định lý biến thiên momen động lượng

Xác nh d sau va ch m hòn bi ng yên... Xác nh các chuy n ng này... Bi t ngay sau va ch m thanh ng yên.

CHUYÊN :

1 MOMEN NG L NG:

a) Momen l ng ng i v i tâm O c a m t ch t m có kh i l ng m chuy n

ng v i v n t c v c xác nh b ng bi u th c:

v m r L

Trong ó r là bán kính vect c a ch t m i v i tâm O

b) Momen ng l ng c a m t v t r n i v i m t tr c quay c nh c xác nh

ng bi u th c:

I L

2 NH LÝ BI N THIÊN MOMEN NG L NG:

o hàm theo th i gian momen ng l ng c a h i v i m t tr c c nh b ng t ng các momen ngo i l c tác d ng lên c h i v i tr c ó

M dt

L d

Ph ng trình vi phân chuy n ng c a v t r n quanh m t tr c c nh:

M J

3 BÀI T P:

Câu 1: Hai v t n ng P1 và P2 c bu c vào hai dây qu n vào hai tang c a m t t i bán kính là r và R nâng v t n ng P1 lên ng i ta tác d ng vào t i m t momen quay M Tìm gia t c g c c a t i quay, gia t c c a hai v t Bi t tr ng l ng c a t i là Q và bán kính quán tính i v i tr c quay là

Gi i:

Áp d ng nh lý bi n thiên momen ng l ng i

i tr c quay i qua tâm O c a t i ta có:

M R P r P dt

dL

2 1

Momen ng l ng c a c h b ng:

2 2

2 2 1

2 1

g

Q R

g

P r

g

P

J v g

P R v g

P r L L L

Thay vào bi u th c trên ta c:

M R P r P dt

d g

Q R P r

P

2 1

2 2 2 2

1

R a r a Q R P r P

g r P R P M

2 1

2 2

2 2 2 2 1

1 2

;

; ) (

Câu 2: M t a tròn ng ch t, tr ng l ng là Q, bán kính là R quay c quanh m t

tr c th ng ng AB i qua tâm a và vuông góc v i a Trên vành a có m t ch t

m M có tr ng l ng P a quay quanh tr c v i v n t c góc 0 T i m t th i m nào ó ch t m M chuy n ng theo vành a v i v n t c t ng i so v i a là u Tìm v n t c góc c a a lúc ó

P2

M

P1

R

r

Gi i:

Vì ngo i l c g m các l c song song ho c c t tr c quay nên t ng momen các ngo i l c

i v i tr c quay b ng không Do v y momen ng l ng c a h c b o toàn, ta có:

0

L L

Trong ó:

g

P Q R L

2

2

2 0 0

Gi s th i m ban u ch t m n m yên trên a và cùng v i a quay quanh

tr c v i v n t c góc 0 theo chi u d ng và khi ch t m chuy n ng i v i a

i v n t c t ng i u c ng theo chi u d ng thì a quay quanh tr c v i v n t c góc Momen ng l ng c a c h là:

R R u g

P R

g

Q R R u g

P J

2

y cu i cùng ta c:

R P Q

Pu

2

2

0

a quay quanh tr c theo chi u d ng ho c âm tùy thu c

R P Q

Pu

2

2

Câu 3: a tròn A ng ch t có tr ng l ng P và bán kính R có th quay quanh tr c

th ng ng vuông góc và i qua tâm c a a T i th i m ban u tâm c a a có viên bi M tr ng l ng Q và a có v n t c góc 0 Sau ó viên bi M b t u chuy n

ng d c theo ng bán kính c a a v i v n t c t ng i vr = u không i Tìm v n

c góc c a a t i th i m b t kì, sau khi viên bi r i kh i tâm c a nó, và t i th i

m khi viên bi ch y n mép a b qua ma sát t i quay

Gi i:

