bài tập elip có giải

Bài 4. Đường Elip 37 BÀI 4. ĐƯỜNG ELIP I. CÁC DẠNG ELIP VÀ ĐẶC ĐIỂM Trục lớn Hình dạng Elip Phương tr ình và các yếu tố trong Elip O x ( a > b ) 2 2 2 2 2 2 2 1; y x a b c a b + = = + ; c e a = . ( ) ( ) 1 2 ;0 ; ;0 F c F c− . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. A 1 (−a; 0); A 2 (a; 0) ∈ Trục lớn. A 1 A 2 = 2a. B 1 (0; −b); B 2 (0; b) ∈ Trục nhỏ. B 1 B 2 = 2b. 1 2 MF a ex MF a ex = +   = −  ; Đường chuẩn 2 a a x c e =± =± O y ( a < b ) 2 2 2 2 2 2 2 1; y x b a c a b + = = + ; c e b = . ( ) ( ) 1 2 0 ; ; 0 ; F c F c − . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. A 1 (−a; 0); A 2 (a; 0) ∈ Trục nhỏ. A 1 A 2 = 2a. B 1 (0; −b); B 2 (0; b) ∈ Trục lớn. B 1 B 2 = 2b. 1 2 MF b ey MF b ey = +   = −  ; Đg chuẩn 2 b b y c e =± =± y = β ( a > b ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1; y x a b c a b −β −α + = = + ; c e a = ( ) ( ) 1 2 ; ; ; F c F c α− β α+ β ; F 1 F 2 = 2c. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; A a A a α− β α+ β ∈ A 1 A 2 = 2a. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; B b B b α β− α β+ ∈ B 1 B 2 = 2b. ( ) ( ) 1 2 MF a e x MF a e x  = + −α  = − −α  ; Đg chuẩn 2 a x c =± +α x = α ( a < b ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1; y x b a c a b −β −α + = = + ; c e b = ( ) ( ) 1 2 ; ; ; F c F c α β − α β + ; F 1 F 2 = 2c. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; A a A a α − β α + β ∈ A 1 A 2 = 2a. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; B b B b α β− α β+ ∈ B 1 B 2 = 2b. ( ) ( ) 1 2 MF b e y MF b e y  = + −β  = − −β  ; Đg chuẩn 2 b y c =± +β A 1 A 2 B 2 B 1 F 1 F 2 M I x y O α β A 1 A 2 B 2 B 1 F 1 F 2 M O x y A 1 A 2 B 2 B 1 F 1 F 2 M I O α β A 1 A 2 B 2 B 1 F 1 F 2 M O x y Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 38 II. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ELIP THEO CÁC YẾU TỐ Bài 1. Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F 1 ( − 8; 0); F 2 (8; 0) và e = 4/5 Bài 2. Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F 1 (0; − 4); F 2 (0; 4) và e = 4/5 Bài 3. Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F 1 ( − 6; 0); F 2 (6; 0) và 5 4 a b = Bài 4. Viết PT elip (E) biết 2 tiêu điểm F 1 ( − 3; 0); F 2 (3; 0) và đi qua ( ) 5 ; 15 4 M Bài 5. Viết PT elip (E) biết 2 tiêu điểm F 1 ( − 7; 0); F 2 (7; 0) và đi qua M( − 2; 12) Bài 6. Viết PT elip (E) biết 4 đỉnh là: A 1 ( − 6; 0), A 2 (6; 0), B 1 (0; − 3), B 2 (0; 3) Bài 7. Viết phương trình của elip (E) biết 2 đỉnh của (E) là: ( − 4; 0), ( ) 0; 15 Bài 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên trục O x , đi qua điểm M(8, 12) và 1 20 MF = . Bài 9. Viết PT chính tắc của elip (E) biết độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách hai đỉnh liên tiếp A 1 B 1 = 5. Bài 10. Viết PT chính tắc của elip (E) biết một cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x − 2 = 0 với độ dài đường chéo bằng 6. Bài 11. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên O y , e 1 2 = và khoảng cách 2 đường chuẩn là 8 2 . Bài 12. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên O x , ( ) ( ) M 5;2 E − ∈ và khoảng cách 2 đường chuẩn là 10. Bài 13. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M 1 (2; 1), ( ) 2 M 5;1 2 Bài 14. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua ( ) ( ) 1 2 M 3 3;2 , M 3;2 3 Bài 15. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua ( ) 5 4 M ; 2 2 và e 3 5 = Bài 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua 3 5 4 5 M ; 5 5       và M nhìn F 1 F 2 ∈ O x dưới góc 2 π Bài 17. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua 4 2 1 M ; 3 2       và M nhìn F 1 F 2 ∈ O x dưới góc 3 π Bài 18. Tìm M ∈ (E): 2 2 1 9 4 y x + = sao cho M nhìn 2 tiêu điểm dưới góc bằng 2 π Bài 19. Tìm M ∈ (E): 2 2 1 100 25 y x + = sao cho M nhìn 2 tiêu điểm dưới góc bằng 2 3 π Bài 4. Đường Elip 39 III. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. ( ) 2 2 : 1 2 8 y x E + = . Tìm điểm M ∈ (E) thoả mãn: 1. Có tọa độ nguyên. 2. Có tổng 2 tọa độ đạt: a. Giá trị lớn nhất. b. Giá trị nhỏ nhất. Giải 1. Điểm ( x , y ) ∈ (E) ⇒ ( − x , y ), ( − x , − y ), ( x , − y ) cùng ∈ (E) ⇒ Ta chỉ cần xét M( x 0 , y 0 ) ∈ (E) với x 0 , y 0 ≥ 0 Ta có: ( ) 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 2 2 1 2 0 2 2 8 1 1, 2 x x y x y x x x x y  =  = =  + = ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒  =   = =   lo¹i ⇒ M(1; 2) Vậy các điểm thuộc (E) có tọa độ nguyên là: (1; 2), ( − 1; 2), ( − 1; − 2), (1; − 2) 2. Điểm M( x , y ) ∈ (E) ⇔ 2 2 1 2 8 y x + = . Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 8 10 10 10 2 8 y x x y x y   + ≤ + + = ⇒ − ≤ + ≤     . Dấu bằng xảy ra ⇔ ( ) 2 4 2 8 10 10 5 y y x x x x y  =  =   ⇔   = ±   + =   ⇒ 1 2 10 4 10 10 4 10 ; ; ; 5 5 5 5 M M     − −         Bài 2. Cho (E): 2 2 1 9 5 y x + = . Tìm điểm M ∈ (E) thoả mãn: a. Bán kính qua tiêu điểm này bằng 2 lần bán kính qua tiêu kia ứng với M ∈ (E) b. M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 60 ° c. M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 90 ° Giải  M( x , y ) ∈ (E) ⇔ 2 2 1 9 5 y x + = . Ta có: 2 2 2 2 2 3 9 3 2 4 5 a a a c c a b b  =  = =     ⇒ ⇒    = = − =  =      ⇒ ( ) ( ) 1 2 2;0 , 2;0 F F− ⇒ 1 2 2 2 3 ; 3 3 3 c c F M a x x F M a x x a a = + = + = − = − a. Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 x x x F M F M F M F M x x x   + = − = =    ⇔ ⇔    =     = − − = +    ⇒ 15 15 15 15 3 3 3 3 ; ; ; ; 2 4 2 4 2 4 2 4 M M M M         ∨ − ∨ − ∨ − −                 Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 40 b. Xét ∆ MF 1 F 2 ta có: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . cos 60 F F MF MF MF MF = + − ° ( ) 2 2 1 2 1 2 1 3 . F F MF MF MF MF ⇔ = + − ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 3 . c a MF MF ⇔ = − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 4 20 25 2 2 21 . 