Công Nghệ RoBot Trông Công Nghiệp - Nguyễn Trung Hòa phần 4 doc

Robot công nghiệp 33 Ví dụ sau đây trình bày chi tiết của các bớc khi thiết lập hệ phơng trình động học của robot : Cho một robot có ba khâu, cấu hình RRT nh hình 3.11. Hãy thiết lập hệ phơng trình động học của robot. 1. Gắn hệ toạ độ lên các khâu : Ta giả định vị trí ban đầu và chọn gốc toạ độ O 0 của robot nh hình 3.12. Các trục z đặt cùng phơng với các trục khớp. Ta thấy trục z 1 đã quay tơng đối một góc 90 0 so với trục z 0 , đây chính là phép quay quanh trục x 0 một góc 1 (phép biến đổi Rot(x 0 , 1 ) trong biểu thức tính A n ). Nghĩa là trục x 0 vuông góc với z 0 và z 1 . Ta chọn chiều của x 0 từ trái sang phải thì góc quay 1 =90 0 (chiều dơng ngợc chiều kim đồng hồ). Đồng thời ta cũng thấy gốc O 1 đã tịnh tiến một đoạn dọc theo z 0 , so với O 0 , đó chính là phép biến đổi Trans(0,0,d 1 ) (tịnh tiến dọc theo z 0 một đoạn d 1 ) ; các trục y 0 ,và y 1 xác định theo qui tắc bàn tay phải (Hình 3.12 ) . Tiếp tục chọn gốc tọa độ O 2 đặt trùng với O 1 vì trục khớp thứ ba và trục khớp thứ hai cắt nhau tại O 1 (nh hình 3.12). Trục z 2 cùng phơng với trục khớp thứ ba, tức là đã quay đi một góc 90 0 so với z 1 quanh trục y 1 ; phép biến đổi nầy không có trong biểu thức tính A n nên không dùng đợc, ta cần chọn lại vị trí ban đầu của robot (thay đổi vị trí của khâu thứ 3) nh hình 3.13. Theo hình 3.13, O 2 vẫn đợc đặt trùng với O 1 , trục z 2 có phơng thẳng đứng, nghĩa là ta đã quay trục z 1 thành z 2 quanh trục x 1 một góc -90 0 (tức 2 = -90 0 ). Đầu cuối của khâu thứ 3 không có khớp, ta đặt O 3 tại điểm giữa của các ngón tay, và trục z 3 , x 3 chọn nh hình vẽ, nh vậy ta đã tịnh tiến gốc toạ độ dọc theo z 2 một đoạn d 3 (Phép biến đổi Trans(0,0,d 3 )), vì đây là khâu tịnh tiến nên d 3 là biến . H ình 3.12 : Gắn các h ệ to ạ đ ộ O 0 và O 1 y 1 x 1 y 0 z 1 z 2 O 1 , O 2 O 0 z 0 1 2 d 3 x 0 d 1 1 2 d 3 H ình 3.11 : Robot RR T x 2 O 3 O 2 z 2 z 3 z 0 O 0 x 0 O 1 y 1 d 1 x 1 y 0 z 1 1 2 d 3 x 3 d 3 H ình 3.13 : Hệ toạ độ gắn lên các khâu TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 34 Nh vậy việc gắn các hệ toạ độ lên các khâu của robot đã hoàn thành. Thông qua các phân tích trên đây, ta có thể xác định đợc các thông số DH của robot. 2. Lập bảng thông số DH : Khâu i i a i d i 1 1 * 90 0 d 1 2 i * -90 0 0 3 0 0 0 d 3 * 3. Xác định các ma trận A : Ma trận A n có dạng : cos -sin cos sin sin 0 A n = sin cos cos -cos sin 0 0 sin cos d 0 0 0 1 Với qui ớc viết tắt : C 1 = cos 1 ; S 1 = sin 1 ; C 2 = cos 2 . . . C 1 0 S 1 0 A 1 = S 1 0 -C 1 0 0 1 0 d 1 0 0 0 1 C 2 0 -S 2 0 A 2 = S 2 0 C 2 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 A 3 = 0 1 0 0 0 0 1 d 3 0 0 0 1 4. Tính các ma trận biến đổi thuần nhất T : + Ma trận 2 T 3 = A 3 + Ma trận 1 T 3 = A 2 . 