Rõ ràng, momen c a các ngo i l c i v i tr c quay luôn b ng không trong su t quá trình chuy n ng c a h , do ó momen ng l ng c a h i v i tr c quay c b o

2 0

2g

PR J

L

i th i m b t k , a A có v n t c góc , còn viên bi có v n t c t ng i vr = u

và v n t c theo v e r i r là kho ng cách t viên bi t i tâm a Momen ng l ng

a h khi ó b ng:

e

g

Q r v g

Q r J L

Nh ng v n t c t ng i n m trên ng th ng c t tr c quay do ó: v r 0

g

Q

n t c theo v e r ut cu i cùng ta c:

2 2

2

2

Q g

PR v

g

Q r g

PR

Cho L = L0 ta c ph ng trình xác nh v n t c góc c a a:

2 2 2

0 2

2Qu t PR

PR

i th i m

u

R

t1 thì viên bi ch y n mép a, do ó v n t c góc c a a lúc ó

ng:

Q P

P

2

0

Câu 4: M t s i dây v t qua ròng r c A có th quay quanh tr c n m ngang O c nh

i m t u dây có bu c v t n ng B, còn u kia có ng i C bám vào Ng i và v t

ng có cùng kh i l ng Ròng r c có bán kính r kh i l ng b ng 1/4 kh i l ng c a

ng i và c coi nh phân b u trên chu vi c a nó Ban u h ng yên, sau ó

ng i C b t u leo dây v i v n t c t ng i so v i dây là u B qua kh i l ng c a dây và ma sát ròng r c Tìm v n t c c a v t B

Gi i:

Ta nh n th y r ng t ng momen c a các ngo i l c i v i tr c quay b ng không do ó momen ng l ng c a h c b o toàn Ban u h ng yên nên L0 = 0 Momen

ng l ng c a h i v i tr c quay c a ròng r c t i th i m b t k b ng:

rmu rmv

r

v r m

rmv rmv

rmv J

L

B B

r e

B

2 4

2

Cho L = L0 = 0 gi i ra ta c: v B u

9 4

Câu 5 : Rôto quay quanh tr c th ng ng d i tác d ng c a momen quay M = const

và momen c n t i các quay t l v i v n t c góc c a rô to M c a , bi t momen quán tính c a rô to i v i tr c quay là J và ban u v t ng yên Tìm v n t c góc

a v t ph thu c vào th i gian và giá tr gi i h n c a v n t c góc

áp s :

a

M e

a

M

gh

t J a

, 1

Câu 6 : Tang quay B có hai vành bán kính R,r và tr ng l ng P1 Vành trong c a tang

có qu n dây, treo v t n ng D tr ng l ng P2, khi tang B ang chuy n ng v i v n t c góc 0 thì ng i ta tác d ng l c G vuông góc v i c n hãm O1A cho má hãm E xi t vào vành ngoài c a tang B Cho bi t h s ma sát gi a má hãm E và vành c a tang B

là f, bán kính quán tính c a tang i v i tr c quay là , các kích th c c a c n hãm

O1A = a, O1E = b B qua kích th c c a má hãm, ma sát t i các quay, tr ng l ng

a dây và c a c n hãm

a Tìm quy lu t chuy n ng c a tang B

b Tìm th i gian t lúc b t u hãm cho t i khi tang d ng l i

c Tìm s vòng quay mà tang quay c trong th i gian hãm ó

Gi i :

Áp d ng nh lý bi n thiên ng l ng c a h i v i tr c quay O c a tang, ta có :

2

P

dt

dL

ms

Momen ng l ng c a h i v i tr c quay O t i th i m b t kì :

r r g

P g

P r v g

P

J

0

Xét cân b ng c a c n hãm O1A tìm áp l c N, l y ph ng trình mô men i v i O1 :

Ga N Ga

y cu i cùng ta c :

GR b

fa r P g

r P

P

dt

d

B 2

2 2 2

1

c khác : d B B dt

2 2 1

2

const r

P P

b

rb P faGR g

B

Tang chuy n ng ch m d n u t 0, B 0, B 0 :

