phÇn I con l¾c lß xo Bµi 1: Mét lß xo ®îc treo th¼ng ®øng, ®Çu trªn cña lß xo ®îc gi÷ chuyÓn ®éng ®Çu díi theo vËt nÆng cã khèi lîng m = 100g, lß xo cã ®é cøng k = 25 N/m KÐo vËt rêi khái VTCB theo ph¬ng th¼ng ®øng híng xuèng mét ®o¹n 2cm, truyÒn cho nã vËn tèc 10 3 π (cm/s) theo ph¬ng th¼ng ®øng híng lªn Chän gãc tg lµ lóc th¶ vËt, gèc to¹ ®é lµ VTCB, c d¬ng híng xuèng a ViÕt PTD§ b X¸c ®Þnh thêi ®iÓm vËt ®i qua vÞ trÝ mµ lß xo gi·n 2 cm lÇn thø nhÊt Lêi gi¶i a) T¹i VTCBO k∆l = mg mg ⇒ ∆l = +ω= k = k = m 0,1.10 25 l0 = 0,04 (m 25 = 5 10 = 5π 0,1 • - ∆l (Rad/s) + m dao ®éng ®iÒu ho¸ víi ph¬ng tr×nh ∆l x = Asin (ωt + ϕ) T¹i thêi ®iÓm t = 0 x = 2 cm > 0 •0(VTCB) ) •x v = 10π 3 (cm/s) 0 -10π 3 = 5π.Acosϕ →cosϕ 0 T¹i t = 0 x = 0,026 m/s > 0 v = -0,25 m/s 0 v = -25cm/s < 0 k = 250 (N/m) TM k = 94,67 (N/m) lo¹i 250 = 25 (Rad/s) 0,4 1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ= 3π Ra® 4 -25 = 25Acosϕ; cosϕ0 v = 0 cm/s 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ⇒ ϕ= 0 = ωAcos ; cosϕ = 0 VËy ph¬ng tr×nh dao ®éng lµ π 2 A = 10 (cm) π ) (cm) 2 2 Ta coi con l¾c ®îc g¾n vµo 1 lß xo cã ®é cøng K VËy lùc phôc håi lµ F = - kx x = 10sin (10πt + → Lùc phôc håi cùc ®¹i Fmax = +kA = 120,10 = 1,2N Bµi 4: Dïng hai lß xo cïng chiÒu dµi ®é cøng k = 25N/m treo 1 qu¶ cÇu khèi lîng m = 250 (g) theo ph¬ng th¼ng ®øng kÐo qu¶ cÇu xuèng díi VTCB 3 cm råi phãng víi vËn tèc ®Çu 0,4 2 cm/s theo ph¬ng th¼ng ®øng lªn trªn Bá qua ma s¸t (g = 10m/s2 ; π2 = 10) 1 Chøng minh vËt dao ®éng ®iÒu hoµ, viÕt PTD§? 2 TÝnh Fmax mµ hÖ lß xo t¸c dông lªn vËt? Lêi gi¶i 1 Chän trôc 0x th¼ng ®øng híng xuèng gèc 0 t¹i VTCB + Khi vËt ë VTCB lß xo kh«ng bÞ biÕn d¹ng + Khi vËt ë li ®é x th× x lµ ®é biÕn d¹ng cña mçi lß xo + Lùc ®µn håi ë hai lß xo b»ng nhau (VT 2 lß 1 xo cïng ®é cøng vµ chiÒu dµi vµ b»ng lùc ®µn håi 2 tæng céng) F = 2F0 ⇔ -Kx = -2kx ⇒ K = 2k + T¹i VTCB: → + P → = → 2P Hay mg - 2k∆lo = 0 0 (1) k k F0 F0 •O m P + + T¹i li ®é x; 2 lß xo cïng d·n ∆l = x + ∆l0 → Hîp lùc: → + → P 2F dh = F Tõ (1) (2) mg - 2k(∆l0 + x) = F (2) F = -2kx Theo ®Þnh luËt II Niut¬n : F = ma = mx''⇒ x''= − 2k x m → x = Asin (ωt + ϕ) VËy vËt D§§H + PTD§: T¹i t = 0 x = +3cm > 0 v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s) Ta cã hÖ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0 - 40 2 = 10 2 Acosϕ ; cosϕ < 0 2 Biªn ®é A = 32 + 40 2 = 5 cm 200 Ta cã hÖ 3 = 5sinϕ → sinϕ = 0,6 -40 2 = 10 2 5.cosϕ → ϕ 143,130 cos ϕ = -0,8 →ϕ ≈ 2,5 Rad PTD§ lµ x = 5sin (10 2 t + 2,5) (cm) e) Lùc mµ hÖ sè lß xo t¸c dông vµo vËt C¶ 2 lß xo coi nh mét lß xo ®é cøng K = 2k = 50 N/m ∆l0 = mg 0,25.10 = = 0,05 m = 5 (cm) K 50 Khi vËt ë vÞ trÝ thÊp nhÊt, lùc ®µn håi ®¹t cùc ®¹i F®hmax = K (A + ∆l0) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N) Bµi 5: Mét vËt cã khèi lîng m = 100g chiÒu dµi kh«ng ®¸ng kÓ ®îc nèi vµo 2 gi¸ chuyÓn ®éng A, B qua 2 lß xo L 1, L2 cã ®é cøng k1= 60N/m, k2= 40 N/m Ngêi ta kÐo vËt ®Õn vÞ trÝ sao cho L 1 bÞ d·n mét ®o¹n ∆l = 20 (cm) th× thÊy L2 kh«ng d·n, khi nÐn råi th¶ nhÑ cho vËt chuyÓn ®éng kh«ng vËn tèc ban ®Çu Bá qua ma s¸t vµ khèi lîng cña lß xo Chän gèc to¹ ®é t¹i VTCB, chiÒu d¬ng híng tõ A → B,chän t = 0 lµ lóc th¶ vËt a) CM vËt D§§H? b) ViÕt PTD§ TÝnh chu k× T vµ n¨ng lîng toµn phÇn E c) VÏ vµ tÝnh cêng ®é c¸c lùc do c¸c lß xo t¸c dông lªn gia cè ®Þnh t¹i A, T B ë thêi ®iÓm t= 2 Lêi gi¶i a) CM vËt D§§H → + Chän trôc to¹ ®é nh h×nh vÏ → F01 + Khi vËt ë VTCB lß xo L1 d·n ∆l1 F02 lß xo L2 d·n ∆l2 x Khi ®ã vËt ®Ó L1 d·n ∆l = 2cm ; 0 L2khi nÐn k d·n th× ∆l chÝnh lµ ®é biÕn d¹ng tæng céng cña vËt ë VTCB G x ∆l = ∆l1 + ∆l2 = 20 (cm) (1) → → → → → → → + Tæng hîp lùc b»ng 0 : P + N + F01 + F02 = 0 → F01 + F02 = 0 Hay + K1∆l1 - k2∆l2 = 0 (2) + Khi vËt cã li ®é x> 0 ®é d·n cña L1lµ (∆l1+ x) cm, L2 lµ (∆l2 - x) → → → → → Tæng hîp lùc P + N + F1 + F2 = m a Hay - k1 (∆l1+ x) + k2(∆l2 - x) = mx'' ⇔ - (k1+ k2) x = mx'' ⇒ x'' = − k1 + k 2 k + k2 x = −ω 2 − 1 m m víi ω2 = VËy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vËt D§§H b) ω = k 1+ k 2 = m 60 + 40 = 10π (Rad/s) 0,1 + Biªn ®é dao ®éng A = ∆l2 (v× A = B A 02 x + 2 = x = ∆l 2 ) ω 2 + Gi¶i (1), (2) ∆l1 + ∆l2 = 20 ∆l1= 8cm ∆l2= 12cm -> A = 12cm 60∆l1 + 400∆l2 = 0 t = 0 -> x0 = Asin ϕ = A → ϕ= v0= ωAcosϕ = 0 π 2 VËy PTD§ cña vËt x = 12 sin (10πt + Chu k× dao ®éng T = π ) (cm) 2 2π 2π = = 0,2 (s) ω 10π N¨ng lîng E = 1 KA 2 = 1 100.