2 T 3 C 2 0 -S 2 0 1 0 0 0 C 2 0 -S 2 -S 2 *d 3 1 T 3 = S 2 0 C 2 0 0 1 0 0 = S 2 0 C 2 C 2 *d 3 0 -1 0 d 2 0 0 1 d 3 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + Ma trận T 3 = A 1 . 1 T 3 C 1 0 S 1 0 C 2 0 -S 2 -S 2 *d 3 T 3 = S 1 0 -C 1 0 S 2 0 C 2 C 2 *d 3 0 1 0 d 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 35 C 1 C 2 -S 1 -C 1 S 2 -C 1 S 2 d 3 = S 1 d 2 C 1 -S 1 S 2 -S 1 S 2 d 3 S 2 0 C 2 C 2 d 3 + d 1 0 0 0 1 Ta có hệ phơng trình động học của robot nh sau : n x = C 1 C 2 ; O x = -S 1 ; a x = -C 1 S 2 ; p x = -C 1 S 2 d 3 n y = S 1 C 2 ; O y = C 1 ; a y = -S 1 S 2 ; p y = -S 1 S 2 d 3 n z = S 2 O z = 0; a z = C 2 ; p z = C 2 d 3 + d 1 ; (Ta có thể sơ bộ kiểm tra kết quả tính toán bằng cách dựa vào toạ độ vị trí p x ,p y , p z đã tính so với cách tính hình học trên hình vẽ). 3.9. Hệ phơng trình động học của robot STANFORD : Stanford là một robot có 6 khâu với cấu hình RRT.RRR (Khâu thứ 3 chuyển động tịnh tiến, năm khâu còn lại chuyển động quay). Kết cấu của robot Stanford nh hình 3.14 : Hình 3.14 : Robot Stanford TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 36 Trên hình 3.15 trình bày mô hình của robot Stanford với việc gắn các hệ toạ độ lên từng khâu. Để đơn giản trong khi viết các phơng trình động học của robot, ta qui ớc cách viết tắt các hàm lợng giác nh sau : C 1 = cos 1 ; S 1 = sin 1 ; C 12 = cos( 1 + 2 ); S 12 = sin( 1 + 2 ) S 234 = sin ( 2 + 3 + 4 ) . Hệ toạ độ gắn lên các khâu của robot nh hình 3.15. (Khâu cuối có chiều dài và khoảng cách bằng không, để có thể gắn các loại công cụ khác nhau nên chọn O 6 O 5 ). Bảng thông số DH (Denavit-Hartenberg) của robot Stanford nh sau : Khâu i i a i d i 1 1 * -90 0 0 0 2 2 * 90 0 0 d 2 3 0 0 0 d 3 * 4 4 * -90 0 0 0 5 5 * 90 0 0 0 6 6 * 0 0 0 (* : Các biến khớp). Các ma trậm A của robot Stanford đợc xác định nh sau : C 1 0 -S 1 0 C 2 0 S 2 0 A 1 = S 1 0 C 1 0 A 2 =S 2 0 -C 2 0 0 -1 0 0 0 1 0 d 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 C 4 0 -S 4 0 A 3 = 0 1 0 0 A 4 =S 4 0 C 4 0 0 0 1 d 3 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C 5 0 S 5 0 C 6 -S 6 0 0 A 5 = S 5 0 -C 5 0 A 6 =S 6 C 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 d 2 d 3 z 4 z 3 ,z 5 ,z 6 z 2 O 0 ,O 1 x i x 0 z 0 z 1 H ình 3.15 : Hệ toạ độ của Robot Stanfor d O 3 ,O 4, O 5 ,O 6 x 1 O 2 Tích của các ma trận chuyển vị A đối với robot Stanford đợc bắt đầu ở khâu 6 và chuyển dần về gốc; theo thứ tự nầy ta có : TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 37 C 6 -S 6 0 0 T 6 5 = S 6 C 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C 5 C 6 -C 5 S 6 S 5 0 T 6 4 = A 5 A 6 =S 5 C 6 -S 5 S 6 -C 5 0 S 6 C 6 0 0 0 0 0 1 C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 -S 4 C 6 C 4 S 5 0 T 6 3 = A 4 A 5 A 6 =S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 S 4 S 5 0 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 C 4 C 5 C 6 -S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 - S 4 C 6 C 4 S 5 0 T 6 2 = A 3 A 4 A 5 A 6 = S 4 C 5 C + C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 S 4 S 5 0 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 d 3 0 0 0 1 C 2 (C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 ) - S 2 S 5 C 6 -C 2 (C 4 C 5 S 6 -S 4 C 6 )+S 2 S 5 S 6 T 6 1 =A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 = S 2 (C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 ) + C 2 S 5 C 6 -S 2 (C 4 C 5 S 6 +S 4 C 6 )-C 2 S 5 S 6 S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 +C 4 C 6 0 0 C 2 C 4 S 5 + S 2 C 5 S 2 d 3 S 2 C 4 S 5 - C 2 C 5 -C 2 d 3 S 4 S 5 d 2 0 1 Cuối cùng : n x O x a x p x T 6 = n y O y a y p y = A 1 T 6 1 n z O z a z p z 0 0 0 1 Để tính T 6 , ta phải nhân A 1 với T 6 1 sau đó cân bằng các phần tử của ma trận T 6 ở hai vế ta đợc một hệ thống các phơng trình sau : n x = C 1 [C 2 (C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 ) - S 2 S 5 C 6 ] - S 1 (S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 ) n y = S 1 [C 2 (C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 ) - S 2 S 5 C 6 ] + C 1 (S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 ) n z = -S 2 (C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 ) + C 2 S 5 C 6 O x = C 1 [-C 2 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + S 2 S 5 S 6 ] - S 1 (-S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 ) O y = S 1 [-C 2 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + S 2 S 5 S 6 ] + C 1 (-S 4 C 5 C 6 + C 4 C 6 ) O z = S 2 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C 6 ) + C 2 S 5 S 6 a X = C 1 (C 2 C 4 S 5 + S 2 C 5 ) - S 1 S 4 S 5 a y = S 1 (C 2 C 4 S 5 + S 2 C 5 ) + C 1 S 4 S 5 a z = -S 2 C 4 S 5 + C 2 C 5 p x = C 1 S 2 d 3 - S 1 d 2 p y = S 1 S 2 d 3 + C 1 d 2 p z = C 2 d 3 TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 38 Nếu ta biết đợc các giá trị của biến khớp, thì vị trí và hớng của bàn tay robot sẽ tìm đợc bằng cách xác định các giá trị các phần tử của T 6 theo các phơng trình trên. Các phơng trình trên gọi là hệ phơng trình động học thuận của robot Stanford. 3.10. Hệ phơng trình động học của robot ELBOW : Để hiểu rõ hơn về cách thiết lập hệ phơng trình động học của robot, ta xét thêm trờng hợp robot Elbow. Khâu 1 Khâu 2 Khâu 3 Khâu 4 Khâu 5 Khâu 6 H ình 1.16 : Robot Elbow 1 2 3 4 6 z 4 z 0 a 5 = a 6 = 0 z 2 z 3 z 5 ,z 6 x i O 0 ,O 1 a 2 a 3 a 4 5 O 2 ,O 5 ,O 6 O 3 O 2 z 1 H ình 1.17 : Vị trí ban đầu của robot Elbow và các hệ toạ độ Bộ thông số DH của robot Elbow Khâu i * i a i d i 1 1 90 0 0 0 2 2 0 a 2 0 3 3 0 a 3 0 4 4 -90 0 a 4 0 5 5 90 0 0 0 6 6 0 0 0 (* : các biến khớp ) Các ma trận A của robot Elbow đợc xác định nh sau : C 1 0 S 1 0 C 2 -S 2 0C 2 a 2 A 1 = S 1 0 -C 1 0 A 2 =S 2 C 2 0S 2 a 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 39 C 3 -S 3 0 C 3 a 3 C 4 0 -S 