2 0

0

2

1

t t

t

B B

B

B

Th i gian hãm :

B B

Góc quay c c a tang trong th i gian hãm :

B

2

2 0

vòng quay c c a tang trong th i gian hãm:

2

n

Câu 7: Qu c u có kh i l ng m c g n u A c a

thanh AB dài l có th quay quanh tr c th ng ng vuông góc

i AB trong bình ch a ch t l ng v i v n t c góc ban u

0 L c c n c a ch t l ng tác d ng lên qu c u t l v i và có bi u th c R am

trong ó a= const, là v n t c góc c a thanh AB B qua kh i l ng c a thanh AB

a Tính th i gian v n t c góc c a thanh AB gi m i m t n a

b Tính s vòng quay c c a thanh AB trong th i gian trên

Gi i :

Ta có ph ng trình chuy n ng c a v t quanh tr c th ng ng :

aml dt

d ml

M dt

L d

2

Th c hi n tích phân, s d ng u ki n u ta c :

t a

e

0

Thay

2

0 ta tính c : ln 2

a

l t

Ph ng trình trên có th c vi t l i d i d ng :

2 2

0 0

2

0

0

n a l

d l

a d

d l

a d

dt l

a d

A

G

B

P2

Fms

N

E

O

O1

R

Câu 8 : Hai tr tròn xoay ng ch t A và B có tr ng l ng l n l t là P1 và P2 và bán kính l n l t là R1 và R2 Qu n hai s i dây m m vào hai u c a hai kh i tr m t cách

i x ng i v i m t ph ng trung bình song song v i áy c a hai kh i tr Kh i tr A quay quanh m t tr c c nh trùng v i ng tr c tâm c a các kh i tr Kh i tr B r i

do không v n t c u, làm dây qu n nh ra và quay kh i tr A B qua ma sát và các l c c n Xác nh s c c ng c a m i dây qu n, v n t c góc c a hai kh i tr ,

ph ng trình chuy n ng c a kh i tr B

Gi i :

Ta có ph ng trình chuy n ng c a kh i tr B :

dt

dv g

P

T

i vc là v n t c kh i tâm c a kh i tr B:

2 2 1

v c

Áp d ng nh lý bi n thiên momen ng l ng i v i các kh i tr :

2 2

2

1 1

1

2

2

TR

dt

d

J

TR

dt

d

J

Gi i các ph ng trình ã thành l p ta c :

2 1

2

1

2

3

P

P

P P R

gP

2 1 1

2 1

2 3

2

P P R

gP

2 1 2

1 2

2 3

2

2 1

2 1

2

3P P t

P P g s

Câu 9 : M t cái a ng ch t có bán kính R ang quay quanh tâm O c a nó v i v n

c g c thì c t m t cách th n tr ng trên m t m t n m ngang a s quay trên

t này trong bao lâu n u h s ma sát b ng Áp su t c a a trên m t c coi là

u

Gi i :

Xét ph n t gi i h n b i hai ng tròn bán kính r và r + dr có kh i l ng :

rdr

R

m

m i 2 2

c ma sát tác d ng lên ph n t này là :

rdr R

mg g

m

F i i 2 2

Momen l c ma sát c n tr chuy n ng quay c a ph n a này là :

dr r R

mg r

F

M i i 2 2 2

Momen l c ma sát tác d ng lên a :

mgR dr

r

R

mg

M

R

3

2

0

2

Ph ng trình quay c a a :

2 2

1

M

J

y :