(,012) 2 = 0,72 (J) 2 2 c) VÏ vµ tÝnh cêng ®é c¸c lùc π + Khi t = T = 0,1 (s) th× x = 12 sin (10.0,1Π + ) = -12 (cm) 2 2 V× vËy, t¹i t = π vËt ë biªn ®é x = - A 2 T¹i vÞ trÝ nµy lß xo l1 bÞ nÐn 1 ®o¹n A - ∆l1 = 12 - 8 = 4 (cm) Lß xo L2 bÞ gi·n mét ®o¹n 2A = 24 (cm) → → + Lùc t¸c dông cña lß xo L1 vµ L2 lªn A, B lÇn lît lµ F1 , F2 F1 = 60.0,04 = 2,4 (N) → → F2 = 40.0,24 = 0,6 (N) ( F , F cïng chiÒu d¬ng) 1 2 Bµi 6: Cho hai c¬ hÖ ®îc bè trÝ nh c¸c h×nh vÏ a,b lß xo cã ®é cøng k = 20N/m VËt nÆng cã khèi lîng m, m = 100g; bá qua ma s¸t khèi lîng cña r2 vµ lß xo d©y treo k d·n Khèi lîng k ®¸ng kÓ 1 TÝnh ®é d·n lß xo trong mçi h×nh khi vËt ë VTCB 2 N©ng vËt lªn cho lß xo kh«ng biÕn d¹ng a b råi th¶ nhÑ, chøng tá vËt d®®h TÝnh chu k× vµ biªn ®é dao ®éng cña vËt Lêi gi¶i 1) H×nh a + Chän chiÒu d¬ng ox híng xuèng, gèc 0 t¹i VTCB + Ph¬ng tr×nh lùc → → → T0 + F0 = 0 → → → → T0 + P0 = 0 ChiÒu lªn ox → T0 -T0 + K∆l = 0 -T0+ mg = 0 T0 O ⇒ T0 = k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T0 = 1N → → F0 P + x ∆l = 0,05 (m) = 5 (cm) * H×nh b → Chän chiÒu d¬ng híng xuèng, O lµ VTCB ChiÕu lªn Ox F0 -T0 + mg = 0 → -k∆l + 2T0= 0 ⇒ T0 T0 = mg = 1 (N) 0 (VΠB) ∆l = 10 (cm) 2) Chøng minh vËt D§§H → P H×nh a: + Khi vËt ë VTCB lß xo d·n ∆l → k∆l - mg = 0 + Khi vËt ë li ®é x lß xo d·n ∆l + x F = mg - T → T - k(∆l + x) = 0 → → F = mg - k∆l0 - kx ⇒ F = -kx ¸p dông ®Þnh luËt II N → - kx = mx'' = − Víi ω = k x = −ω 2 x m k → x = Asin (ωt + ϕ) → vËt dao ®éng ®iÒu hoµ m * H×nh b: Khi vËt ë VTCB lß xo d·n ∆l → 1 k∆l - mg = 0 2 + x Khi vËt ë li ®é x lß xo d·n ∆l + x 2 mg - T = F 2T - k(∆l + → F = mg - x )=0 2 1 k k k∆l - x → F = − x 4 4 2 Hay − k x = mx'' → x = − 4 k x = - ω2 x víi ω = 4m k 4m x = Asin (ωt + ϕ) → vËt dao ®éng ®iÒu hoµ Bµi 7: Mét vËt cã khèi lîng