Một số PPCM BDDT

 A: §Æt vÊn ®Ò   !"##$ %% &'%  () *%% &%"+,' +-.%)/% &#), *#0 .##% &1 2#.## (% &#)3 4 5/6%78!9#.###5*#1:6% % &(#!9 *#.##) ;%#)#<*##.##*#-1 =% & *>!9!"% )%+>#.%#.+#. 4%+ ?@A/%(111 *78!9 >#"111B>C7DE#), *'E .%)% &1 E)!"CFGH2I74#3 )%% &% % &G)JK#.##  ?7L ? *@)%1:4 >/7H2I"E)3!C< ! 7$$%E>!9E) !"%>#1 !/ L *>#@+7<#. ##C *78!9% &M!5 ?N %E O. .!5% & P%E#.###) 1111117<%>#>!9Q$#7%@$$ 4#%C>!9% &$#7 ( ?@ *#.##$.% &%1 R S ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông cñabÊt ®¼ng thøc ))<$#77<#. ##% & T! UC A'"E *7#T/C  (  *+.LV). W B giải quyết vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu X)!"C@#4#7<%>#% &C7 $$+%>#C ?@ 4 %+7F % ++(%>#! C @ C+DE#)@!J77<#. ##% &!9/% &+ DE7 ($#7E% & +7%>#% & Phần II: các phơng pháp nghiên cứu P.## Y.## < Y.##+ Phần III: nội dung của đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức ZA.%-+[% Z@.%-+\% ZA.4%Q%-+[% Z@.4%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : -]M\%[^\%[ %-_M\%%\^\\ I<`*7a(Aa(a(%a(CEa( bcddeR]cR f -cM\%[^\Z\%Z H+)M\%[^\0\%0 Z\%[^\\%0 !-gM\%\!^\Z\%Z! \%[!^\0\%0! K-eM\%\d^\\%! \%[d^\[%! h-RM\%\di\!\d^\\%! -WM\%\d^\ \% \%[^\ \% @j1 -fM\%i%\d^\ 3, Một số bất đẳng thức thông dụngM = &27M B@_7<!.%M ab ba + 2 k &L)CM^% %= &=#LM B@7<i%iLiCMlLZ%Cm _ l _ Z% _ mlL _ ZC _ m k &L)C[^\ y b x a = = &?C+ <M baba ++ k &L)CM% d II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa 0XEMa(n\=Lb+n0=o n0=\d1 0pTMn _ d@ni!qq^qqL)Cn^d1 r 0B-!9M Bµi 1.1 : B@7<MLCsQML _ ZC _ Zs _ Zc ≥ _lLZCZsm Gi¶i : Lb+MH^L _ ZC _ Zs _ Zc0_lLZCZsm ^L _ ZC _ Zs _ Zc0_L0_C0_s ^lL _ 0_LZ]mZlC _ 0_CZ]mZls _ 0_sZ]m ^lL0]m _ ZlC0]m _ Zls0]m _ klL0]m _  ≥ d@L lC0]m _  ≥ d@C ls0]m _  ≥ d@s  ^\H ≥ d@LCs HCL _ ZC _ Zs _ Zc ≥ _lLZCZsm@LCs1 k%QL)C[^\L^C^s^]1 Bµi 1.2M 2%!K7<M 2QM _ Z% _ Z _ Z! _ ZK _  ≥ l%ZZ!ZKm Gi¶i : tb+MH^ _ Z% _ Z _ Z! _ ZK _ 0l%ZZ!ZKm ^l b a − 2 m _ Zl c a − 2 m _ Zl d a − 2 m _ Zl e a − 2 m _ kl b a − 2 m _  ≥ d@% kl c a − 2 m _  ≥ d@ kl d a − 2 m _  ≥ d@! kl e a − 2 m _ ≥ d@K ^\H ≥ d@%!K kqq^qqL)C[^\%^^!^K^ 2 a Bµi 1.3 :2% &M  2 22 22       + ≥ + baba ]d Giải : tb+MH^ 2 22 22 + + baba ^ 4 )2()(2 2222 bababa +++ ^ 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba 1B@%1 kqq^qqL)C^%1 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . 0XEM=E O% &D. .@% & $4% & P * $1 0:7<% &G!5M lnZ=m _ ^n _ Z_n=Z= _ ln0=m _ ^n _ 0_n=Z= _ lnZ=Z2m _ ^n _ Z= _ Z2 _ Z_n=Z_n2Z_=2 lnZ=m c ^n c Zcn _ =Zcn= _ Z= c ln0=m c ^n c 0cn _ =Zcn= _ 0= c 1 B-!9M Bài 2. 