4 C 4 a 4 A 3 = S 3 C 3 0 S 3 a 3 A 4 =S 4 0 C 4 S 4 a 4 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C 5 0 S 5 0 C 6 -S 6 0 0 A 5 = S 5 0 -C 5 0 A 6 =S 6 C 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Ta xác định các ma trận T theo các hệ toạ độ lần lợt từ khâu cuối trở về gốc : C 6 -S 6 0 0 T 6 5 = S 6 C 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C 5 C 6 -C 5 S 6 S 5 0 T 6 4 = A 5 A 6 =S 5 C 6 -S 5 S 6 -C 5 0 S 6 C6 0 0 0 0 0 1 C 4 C 5 C 6 - S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 -S 4 C 6 C 4 S 5 C 4 a 4 T 6 3 = A 4 A 5 A 6 = S 4 C 5 C 6 +C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 +C 4 C 6 S 4 S 5 S 4 a 4 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 C 34 C 5 C 6 - S 34 S 6 -C 34 C 5 C 6 - S 34 C 6 C 34 S 5 C 34 a 4 +C 3 a 3 T 6 2 = A 3 A 4 A 5 A 6 = S 34 C 5 C 6 +C 34 S 6 -S 34 C 5 S 6 +C 34 C 6 S 34 S 5 S 34 a 4 +S 3 a 3 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 T 6 1 =A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 = C 234 C 5 C 6 - S 234 S 6 -C 234 C 5 S 6 - S 234 C 6 C 234 S 5 C 234 a 4 +C 23 a 3 +C 2 a 2 S 234 C 5 C 6 + C 234 S 6 -S 234 C 5 S 6 + C 234 C 6 S 234 S 5 S 234 a 4 +S 23 a 3 +S 2 a 2 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 Cuối cùng : n x O x a x p x T 6 = n y O y a y p y = A 1 T 6 1 n z O z a z p z 0 0 0 1 Để tính T 6 , ta phải nhân A 1 với T 6 1 sau đó cân bằng các phần tử của ma trận T 6 ta đợc một hệ thống các phơng trình sau : TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 40 n x = C 1 (C 234 C 5 C 6 - S 234 S 6 ) - S 1 S 5 C 6 n y = S 1 (C 234 C 5 C 6 - S 234 S 6 ) + C 1 S 5 C 6 n z = S 234 C 5 C 6 + C 234 S 6 O x = -C 1 (C 234 C 5 S 6 + S 234 C 6 ) + S 1 S 5 S 6 O y = -S 1 (C 234 C 5 S 6 + S 234 C 6 ) - C 1 S 5 S 6 O z = -S 234 C 5 S 6 + C 234 C 6 a X = C 1 C 234 S 5 + S 1 C 5 a y = S 1 C 234 S 5 - C 1 C 5 a z = S 234 S 5 p x = C 1 (C 234 a 4 + C 23 a 3 + C 2 a 2 ) p y = S 1 (C 234 a 4 + C 23 a 3 + C 2 a 2 ) p z = S 234 a 4 + S 23 a 3 + S 2 a 2 Cột đầu tiên của ma trận T 6 có thể đợc xác định bởi tích vectơ : r r r n=Ox a. 3.11. Kết luận : Trong chơng nầy chúng ta đã nghiên cứu việc dùng các phép biến đổi thuần nhất để mô tả vị trí và hớng của khâu chấp hành cuối của robot thông qua việc xác lập các hệ toạ độ gắn lên các khâu và các thông số DH. Phơng pháp nầy có thể dùng cho bất cứ robot nào với số khâu (khớp) tuỳ ý. Trong quá trình xác lập các hệ toạ độ mở rộng ta cũng xác định đợc vị trí dừng của mỗi robot. Tuỳ thuộc kết cấu của robot cũng nh công cụ gắn lên khâu chấp hành cuối mà ta có thể đa các thông số của khâu chấp hành cuối vào phơng trình động học hay không. Việc tính toán các ma trận T để thiết lập hệ phơng trình động học của robot thờng tốn nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn, ta có thể lập trình trên máy tính để tính toán (ở dạng