R

g

3

4

Th i gian a quay cho n khi d ng l i :

g

R

t

4

3

B

A

Câu 10 : M t ng i có kh i l ng m ng mép m t a tròn ng ch t n m ngang

có kh i l ng M, bán kính R a có th quay t do quanh m t tr c th ng ng c

nh i qua tâm a T i th i m nào ó ng i b t u chuy n ng theo mép a,

ch chuy n m t góc 1 r i d ng l i Trong quá trình chuy n ng v n t c c a ng i

i v i a ph thu c th i gian theo quy lu t v1 t B qua kích th c c a ng i tìm

a Góc mà a quay c cho t i khi ng i d ng l i

b Momen c a l c i v i tr c quay mà ng i ã tác d ng lên a trong quá trình chuy n ng

Gi i :

Lúc u momen ng l ng c a h b ng không H b o toàn momen ng l ng nên :

L = L1 + L2 = 0

i a :

dt

d MR dt

d J

2 1

i ng i :

dt

d dt

d mR R dt

d R t v m

1 2

dt

d m dt

d

m

M

dt

d mR dt

d mR dt

d MR

L

1

1 2 2

2

2 2

2

1

2

2

m M m

u âm ch ng t a quay ng c chi u v i chi u i c a ng i

Momen l c c a ng i tác d ng lên a b ng bi n thiên momen ng l ng c a a :

dt

d MR

2

1

c khác ta có :

R dt

dv m M

m dt

d m M

m dt

2

2 2

y :

dt

dv m M

mMR

2

Câu 11 : M t thanh ng ch t có kh i l ng 2m, dài l n m trên sàn ngang nh n M t viên bi nh kh i l ng m chuy n ng v i v n t c v n va ch m vuông góc v i thanh t i m A cách kh i tâm c a thanh m t n là d Va ch m tuy t i àn h i

a Xác nh v n t c l n nh t và nh nh t có th c a kh i tâm c a thanh

b Xác nh d sau va ch m hòn bi ng yên

Gi i :

Áp d ng nh lu t b o toàn ng l ng và b o toàn c n ng cho h ta có :

2 2 2 2 2 2 2

2 2

12

2 2 2

1 2

1 2

2

1

2

1

2 2

v

l v v v m J

mv

mv

v v v v m mv

mv

G G

G G

Bi n thiên momen ng l ng c a thanh b ng momen xung l ng mà thanh nh n

c :

G

l

d d

mv

Gi i các ph ng trình trên ta c :

G

G

v

v

v

v

l

n

n

v

v

2

12

12

3

2

2

v i

l

d n

Kh i tâm có v n t c c c i khi : n = 0 => d = 0

3

; 0

;

3

2

max

v v v

v G

Kh i tâm có v n t c c c ti u khi :

2

1

l

d

n lúc này m A mép thanh

3

;

2

;

3

min

v v l

v v

v G

sau va ch m hòn bi ng yên :

3 2 12

1 12

3

2 2

n

v v

v

Khi ó

l

v 3

Câu 12 : Ng i ta t lên m t ph ng n m ngang nh n m t hòn bi nh và m t thanh

nh ng ch t có dài và kh i l ng l n h n kh i l ng c a hòn bi n l n Truy n cho hòn bi v n t c v có ph ng ngang và vuông góc v i thanh, sau ó nó va ch m àn

i v i m t u thanh Tìm v n t c c a hòn bi và v n t c góc c a thanh sau va ch m Tính n sau va ch m thì v n t c c a hòn bi s b ng không, s i chi u ng c l i

4

12

; 4

2

; 4

4

n n l n

v n

v v

n

v n

Câu 13 : t thanh m nh ng ch t kh i l ng M chi u dài L quay t do c quanh

tr c c nh n m ngang O Thanh c th nh t v trí nó h p v i ph ng th ng ng góc 0 Khi quay t i ph ng th ng ng nó va ch m àn h i v i qu c u ng ch t

kh i l ng m, bán kính R ang n m yên trên m t sàn n m ngang Hãy xác nh u

ki n :

a Ngay sau va ch m thanh ng yên, thanh ti p t c quay cùng chi u, quay ng c chi u tr l i, thanh dao ng u hòa, tính chu k dao ng

b Qu c u l n không tr t ; qu c u l n có tr t Xác nh các chuy n ng này

s ma sát tr t và h s ma sát l n gi a qu c u và sàn l n l t là ,

Gi i :