1M2%7<!.O%Q]12QM 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: k5#b#%E O. .i clZ]Z%Z]m glZ]ml%Z]m r gl%ZZ%Z]mlZ%^]m r g%Zf] g%lZ%m _ g% = &< $1IC #)1 Bài 2. 2M2%7<!.)PMZ%Z^g 2QMlZ%ml%ZmlZm c % c c Giải: uMlZ%m _ g%lZ%Zm _ ^ [ ] cbacba )(4)( 2 +++ ^\]R glZ%m^\]RlZ%m glZ%m _ ]R% ^\Z% % ]] .M%Z ≥ % Z ≥ % ^\lZ%ml%ZmlZm ≥  c % c  c  Bµi 2.3M2% &M  3 33 22       + ≥ + baba i \di%\d Gi¶i : k5#b#%E O. .MB@\di%\d^\Z%\d  3 33 22       + ≥ + baba         + ≥+−       + 2 ).( 2 22 ba baba ba 1 2 2       + ba  _ 0%Z% _  ≥  2 2       + ba g _ 0g%Zg% _  ≥  _ Z_%Z% _  c _ 0R%Zc% _  ≥ cl _ 0_%Z% _ m ≥ d = &<5 $i7CM 3 33 22       + ≥ + baba Bµi 2.4: 2_7<%)PZ%^]12:v c Z% c Z% ≥  2 1 Gi¶i : M c Z% c Z% ≥  2 1 [^\ c Z% c Z%0 2 1  ≥ d [^\lZ%ml _ 0%Z% _ mZ%0 2 1  ≥ d [^\ _ Z% _ 0 2 1 ≥ d1BZ%^] [^\_ _ Z_% _ 0] ≥ d [^\_ _ Z_l]0m _ 0] ≥ dl%^0]m [^\g _ 0gZ] ≥ d [^\l_0]m _  ≥ d = &<5 $1B>C c Z% c Z% ≥  2 1 kqq^qqL)C^%^ 2 1 ]_ Bài 2.5 :2% &M 3 33 22 + + baba M\d%\d1 Giải : B@\d%\d^\Z%\d M 3 33 22 + + baba [^\ ( ) 2 22 22 . 2 + + + + baba baba ba [^\ 2 22 2 + + ba baba [^\g _ 0g%Zg% _ _ Z_%Z% _ [^\cl _ 0_%Z% _ m d [^\cl0%m _ d1= &C $ ^\ 3 33 22 + + baba kqq^qqL)C^%1 Bài 2.6MB@\d%\d12% &M a b a a b b Giải : k5#b#%E O. .M a b a a b b l )() baabbbaa ++ d [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 0))(( + baba = &< $i7CM a b a a b b 3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . ]c 0  XE    M  k5    %  &    K     M  27   =#L% &!?C+ < (%E O  :7<+)u% &ML _ ZC _  ≥ _LC B@%\d 2≥+ a b b a 2-!9M Bµi 3.1Mw)78%7<!.QM  2> + + + + + ba c ac b cb a  Gi¶i #!9=a2CM Zl%Zm )(2 cba +≥  cba a cb a ++ ≥ + 2 . *M  cba b ac b ++ ≥ + 2  cba c ba c ++ ≥ + 2 k%Q/%=a( oGL)C M ^%Z%^Z^Z%Z%Z^dl@)E%  7<!.m1 u 7CM 2> + + + + + ba c ac b cb a Bµi 3.2: 2LC_7<)PM  L _ ZC _ ^ 22 11 xyyx −+−  2QMcLZgC ≤ e Gi¶i : ¸#!9% &=#LM lL _ ZC _ m _ ^l 22 11 xyyx −+− m _ l 1≤x i 1≤y m  ≤ lL _ ZC _ ml]0C _ Z]0L _ m ^\L _ ZC _  ≤ ] "MlcLZgCm _  ≤ lc _ Zg _ mlL _ ZC _ m ≤ _e ^\cLZgC ≤ e ]g a&L)C        = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx       = = 5 4 5 3 y x a+M 2 5 2 3 ≤≤ x Bµi 3. 3:2% ≥ diZ%Z^]12QM  6≤+++++ accbba % 5,3111 <+++++ cba Gi¶i ¸#!9%!&=#L@_%c7<M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       +++++++≤+++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba ^\ ( ) 6)22.(3 2 =++≤+++++ acbaaccbba ^\ 6≤+++++ accbba 1 kqq^qqL)CM^%^^ 3 1 %¸#!9% &27M  1 22 1)1( 1 += ++ ≤+ aa a .M 1 2 1 +≤+ b b i 1 2 1 +≤+ c c 2uE/c% & *M  5,33 2 111 =+ ++ ≤+++++ cba cba k &L)C^%^^d@)EMZ%Z^ ] B>CM 5,3111 <+++++ cba Bµi 3.4M27<!.