ký hiệu) nhằm nhanh chóng xác định các ma trận A n và thiết lập hệ phơng trình động học của robot . Thiết lập hệ phơng trình động học của robot là bớc rất quan trọng để có thể dựa vào đó lập trình điều khiển robot. Bài toán nầy thờng đợc gọi là bài toán động học thuận robot. Việc giải hệ phơng trình động học của robot đợc gọi là bài toán động học ngợc, nhằm xác định giá trị của các biến khớp theo các thông số đã biết của khâu chấp hành cuối; vấn đề nầy ta sẽ nghiên cứu trong chơng tiếp theo. Bài tập chơng III : Bài 1 : Cho ma trận : ? 0-10 T 6 = ? 0 0 1 ? -1 0 2 ? 0 0 1 là ma trận biểu diễn hớng và vị trí của khâu chấp hành cuối. Tìm các phần tử đợc đánh dấu ? Bài 2 : Cho một robot có 3 khâu phẳng nh hình 3.18, cấu hình RRR. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 41 Bài 3 : Cho một robot có 2 khâu tịnh tiến nh hình 3.19, cấu hình TT. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. H ình 3.18 : Robot cấu hình RRR H ình 3.19 : Robot cấu hình T T Bài 4 : Cho một robot có 2 khâu phẳng nh hình 3.20, cấu hình RT. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. Bài 5 : Cho một robot có 3 khâu nh hình 3.21, cấu hình RTR. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. H ình 3.20 : Robot cấu hình R T H ình 3.21 : Robot cấu hình RTR Bài 6 : Cho một robot có 3 khâu nh hình 3.22, cấu hình RRR. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. H ình 3.23 : Robot cấu hình RRRRR H ình 3.22 : Robot cấu hình RRR Bài 7 : Cho một robot có 5 khâu nh hình 3.23, cấu hình RRRRR. Thiết lập hệ phơng trình động học của robot. TS. Phạm Đăng Phớc Robot công nghiệp 42 Chơng IV Giải phơng trình động học robot hay phơng trình động học ngợc (Invers Kinematic Equations) Trong chơng 3, ta đã nghiên cứu việc thiết lập hệ phơng trình động học của robot thông qua ma trận T 6 bằng phơng pháp gắn các hệ toạ độ lên các khâu và xác định các thông số DH. Ta cũng đã xét tới các phơng pháp khác nhau để mô tả hớng của khâu chấp hành cuối nh các phép quay Euler, phép quay Roll-Pitch và Yaw .v.v Trong chơng nầy chúng ta sẽ tiến hành giải hệ phơng trình động học đã thiết lập ở chơng trớc nhằm xác định các biến trong bộ thông số Denavit - Hartenberg khi đã biết ma trận vectơ cuối T 6 . Kết quả của việc giải hệ phơng trình động học đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc điều khiển robot. Thông thờng, điều ta biết là các vị trí và hớng mà ta muốn robot phải dịch chuyển tới và điều ta cần biết là mối quan hệ giữa các hệ toạ độ trung gian để phối hợp tạo ra chuyển động của robot, hay nói cách khác đó chính là giá trị của các biến khớp ứng với mỗi toạ độ và hớng của khâu chấp hành cuối hoặc công cụ gắn lên khâu chấp hành cuối, muốn vậy ta phải giải hệ phơng trình động học của robot. Việc nhận đợc lời giải của bài toán động học ngợc là vấn đề khó mà ta sẽ nghiên cứu trong chơng nầy. Nhiệm