Hỏi cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng?. Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH.. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A.. T
Trang 1
đề chọn học sinh năng khiếu
NĂM HỌC 2009-2010 Mụn thi : Toỏn 7
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/3/2010
-Cõu 1: Tỡm cỏc số x, y, z biết.
a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 x 5x 3
c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Cõu 2:
a/ Tỡm số dư khi chia 22011 cho 31
b/ Với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
c/ Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món: 6x2 + 5y2 = 74
Cõu 3:
a/ Cho tỉ lệ thức a b
b c Chứng minh rằng ta cú tỉ lệ thức: a22 b22 a
b c c
b/ Trờn bảng cú ghi cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỡ và thay vào bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng thỡ dừng lại Hỏi cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch?
Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH Vẽ về phớa ngoài tam giỏc
ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A Từ E và F kẻ đường vuụng gúc EK
và FN với đường thẳng HA
a/ Chứng minh rằng: EK = FN
b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để EF = 2AI
Cõu 5:
a/ Cho bốn số khụng õm thỏa món điều kiện a + b + c + d = 1 Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ bốn số a, b, c, d Hỏi S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu
b/ Cho tam giỏc nhọn ABC với BAC = 600 Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB AC
-Hết -(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
HƯỚNG DẪN CHẤM chọn học sinh năng khiếu
MễN: TOÁN 7
========================================
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5
b
0,5đ
9 7 x 5x 3 Điều kiện: x 3
5
=> 9 79 7 x x53 5x 3x
=>122x x612 x x13
(Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3
0,5
c 0,5đ
x - 3 x = 0 Điều kiện x 0
=> x x 3 = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
d
0,5đ
12x = 15y = 20z =>
x y z
x y z x y z
2
(2,5đ) a, 1đ
Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 1 (mod31)
=> 22011 2 (mod31) Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2 1
b
0,75đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)
Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2 6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6
0,25 0,25 0,25
c 0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 74
6
mà x nguyên => x2 0;1; 4;9 Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2
5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y) (3, 2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)
0,25
0,25 0,25
3
1,75 đ a
1đ
Ta có a
c = a b.
b c => a
c =
= a22
b = b22
c = a22 b22
b c
Vậy nếu có tỉ lệ thức a b
b c ta có tỉ lệ thức: a22 b22 a
b c c
0,75 0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 = 2008.2009
2 = 1004.2009 là một số chẵn Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai
số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn
Nên tổng mới phải là một số chẵn
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1
0,25
0,25 0,25
Trang 3(2,5đ)
a 1,5
Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN
0,5 0,5 0,5
b 0,75đ
Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF
2
Mà AI = EF
2 (gt) => AI = EI = FI => IEA IAE và IAF IFA
=> EAF = 900 => BAC = 900
Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25 0,25
5
(1,25đ)
a 0,75đ
Giả sử a b c d 0
Ta có S = a b b c c d a c a d b d
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d 0 => S 3a + b Mặt khác a + b + c + d = 1 => a 1
Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b 2.1 + 1 = 3 Dấu bằng xảy ra khi
c 3d 0
1 1
a b c d a
<=> a b c d1 0
Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng
1 còn ba số bằng 0
0,25 0,25
0,25
b 0,5đ
Kẻ BH AC
Vì BAC 600 => ABH = 300 => AH =
2
AB
(1)
Áp dụng dịnh lí Pytago ta có
AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2
=> BC2 = AB2 – AH2 + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
=> BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2
=> BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
0,25
0,25
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa
K I
H
E
C B
A
H
C B
A