%)PMZ%Z^]1 2QM 9 111 ≥++ cba Gi¶i : M 0>+ a b b a %\d M =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ 1]^ ) 111 ( cba ++ 1lZ%Zm ^ 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a ]e [...]... = 2 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) IV:Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : 1 2 1 8 a) x2 +y2 b) x4+y4 Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bài 3: Cho hai số dơng x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 4R 24 Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm... ABC thì tâm 0 nằm ở một trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC Giả sử tâm 0 2 3 nằm trong tam giác GAB thì 0A +0B=2R và GA+ GB > 2R mà GA= AA1= 2 2 2 ma ,GB= BB1 = mb 3 3 3 2 Nên GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R 3 Mà trong tam giác 0CC1 có CC1 >0C mc >R Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R Vậy ma+mb+ mc >4R Bài 10 2: Một đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh... từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết 19 + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau + Phủ định rồi suy ra kết luận Các ví dụ : Bài 7 1 : Cho 0 < a,b,c,d 1 3b(1... Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài 1 : Giải phơng trình : 13 x 1 + 9... > 1 256 (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai Bài 7.2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng 1 b 1 c 1 a thức sau : a + < 2 ; b + < 2 ; c + < 2 20 Giải Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : a+ 1 1 1 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý Vậy : a + b 2 8 Phơng pháp 8 : Đổi biến số 21 - Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải Các ví dụ : Bài 8 1 : Chứng . kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức ZA.%-+[% Z@.%-+\% ZA.4%Q%-+[% Z@.4%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : -]M\%[^\%[ %-_M\%%^\ I<`*7a(Aa(a(%a(CEa( bcddeR]cR f -cM\%[^\%Z H+)M\%[^\%0 Z\%[^\%0 !-gM\%!^\%Z! \%[!^\%0! K-eM\%d^\%! \%[d^[%! h-RM\%di!d^\%! -WM\%d^ \% \%[^ \% @j1 -fM\%i%d^ 3,. : -]M\%[^\%[ %-_M\%%^\ I<`*7a(Aa(a(%a(CEa( bcddeR]cR f -cM\%[^\%Z H+)M\%[^\%0 Z\%[^\%0 !-gM\%!^\%Z! \%[!^\%0! K-eM\%d^\%! \%[d^[%! h-RM\%di!d^\%! -WM\%d^ \% \%[^ \% @j1 -fM\%i%d^ 3, Một số bất đẳng thức thông dụngM = &27M B@_7<!.%M ab ba + 2 k &L)CM^% %= &=#LM B@7<i%iLiCMlLZ%Cm _ l _ Z% _ mlL _ ZC _ m k. &=#LM B@7<i%iLiCMlLZ%Cm _ l _ Z% _ mlL _ ZC _ m k &L)C[^ y b x a = = &?C+ <M baba ++ k &L)CM% d II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa 0XEMa(n=Lb+n0=o n0=d1 0pTMn _ d@ni!qq^qqL)Cn^d1 r 0B-!9M Bµi