m = 400g ®îc g¾n trªn mét lß xo dùng th¼ng ®øng cã ®é cøng k = 50 (N/m) ®Æt m1 cã khèi lîng 50 g lªn trªn m KÝch thÝch cho m dao ®éng theo ph¬ng th¼ng ®øng biªn ®é nhá, bá qua lùc ma s¸t vµ lùc c¶n T×m hiªn ®é dao ®éng lín nhÊt cña m, ®Ó m1 kh«ng víi khèi lîng m trong qu¸ tr×nh dao ®éng (g = 10m/s2) m1 m Lêi gi¶i Khi m1 kh«ng rêi khái m th× hai vËt cïng dao ®éng víi gia tèc a = ω2x Gi¸ trÞ lín nhÊt cña gia tèc (amax = ω2 A) NÕu m1 rêi khái m th× nã chuyÓn ®éng víi gia tèc träng trêng g VËy ®iÒu kiÖn ®Ó m1 kh«ng rêi khái m g amax < g ⇔ ω2A < g ⇒ A< 2 ω +ω= 50 10 k = 125 → A < → ω2= = 0,08 (m) = 8cm 0,4 125 m → Amax = 8cm Bµi 8: Cho 1 hÖ dao ®éng nh h×nh vÏ, khèi lîng lß xo kh«ng ®¸ng kÓ k = 50N/m, M = 200g, k M vo m0 cã thÓ trît kh«ng ma s¸t trªn mÆt ph¼ng ngang 1) KÐo m ra khái VTCB 1 ®o¹n a = 4cm råi bu«ng nhÑ TÝnh V TB cña M sau khi nã ®i qòang ®êng 2cm 2) Gi¶ sö M ®ang dao ®éng nh c©u trªn th× cã 1 vËt m 0 = 50g b¾n vµo M theo ph¬ng ngang víi vËn tèc v o Gi¶ thiÕt va ch¹m lµ kh«ng ®µn håi vµ x¶y ra t¹i thêi ®iÓm lß xo cã ®é dµi lín nhÊt T×m ®é lín v o , biÕt r»ng sau khi va ch¹m m0 g¾n chÆt vµo M vµ cïng dao ®éng ®iÒu hoµ víi A' = 4 2 cm Lêi gi¶i 1 - TÝnh vËn tèc TB 4 M1 • Mét d®®h cã thÓ coi lµ h×nh chiÕu cña chuyÓn ®éng trßn ®Òu cña 1 chÊt ®iÓm nh h×nh vÏ Kho¶ng thêi gian vËt ®i tõ x = 4 ®Õn x = 2 (cm) b»ng kho¶ng thêi gian vËt chuyÓn ®éng trßn ®Òu theo cung M1M2 t= a π víi ω = = ω 3ω -> t = M2• α + ω 2 k 50 = 5 π (Rad/s) = m 0,2 π 1 1 (s) = 3 5π 15 VTB = S = 30cm( s ) t 2 - Theo c©u 1, M cã li ®é x0 = a = 4 cm th× lóc ®ã lß xo cã chiÒu dµi lín nhÊt + Ngay sau va ch¹m, hÖ (M + m0) cã vËn tèc v §LBT ®éng lîng: (M + m0) v = m0.vo (1) + Sau v/c hÖ d®®h víi biªn ®é A' = 4 2 cm vµ tÇn sè gãc ω' = k = M + m0 50 = 10 2 (Rad/s) 0,2 + 0,05 l' = 0102 = f2 = 40mm + M¾t quan s¸t ¶nh cuèi cïng ®iÒu tiÕt tèi ®a → NC ë cùc cËn A2 ⇒ Cc ⇒ d3c = 0A2 = 0Cc = 140 mm d'2c = l' - d3c = - 100mm Suy ra kho¶ng c¸ch tõ ¶nh trung gian ®Õn TK L2 lµ d2c = d '2 c f2 200 = mm 7 d '2 c − f2 d'1c = l - d2c = 1200 mm 7 + Kho¶ng