giữa A và B, cần chứng minh: f(AC)+f(CB)=f(AB)
Định lí 35:
Chứng minh định lí 35: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Gọi a,b,c lần lượt là số đo của các đoạn AB, CB, CA. tức là: f(AB)=a,f(CB)=b, f(CA)=c
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 3:
Ta chọn số tự nhiên n rồi chia đơn vị dài ra phần bằng nhau. Mỗi phần sẽ có độ dài là 1/2n
Trên tia CA ta lấy các đoạn CA1,A2,A3, …….. bằng nhau và mỗi đoạn đều bằng 1/2n
Theo tiên đề ASCIMET ta có 2 điểm Ak, Ak+1 và sao cho điểm Ak thuộc đoạn CA hay trùng với A và đoạn C Ak+1 chứa điểm A
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Điều kiện 4:
Áp dụng phép đo thực hiện như trên với đoạn OE ta có f(OE)=1
Vậy f(AB) là độ dài đoạn thẳng AB vì nó thỏa mãn 4 điều kiện nêu trong định nghĩa .
CHÚ Ý:
Dựa vào định lí 35 trên đây người ta có thể so sánh các đoạn thẳng bằng cách so sánh các độ dài của chúng.
Định lí 35:
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Với bất cứ số thực dương a cho trước, bao giờ ta cũng có một đoạn thẳng có độ dài bằng a.
Chứng minh:
Để chứng minh định lý này ta hãy biểu diễn số thực a dưới
dạng: a = n + 0, n1n2n3…Trong đó n là số nguyên và 0,
n1n2n3… là một số nhị phân, với n1, n2, n3, …bằng 0 hay
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Chứng minh:
Trên tia Ax ta dựng các đoạn AA1 ≡ A1A2 ≡ A2A3 ≡ … ≡ AnAn+1 ≡ OE(H.76). Ta có f(AAn) = n. Ta chọn chiều của tia Ax là chiều từ trái sang phải và chia đôi đoạn AnAn+1 bằng điểm P1. Nếu n1 = 0 ta lấy nửa trái của đoạn AnAn+1 còn nếu n1 =1 ta lấy nửa phải của đoạn đó. Ta kí hiệu nửa đoạn thẳng lấy được là l1. Tiếp tục chia đôi đoạn l1 bằng điểm P2 tùy theo n2 = 0 hay n2 = 1 ta lấy nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó. Ta gọi nửa trái hay nửa phải của đoạn l1 đó là đoạn l2. Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các đoạn thẳng là: l1, l2, l3...
4. Đo đoạn thẳng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu số nhị phân mà hữu hạn và kết thúc ở con số nk(khi đó nk = 1 vì nếu nk = 0 thì số nhị phân đó phải coi là kết thúc trước số nk) thì khi đó đoạn APk -- có độ dài bằng f(APk) và
f(APk) = n + 0, n1n2… nk
Ta có APk -là đoạn thẳng cần tìm
Định lý 36:
4. Đo đoạn thẳng
Nếu số nhị phân là vô hạn ( ta không kể trường hợp một số hữu hạn viết thành vô hạn như 1, 011 được viết thành 1,0101111…). Theo cách dựng
các đoạn l1, l2, l3... thì mỗi đoạn trong dãy này từ l2 trở đi thì có đầu mút
trùng với đầu mút của đoạn trước đó và có tất cả các điểm nẳm trong
đoạn trươc đó. Tuy nhiên không thể xảy ra tình trạng là kể từ một đoạn lk
nào đó trở đi tất cả các đoạn của dây đều có chung nột đầu mút (vì theo giả thiêt số nhị phân nói trên là vô hạn nên không thể xảy ra trường hợp kể từ một con số nhị phân nào đó trở đi ta có toàn số 0 hay số 1). Vì vậy
trong số các đoạn từ lk trở đi thề nào cũng có một đoạn nào đó có cả hai
đầu mút đều nằm trong l1 Ta gọi đó là đoạn lk1-(H.77). Tiếp tục xét các
đoạn từ lk1 trở đi, thế nào cũng có một đoạn mà cả hai đầu mút đều nằm
trong đoạn lk1 và gọi đoạn đó là lk2, vv… như vậy ta có một dãy các đoạn l1,
kk1, lk2… trong đó mỗi đoạn đều chứa hai đầu mút của đoạn đi liền sau đó
nghĩa là lk1 C lk(i-4) C …C lk1 C l1
Định lý 36:
4. Đo đoạn thẳng
Định lý 36:
Chứng minh:
Ngoài ra ta cần chú ý rằng không thể có một đoạn thẳng nào đó lại nhỏ hơn tất cả các đoạn thẳng của dãy l1, lk1, lk2-, … vì nếu có một đoạn thẳng như vậy thì dù ta gấp đoạn thẳng đó lên bao nhiêu lần đi nữa
không bao giở ta có một đoạn lớn hơn đoạn OE là mâu thuẫn với tiên đề Acsimet. Do đó dãy các đoạn l1, kk1, lk2,… thỏa các điều kiện của tiên đề Căngđơ nên có một điểm B duy nhất thuộc tất cả các đoạn của dãy đó. Nếu bây giờ ta thực hiện phép đo đoạn thẳng AB như đã thực hiện ở định lý 35 ta thấy độ dài của đoạn AB đúng bằng số thực a dương cho trước.