vụ của bài toán là xác định tệp nghiệm ( 1 , 2 , , 6 ,d i *) khi đã biết hình thể của robot thông qua vectơ cuối T 6 (khái niệm hình thể của robot bao gồm khái niệm về vị trí và hớng của khâu chấp hành cuối : Configuration = Position + Orientation). Cũng cần lu ý rằng, đa số các robot có bộ Teach pendant là thiết bị dạy học, có nhiệm vụ điều khiển robot đến các vị trí mong muốn trong động trình đầu tiên (điều khiển điểm : Point to point ), các chuyển động nầy sẽ đợc ghi lại vào bộ nhớ trung tâm (CPU) của robot hoặc máy tính điều khiển robot, sau đó robot có thể thực hiện lại đúng các động tác đã đợc học. Trong quá trình hoạt động của robot, nếu dạng quĩ đạo đờng đi không quan trọng thì không cần lời giải của bài toán động học ngợc. 4.1. Các điều kiện của bài toán động học ngợc : TS. Phạm Đăng Phớc [...]... hợp Nh vậy ta có : ( 4- 1 ) Euler (,,) = T6 Vế trái của phơng trình ( 4- 1 ) đã đợc biểu diễn bằng công thức ( 3 -4 ) , nên ta có : cosCoscos - sinsin sinCoscos + cossin -sin cos 0 -cosCossin - sincos -sinCossin + coscos sin sin 0 nx ny nz 0 cossin sinsin cos 0 Ox Oy Oz 0 ax ay az 0 0 0 0 1 px py pz 1 = ( 4- 2 ) Lần lợt cho cân bằng các phần tử tơng ứng của hai ma trận trong phơng trình ( 4- 2 ) ta có các phơng trình.. .43 Robot công nghiệp Việc giải bài toán động học ngợc của robot cần thoả mãn các điều kiện sau : 4. 1.1 Điều kiện tồn tại nghiêm : Điều kiện nầy nhằm khẳng định : Có ít nhất một tệp nghiệm (1,2, ,6,di*) sao cho robot có hình thể cho trớc (Hình thể là khái niệm mô tả tờng minh của vectơ cuối T6 cả về vị trí và hớng) 4. 1.2 Điều kiện duy nhất của tệp nghiệm : Trong... phơng pháp cơ bản sau : + Phơng pháp giải tích (Analytical Method) : tìm ra các công thức hay các phơng trình toán giải tích biểu thị quan hệ giữa các giá trị của không gian biến trục và các thông số khác của bộ thông số DH + Phơng pháp số (Numerical Method) : Tìm ra các giá trị của tệp nghiệm bằng kết quả của một quá trình lặp 4. 2 Lời giải của phép biến đổi Euler : Trong chơng 3 ta đã nghiên cứu về phép . S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 -S 4 C 6 C 4 S 5 C 4 a 4 T 6 3 = A 4 A 5 A 6 = S 4 C 5 C 6 +C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 +C 4 C 6 S 4 S 5 S 4 a 4 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 C 34 C 5 C 6 - S 34 S 6 -C 34 C 5 C 6 - S 34 C 6 C 34 S 5 C 34 a 4 +C 3 a 3 T 6 2 . C 2 34 C 5 C 6 - S 2 34 S 6 -C 2 34 C 5 S 6 - S 2 34 C 6 C 2 34 S 5 C 2 34 a 4 +C 23 a 3 +C 2 a 2 S 2 34 C 5 C 6 + C 2 34 S 6 -S 2 34 C 5 S 6 + C 2 34 C 6 S 2 34 S 5 S 2 34 a 4 +S 23 a 3 +S 2 a 2 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0. S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 -S 4 C 6 C 4 S 5 0 T 6 3 = A 4 A 5 A 6 =S 4 C 5 C 6 + C 4 S 6 -S 4 C 5 S 6 + C 4 C 6 S 4 S 5 0 -S 5 C 6 S 5 S 6 C 5 0 0 0 0 1 C 4 C 5 C 6 -S 4 S 6 -C 4 C 5 S 6 - S 4 C 6 C 4 S 5 0