c¸ch tõ AB ®Õn VK ' d1c f1 400 d1c = ' = d1c − f1 313 + §ä dµi quang häc cña kÝnh: δ = l - (f1-+ f2) = 157 mm + §é béi gi¸c cña kÝnh: ' d1c − d '2 c = 169,5 Gc = |Kc| = d1c d 2 c PhÇn VIII kÝnh thiªn v¨n Bµi 1: ThiÕt lËp CT tÝnh béi gi¸c khi nc v« cùc Lêi gi¶i S§TA AB VK d1 l = 0102 M A1B1 TK A2B2 A3B3 (vâng m¹c) d'1 d2 d'2 d3 d'3 l' = 020 + Ng¾m chõng ë v« cùc : A2 ë xa v« cùc → 0A2 = ∞ d3 = ∞ → d'2 = l ' - d3 ≈-d3 = -∞ → 1 =0 d '2 ⇒d2 = f2 → A1 ≡F2 + VËt AB ë xa v« cùc nªn d1= ∞ ; d'1 = d1 f1 = f1 d1 − f1 ⇒A1 = F'1 + Tãm l¹i : A1 ≡F'1 ≡F2 l = 0102= d'1 + d2 = f1 + f2 + VT AB lµ nh÷ng thiªn thÓ ë rÊt xa nªn gãc trong vËt α0 lµ gãc trong vËt trùc tiÕp tõ tr¸i ®Êt hoÆc gãc trong vËt qua quang t©m 0 cña vËt kÝnh Ta cã: tg α0 = A1B 1 A1B 1 A1B1 = = = cos t 01 A 1 01 F1' F1 + A2B2 xa v« cùc nghÜa lµ chïm tia lã ra khái thÞ kÝnh lµ chïm tia song song → t¹o gãc trong ¶nh α nh sau: tg α = A1B 1 A1B 1 A1B 1 = = 0 2 A 1 0 2 F2 F2 (2) Do α , α0 lµ gãc 0 ¶nh A2B2 hiÖn lªn ë Cc: A2 ≡ Cc ⇒ d3 = d3c = 0Cc = 25 + Ta ®îc d'2c = l' - d3c = -d3c = - 25cm d '2 c f2 100 = cm → d2c = ' 29 d 2 c − f2 Kho¶ng c¸ch VK → TK lµ l = 0102 = d'1 + d2c = 120 + + Gãc trong vËt α 100 3850 = ≈ 123,45cm 29 29 A1B 1 A1B 1 = f1 120 : tgα0 = + Gãc trong ¶nh α : tgα = A 2 B 2 K 2c A1B 1 = 0A 2 0Cc d '2 c 25 = |K2C| = d 2c 4 Víi 0Cc = 25cm KÕt qu¶ Gc = f α tgα ≈ = K 2 C 1 = 34,8 α 0 tgα 0 0Cc Bµi 3: KHV cã f1 = 120 cm, f2 = 4cm, m¾t ngêi quan s¸t cã 0Cv = 50cm, m¾t ®Æt s¸t TK X¸c ®Þnh l = 0102 vµ Gv Lêi gi¶i S§TA AB d1 VK 01 M A1B1 TK A2B2 A30 3 (vâng m¹c) B 02 d'1 d2 d'2 d3 d'3 l = 0102 l' = 020 = 0 f1 = 120 cm f2 = 4cm + VËt AB ë rÊt xa: d1 = ∞; d'1 = f1= 120cm + A2B2 lµ vËt thËt víi m¾t: d3 = 0A2 > 0 ¶nh A2B2 hiÖn lªn ë ®iÓm cùc viÔn : A2 ≡0Cv ⇒ d3v = 0A2 = oCv = 50cm Ta cã: d'2v = ;' - d'3v = - d'2v = - 50cm Suy ra d '2 v f2 100 d2v = ' = cm 27 d 2 v − f2 Kho¶ng c¸ch gi÷a VK vµ TK lµ l = 0102 = d'1 + d'2v = 3340 cm 27 + Gãc trong vËt α0 tgα0 = A1B 1 A1B 1 = f1 120 + Gãc trong ¶nh α = tg α = A 2 B 2 K 2V A1B 1 = 0A 2 0Cv VT α, α0