Thanh ngay tr c va ch m :

0 2

2 0

2

cos 1

3

3

1

; cos 1 2

2

1

L

g

ML J

L

Mg

J

ngay sau Va ch m :

1

0 2

1 2

cos 1 2

1 2

1

2

1

J

mvL

MgL J

mv

Gi i các ph ng trình ta c :

v

G

A

0

0 1

0

cos 1 3 3

3

3

cos 1 3

2

L

g m

M

m

M

m M

gL

M

v

a Chuy n ng c a thanh ngay sau va ch m :

Thanh ng h n l i : 1 0 M 3m

Thanh quay cùng chi u: 1 0 M 3m

Thanh quay ng c chi u: 1 0 M 3m

Thanh dao ng u hòa :

2 1 2

1 cos

1

2

1

J MgL

2 0

2

1 cos

1

2

1

J MgL

0 2

0

2 2

2 1 0

10 cos 3

cos 3 12

cos

3

3 cos

1

cos

1

m M

m M Mm

m M

m M

Chu k dao ng nh :

g

L Mgd

J T

3

2 2 2

b Chuy n ng c a qu c u :

* L n không tr t :

mg R F

mR

F

ma

ms

ms

2

5

2

Vì a R nên ta có :

R mg

mg R F

g R a

ms

7

5 7

5 7 5

Th i gian l n cho n lúc d ng l i và quãng ng i c :

a

v S

a

v

T

2

;

2

* L n có tr t :

R R

g R mg

mgR

mR

g a mg

ma

2

5 5

Sau th i gian t thì qu c u l n không tr t :

g R

v t

at

v

t

R

5 7 2

Câu 14 : a M t thanh kh i l ng M chi u dài l quay c quanh tr c O Thanh c

th ra t tr ng thái n m ngang, khi n v trí th ng ng thanh va ch m àn h i vào

t v t nh kh i l ng m n m trên m t bàn Xác nh v n t c c a v t m ngay sau va

ch m

b Xác nh quãng ng S mà v t i c bi t h s ma sát gi a v t và m t bàn là

Bi t ngay sau va ch m thanh ng yên

Gi i :

a V n t c c a v t ngay sau va ch m :

nh lu t b o toàn c n ng :

l

g

Ml J

l

Mg

J

3

3

1 2

2

c khác :

1

2 1 2

2

1 2

1

2

1

J

mvl

Mgl J

mv

Gi i các ph ng trình này ta c :

m

M

gl

M

v

3

3

2

l

g m

M

m

3

3

1

b Sau va ch m thanh d ng l i nên ta có :

3

2

2

2 2

3

3 3

1 3

1

m

gl

M

v

l

g Ml Ml

J

mvl

nh lý ng n ng :

2

2

2

6

2

1

m

l

M

S

mv mgS

A

Câu 15 : M t v t có kh i l ng m1 c n i v i s i dây cu n vào tr ng O, kh i l ng

m2, bán kính R G n vào O thanh m nh OA, d i tác d ng c a l c G vuông góc v i thanh t i u A làm cho tr ng quay và kéo v t M lên Xác nh chuy n ng c a v t

m1 và s c c ng T c a dây treo Coi tr ng là kh i tr ng ch t

Gi i :

Áp d ng nh lý bi n thiên monen ng l ng v i tr c oz qua O và vuông góc v i m t

ph ng hình v , v là v n t c c a v t m1 :

O

O

G

l

s

m1

dt

L

d

2

2 1

gR

m

Gl

1 2

1

2

2

m m

R

gR m Gl

a

Th c hi n tích phân hai l n v i u ki n u b ng không ta c :

2 1 2

1

2

2

t m

m

R

gR m

Gl

s

Áp d ng nh lu t II Newton cho chuy n ng c a v t m1 :

