Ky Nang taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN • BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC Từ khai triển hàm y = e x ⇒ Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx ( ) 0, 3 tg 4 3 →++= xxo x xx Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ của số hạng bò triệt tiêu! ( ) ( ) 0, )!2( 1 !4!2 1cos 12 242 →+ − +−+−= + xxo n xxx x n n n ( ) ( ) 0, )!12( 1 !3 sin 22 123 →+ + − ++−= + + xxo n xx xx n n n !2 1 2 +++= x xe x chẵn Mũ lẻ Mũ ( ) ( ) ( ) 12 22 22 123 )!2( !2 1ch, !12 !3 sh ++ + ++++=+ + +++= n n n n xo n xx xxo n xx xx xxxx ch,shcos,sin → dấu đan khôngnhưng nhưtự Tương KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1 ± x), LN(1 + x) Hàm nghòch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân): ( ) ( ) ( ) nn n nn xoxxx x xoxx x +−+++−= + ++++= − 11 1 1 ,1 1 1 2  Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x) α → Nhò thức Newton (1 + x) n ( ) ( ) ( ) ( ) nn xox n n xxx + +− ++ − ++=+ ! 1 !2 1 11 2 αααα α α   VD: Khai triển MacLaurint hàm ( ) 3 cấp đến 3 1 xxf += Giải: ( ) ( ) 0, !3 2 3 1 1 3 1 3 1 !2 1 3 1 3 1 3 11 3 32 3 1 →+       −       −+       −++=+ xxo xxx x ( ) ( ) nn n xox n xx xx + − +++−=+ −132 )1( 32 1ln  ln(1 + x): ∫1/(1+x) → x n /n, đan dấu BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM Hàm Khai triển Phần dư Lagrange x+1 1 !!3!2 1 32 n xxx x n +++++  ( ) 1 !1 + + n c x n e ( ) ( ) n n n x n xxx 2 242 !2 1 !4!2 1 −+−+−  ( ) ( ) 22 !22 sincos + + n x n c ( ) ( ) 12 1253 !12 1 !5!3 + + + −+−+− n n n x n xxx x  ( ) ( ) 32 !32 sincos + + n x n c ( ) n n xxxx 11 32 −++−+−  x−1 1 x e xcos xsin ( ) α x+1 ( ) x+1ln ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 + + + + − n n n x c n xxxx +++++  32 1 ( ) ( ) n x n n xx ! 1 !2 1 1 2 +− ++ − ++ αααα α   ( ) n xxxx x n n 1 432 1 432 + −++−+−  PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH VD: Khai triển ML đến cấp 3: ( ) ( ) x x exf x +− − += 1ln5 1 2 Giải: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 5 12 2 1 xo x xxx x xxf +       +−−++++       +++= VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: ( ) xxxf coshcos ⋅= Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) các hàm cơ bản. p dụng kh/tr MacLaurint cơ bản Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 !2 1 !2 1 33 2 3 2 →+=       ++       +−= xxoxo x xo x xf Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!) VD: Khai triển ML đến cấp 2: ( ) ( ) 11ln 2 +++= xxxf KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1 ± x) VD: Khai triển MacLaurint 3 cấp2 cấp , cos 1 b/ , 2 / xx e a x + Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1! x±1 1 Giải: ( ) ( )       ++−       +++= + ⋅⋅ 2 2 2 2 42 1 !2 1 2 1 21 1 2 1 / xo xx xo x x x ea x ( )( ) ( ) ( ) 22 1 !21 1 cos 1 b/ 2 3 2 3 2 32 +       ++       ++= +− = xo x xo x xoxx VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2 ( ) 34 1 2 +− = xx xf Giải: ( ) ( )( )       − − − ⋅=       − − − = −− = xxxxxx xf 1 1 31 1 3 1 2 1 3 1 1 1 2 1 31 1 KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HP VD: Khai triển MacLaurint ( ) 4 cấp đếnxbxa cos/sin/ 2 Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự). Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0! Giải: ( ) ( ) 42 3 2 !3 sin00&/ xox u uuuxua +=+−=⇒== ( ) ( ) 2 1 1 242 1 242 1/ 21 4 42 4 42 ++=                 ++−+=       +−− uxo xx xo xx b u    VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2 KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x 0 : ĐƯA VỀ KTR ML VD: Khai triển Taylor hàm ( ) 3 cấp đến 2quanh 1 0 == x x xf Khai triển Taylor f(x) quanh x = x 0 : Đổi biến t = x – x 0 và sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t) Cách 2: Biến đổi để (x – x 0 ) xuất hiện trực tiếp trong hàm số! Giải: Cách 1: t = x – 2 ⇒ ( )       ++= + ⋅= + ==  2 1 2 1 21 1 2 1 2 11 t ttx xf Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm ( ) ( ) ( ) 221 1 2 1 22 1 −+ ⋅= +− = xx xf VD: Khai triển Taylor hàm ( ) 2 cấp đến 8quanh 0 3 −== xxxf Giải: ( ) ( ) ( )       +       +− ⋅+−=       + −−=−+ 8 2 3 1 12 8 2 1282 31 3 xx x ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB VD: Tìm ( ) ( ) xe xxx x x sin1 1ln3sin43sin lim 3 0 − +−+ →             +− ∞→ x xx x 1 1lnlim 2 (SGK/80) ( ) ( ) 3 4 3 0 3 4 3 0 6 lim 6 lim x xo x x xo x xx xx + =       +−− = →→ ( ) 2 0 1ln33sin lim x xx x +− = → ( ) ( ) ( ) xx xxx x + ++− = → 1 1ln1 lim 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )       + + − + +− = → xx xx xx xx x 1 1ln 1 1ln lim 22 0 VD: Tính 3 0 sin lim x xx x − → VD: Tìm ( ) ( )       + − + → 2 0 1ln 1 1 lim x x xx x ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxcxx n cf Rxx k xf xf n n n n k k k ,, )!1( , ! )( 0 1 0 1 0 0 0 ∈− + ==∆−≈ + + = ∑ VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx ≈ x với độ chính xác 10 -4 Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển hàm y = e x để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10 -4 VD: Tính gần đúng giá trò số e với độ chính xác 10 -4 (SGK/79) Giải: ( ) ( ) ( ) !1 3 ,1,0, !1! 1 !2 1 !1 1 1 + ≤∆≈⇒∈ + +++++= n Sec n e n e c S     . MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2 KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x 0 : ĐƯA VỀ KTR ML VD: Khai triển Taylor hàm ( ) 3 cấp đến 2quanh 1 0 == x x xf Khai triển Taylor f(x) quanh x = x 0 : Đổi biến t. ) 221 1 2 1 22 1 −+ ⋅= +− = xx xf VD: Khai triển Taylor hàm ( ) 2 cấp đến 8quanh 0 3 −== xxxf Giải: ( ) ( ) ( )       +       +− ⋅+−=       + −−=−+ 8 2 3 1 12 8 2 1282 31 3 xx x ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN • BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC Từ khai triển