Giáo viên Trần Quyền Anh Trờng THCS Hiền Quan đề chọn học sinh năng khiếu NM HC 2009-2010 Mụn thi : Toỏn 7 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 16/3/2010 Cõu 1: Tỡm cỏc s x, y, z bit. a/ (x 1) 3 = - 8 b/ 9 7 5 3x x = c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z v x + y + z = 48 Cõu 2: a/ Tỡm s d khi chia 2 2011 cho 31 b/ Vi a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho a + 1 v b + 2007 chia ht cho 6. Chng minh rng: 4 a + a + b chia ht cho 6 c/ Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món: 6x 2 + 5y 2 = 74 Cõu 3: a/ Cho t l thc a b b c = . Chng minh rng ta cú t l thc: 2 2 2 2 a b a b c c + = + b/ Trờn bng cú ghi cỏc s t nhiờn t 1 n 2008, ngi ta lm nh sau: ly ra hai s bt kỡ v thay vo bng hiu ca chỳng, c lm nh vy n khi cũn mt s trờn bng thỡ dng li. Hi cú th lm trờn bng ch cũn li s 1 c khụng? Gii thớch? Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK v FN vi ng thng HA. a/ Chng minh rng: EK = FN. b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC EF = 2AI. Cõu 5: a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu. b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi ã BAC = 60 0 . Chng minh rng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB. AC. Ht (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) CHNH THC Gi¸o viªn TrÇn QuyÒn Anh Trêng THCS HiÒn Quan HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu MÔN: TOÁN 7 ======================================== Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 1 (2đ) a 0,5đ (x – 1) 3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5 b 0,5đ 9 7 5 3x x− = − Điều kiện: x ≥ 3 5 => 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x − = − − = − => 12 12 1 2 6 3 x x x x = = ⇒ = = (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3. 0,5 c 0,5đ x - 3 x = 0 Điều kiện x ≥ 0 => ( ) 3x x − = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 0 hoặc x = 9 0,5 d 0,5đ 12x = 15y = 20z => 5 4 3 x y z = = => 48 4 5 4 3 12 12 x y z x y z+ + = = = = = => x = 20; y = 16; z = 12 0,5 2 (2,5đ) a, 1đ Ta có 2 5 = 32 ≡ 1 (mod31) => (2 5 ) 402 ≡ 1 (mod31) => 2 2011 ≡ 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 2 2011 cho 31 là 2. 1 b 0,75đ Vì a nguyên dương nên ta có 4 a ≡ 1 (mod3) => 4 a + 2 ≡ 0 (mod3) Mà 4 a + 2 ≡ 0 (mod2) => 4 a + 2 M 6 Khi đó ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 M 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4 a + a + b chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 c 0,75đ Từ 6x 2 + 5y 2 = 74 => 6x 2 ≤ 74 => x 2 ≤ 74 6 mà x nguyên => x 2 ∈ { } 0;1;4;9 Mặt khác ta có x 2 + 1 = 75 – 5x 2 – 5y 2 M 5 => x 2 = 4 hoặc x 2 = 9 Nếu x 2 = 4 => y 2 = 10 (loại vì y nguyên) Nếu x 2 = 9 => y 2 = 4 => (x, y) ∈ { } (3,2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)− − − − 0,25 0,25 0,25 3 1,75 đ a 1đ Ta có a c = . a b b c => a c = 2 2 a b b c = ÷ ÷ = 2 2 a b = 2 2 b c = 2 2 2 2 a b b c + + . Vậy nếu có tỉ lệ thức a b b c = ta có tỉ lệ thức: 2 2 2 2 a b a b c c + = + 0,75 0,25 b 0,75đ Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 = 2008.2009 2 = 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn. Nên tổng mới phải là một số chẵn. Vậy trên bảng không thể còn lại số 1 0,25 0,25 0,25 4 (2,5đ) Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25 Gi¸o viªn TrÇn QuyÒn Anh Trêng THCS HiÒn Quan a 1,5 Chứng minh ∆ KAF = ∆ HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh ∆ NFI = ∆ HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN 0,5 0,5 0,5 b 0,75đ Chứng minh ∆ KEI = ∆ NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF 2 Mà AI = EF 2 (gt) => AI = EI = FI => · · IEA IAE= và · ¶ IAF IFA= => · EAF = 90 0 => · BAC = 90 0 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A 0,25 0,25 0,25 5 (1,25đ) a 0,75đ Giả sử 0a b c d ≥ ≥ ≥ ≥ Ta có S = a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + − => S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d => S = 3a + b – (c + 3d) Mà c + 3d ≥ 0 => S ≤ 3a + b Mặt khác a + b + c + d = 1 => a ≤ 1. Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b ≤ 2.1 + 1 = 3 Dấu bằng xảy ra khi c 3d 0 1 1 a b c d a + = + + + = = <=> 1 0 a b c d = = = = Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng 1 còn ba số bằng 0 0,25 0,25 0,25 b 0,5đ Kẻ BH ⊥ AC Vì · BAC 60 0 => · ABH = 30 0 => AH = 2 AB (1) Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB 2 = AH 2 + BH 2 và BC 2 = BH 2 + HC 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + CH 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + (AC – AH) 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + AC 2 – 2AH.AC + AH 2 => BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AH.AC (2) Từ (1) và (2) => ĐPCM 0,25 0,25 Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa K I H N F E C B A H C B A . 6 0,25 0,25 0,25 c 0 ,75 đ Từ 6x 2 + 5y 2 = 74 => 6x 2 ≤ 74 => x 2 ≤ 74 6 mà x nguyên => x 2 ∈ { } 0;1;4;9 Mặt khác ta có x 2 + 1 = 75 – 5x 2 – 5y 2 M 5 => x 2 = 4. ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a +1 + b + 20 07 – 2010 M 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 20 07 chia hết cho 6 thì 4 a + a + b chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 c 0 ,75 đ Từ. khiÕu MÔN: TOÁN 7 ======================================== Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 1 (2đ) a 0,5đ (x – 1) 3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5 b 0,5đ 9 7 5 3x x−