R m m

Gl gR m m T a

m

g

m

T

1 2

2 1 1

1

2 2

Câu 16 : M t v t r n quay quanh m t tr c c nh kh i ng t tr ng thái ng yên,

ch u tác d ng c a momen quay không i M và c a momen c n 2

a

M c , trong ó a

là h ng s và là v n t c góc c a v t Momen quán tính c a v t i v i tr c quay là

J Tìm lu t bi n thiên c a v n t c góc theo th i gian và tìm giá tr gi i h n v n t c góc

a v t

áp s :

a

M Ma

J e

e a

M

t gh t

t

lim

;

2

; 1 1

x a

x a a x a

dx

ln 2

1

2 2

Câu 17 : M t v t kh i l ng m tr t trên m t ph ng nghiêng và làm quay m t bánh

xe có bán kính R Momen quán tính c a bánh xe i v i tr c quay là J, h s ma sát

tr t gi a v t và m t ph ng nghiêng là k Tìm gia t c góc c a bánh xe

áp s :

2 cos sin

mR J

k Rmg

Câu 18: Các v t n ng A và B c n i v i nhau b ng m t s i dây không dãn v t qua ròng r c C Khi v t n ng A có tr ng l ng P1 h xu ng d i, ròng r c C có tr ng

ng P3 quay xung quanh tr c n m ngang c nh c a nó, còn v t n ng B có tr ng

ng P2 c nâng lên theo m t ph ng nghiêng v i ph ng ngang m t góc Cho

bi t ròng r c C là a tròn ng ch t có bán kính R, có momen c n t lên nó là MC, h

ma sát gi a v t B và m t ph ng nghiêng là f, b qua kh i l ng c a dây.Xác nh gia t c c a v t A

áp s :

2

1 )

cos (sin

3 2 1

2 1

P P P R

M f

P P g

A

B R

P

Câu 19 : M t tr tròn xoay ng ch t có th quay c quanh tr c th ng ng, trên

t tr có m t rãnh xo n nh n hình xo n c v i g c nghiêng là Ban u h ng yên Th nh cho m t viên bi có kh i l ng m theo r nh xo n y thì kh i tr c ng quay i Momen quán tính c a tr i v i tr c quay c a nó b ng 2

2

1

MR trong ó R là bán kính kh i tr Xác nh t c g c c a kh i tr khi viên bi ã chuy n ng xu ng

c m t cao b ng h

Gi i :

b o toàn momen ng l ng theo ph ng ngang :

R R v

m

Trong ó vxy là v n t c viên bi i v i kh i tr , R là v n t c dài c a m trên vành

2

1

MR

m

m M

v xy

2 2

m

m M tg

v

v z xy

2 2

b o toàn n ng l ng :

mgh tg

R m

m M R

m

M m MR

mgh v

R v m

2 2 2 2 2

2

2

2 2 2

2

2 2

2

1 4

1

2

1

2

1

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

cos 8

sin 4 sin

4 sin

cos cos

2 2

2 2 2

cos 8

sin 2

M

2 sin 2 2

2 cos

2

m M m M

gh R

m

Câu 20 : M t bàn tròn quay quanh tr c i x ng th ng ng v i gai t c g c không

i T i th i m khi v n t c góc c a bàn b ng 0, m t chi c a tròn ng ch t, kh i

ng m, bán kính R nh h n bán kính c a bàn, c t ng tâm lên bàn, tâm c a

a luôn luôn trùng v i tr c quay c a bàn H s ma sát gi a a và bàn b ng , t c góc ban u c a a b ng không Kh o sát chuy n ng c a a và bi n lu n các

tr ng h p có th x y ra

Gi i :

Momen c a l c ma sát tác d ng lên a :

mgR M

M

R

i

3

2

0

Ph ng trình chuy n ng c a a :

B

A

C R

P1

P2