3 3 3 3 3 3 4 12 a c MF MF x x x y − ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = 5 3 5 3 5 3 5 3 21 21 21 21 ; ; ; ; 2 6 2 6 2 6 2 6 M M M M         ⇔ ∨ − ∨ − − ∨ −                 c. Xét ∆ MF 1 F 2 ta có: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . cos 90 F F M F MF MF MF = + − ° ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 . F F MF MF MF MF ⇔ = + − ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 . c a MF MF ⇔ = − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4 4 9 2 2 . 3 3 10 2 3 3 4 a c MF MF x x x − ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = − (vô nghiệm) Bài 3. Cho (E): ( ) 2 2 2 2 1 0 y x a b a b + = > > . Tiêu điểm ( ) 1 ;0 F c − . Tìm M ∈ (E): a. Đoạn 1 F M ngắn nhất. b. Đoạn 1 F M dài nhất. Giải M( x , y ) ∈ (E) ⇔ 2 2 2 2 1 y x a b + = . Ta có: 1 c F M a x a = + và a x a − ≤ ≤ ⇒ c c x c a − ≤ ≤ ⇔ 1 a c F M a c − ≤ ≤ + a. Xét 1 F M a c x a = − ⇔ = − ⇔ M( − a ; 0). Vậy 1 F M ngắn nhất khi M( − a ; 0). b. Xét 1 F M a c x a = + ⇔ = ⇔ M( a ; 0). Vậy 1 F M dài nhất khi M( a ; 0). Bài 4. Cho (E): ( ) 2 2 2 2 1 0 y x a b a b + = > > . TÌm tọa độ M ∈ (E) sao cho tiếp tuyến của (E) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Giải M( x 0 , y 0 ) ∈ (E) ⇔ 2 2 0 0 2 2 1 x y a b + = . PTTT ( ∆ ) của (E) tại M là: 0 0 2 2 1 x x y y a b + = Gọi ( ) ( ) O ; O A y B x ≡ ∆ ≡ ∆ ∩ ∩ ⇒ 2 2 0 0 0; , ;0 b a A B y x             Bài 4. Đường Elip 41 ⇒ 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 . 2 2 2 2 A B b a b a S O A OB y x ab y x y x = = = = . Ta có: 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 y x x y ab S ab b a y x a b b a   ≤ + = ⇒ = ⋅ ≥     . Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 0 0 2 2 1 2 x y a b = = ⇒ 1 2 3 4 ; ; ; ; ; ; ; 2 2 2 2 a b a b a b a b M M M M a a a a         − − − −                 Bài 5. Cho (E): ( ) 2 2 2 2 1 0 y x a b a b + = > > . a. CMR : b ≤ OM ≤ a ∀ M ∈ (E) b. Tìm 2 điểm A, B thuộc (E) thoả mãn OA ⊥ OB và AOB S ∆ nhỏ nhất. Giải M( x , y ) ∈ (E) ⇔ 2 2 2 2 1 y x a b + = . Ta có: 2 2 1 1 a b < ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y x x x a a a b b b + ≤ + ≤ + 2 2 2 2 2 2 1 x y x y a b + + ⇔ ≤ ≤ ⇔ 2 2 2 2 b x y a ≤ + ≤ mà 2 2 OM x y = + ⇒ b ≤ OM ≤ a . b. Nếu A, B là các đỉnh trên trục thì 1 2 OAB S ab = . Xét A, B khác các đỉnh suy ra phương trình đường thẳng (OA) có dạng y = kx , khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A A A x k x a b x a b b a k + = ⇔ = + ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 A A A k a b OA x y k x b a k + = + = + = + . Do OA ⊥ OB ⇒ Hệ số góc của (OB) là 1 k − . Tương tự ta suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b k k a b OB a b k b a k   +   +   = = + + ⋅ ⇒ ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 2 2 OAB k a b S OAOB a b k b a k + = = ⋅ + + Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 a b k b a k k a b a b k b a k + + + + + + + ≤ = 2 2 2 2 OAB a b S a b ⇒ ≥ + . Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b k b a k k k + = + ⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 2 2 2 1 2 2 a b a b ab ab a b ≤ = + ⇒ 2 2 2 2 Min AOB a b S a b = + Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; ; ab ab ab ab A B a b a b a b a b     −     + + + +     Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 42 hoặc 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; ; ab ab ab ab A B a b a b a b a b     − − −     + + + +      ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 OAB k a b ab a b k b a k ab abk ab k S ab k + + + ≥ + = + ⇒ ≤ = + Bài 6. Cho A(3; 0). Tìm B, C ∈ (E): 2 2 1 9 3 y x + = sao cho B, C đối xứng qua O x đồng thời thoả mãn ∆ ABC đều. Giải Không mất tính tổng quát giả sử B( x 0 , y 0 ) và C( x 0 , − y 0 ) với y 0 > 0. Ta có: 2 2 2 2 0 0 0 0 1 3 9 9 3 x y x y + = ⇔ + = Ta có: 0 2 BC y = và phương trình (BC): x = x 0 ⇒ ( ) ( ) 0 , 3 d A BC x = − Do A ∈ O x và B, C đối xứng qua O x ⇒ ∆ ABC cân tại A suy ra ∆ ABC đều ⇔ ( ) ( ) 3 , 2 d A BC BC = ⇔ ( ) 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 x y y x− = ⇔ = − ⇒ ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 3 9 2 6 0 0 3 x x x x x x + − = ⇔ − = ⇔ = ∨ = Với ( ) 0 0 3 0x y= ⇒ = lo¹i . Với x 0 = 0 ⇒ 0 3 y = ⇒ ( ) ( ) 0; 3 , 0; 3 B C − Bài 7. Cho (E): 2 2 2 2 1 y x a b + = ( a > b > 0). Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ F 1 , F 2 đến 1 tiếp tuyến bất kì không đổi. Giải Gọi F 1 ( − c ; 0), F 2 ( c ; 0). Tiếp tuyến tại điểm M( x 0 , y 0 ) là (d): 0 0 2 2 1 x x y y a b + = ⇔ 2 2 2 2 0 0 0 b x x a y y a b + − = ⇒ Tích các khoảng cách F 1 , F 2 đến (d) là: T = ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 0 0 0 4 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 0 0 0 0 0 0 b x c a b b x c a b b x c a b x a a y b x a y b x a y − − − − ⋅ = + + + M ∈ (E) ⇒ 2 2 2 2 2 2 0 0 b x a y a b + = , suy ra: T = ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 0 0 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 0 b x a b a b a x b x a b b x a a b b x b b x a a x − − − − = = + − + − = const Bài 4. Đường Elip 43 Bài 8. Cho elip (E): 2 2 2 2 1 y x a b + = ( a > b > 0). Tiếp tuyến ( t ) cắt 2 đường thẳng x a = ± tại M, N a. CMR : A 1 M.A 2 N = const. b. Xác định ( t ) để 2 F MN S nhỏ nhất c. Gọi 1 n I A N A M ≡ ∩ . Tìm quĩ tích I. d. CMR : 1 1 2 2 ; F M F N F M F N ⊥ ⊥ Giải a. Tiếp tuyến ( t ) tiếp xúc (E) tại T( x 0 , y 0 ) có PT: ( t ): 0 0 2 2 1 x x y y a b + = ⇔ 2 0 2 0 1 x x b y y a   = −     với 2 2 0 0 2 2 1 x y a b + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 ; 1 ; ; 1 x x b b t x a M a t x a N a y a y a         = − = − + = = −                 ∩ ∩ Do M, N luôn cùng phía so với O x nên A 1 M.A 2 N = 2 4 2 0 2 2 0 . 1 M N x b y y b y a   = − =     b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 S F MN S A MNA S A MF S A NF = − − ( ) 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 . . 2 2 A M A N a A M A F A N A F = + − − ( ) 1 2 1 2 2 2 a c a c A M A N a A M A N + − = + − − ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 a c a c A M A N a c A M a c A N b − + = + ≥ − + = xảy ra ⇔ ( ) ( ) 2 1 2 a c A M a c A N b − = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 ; , ; : 0 ; , ; : 0 A M a c M a a c N a a c t cx ay a A N a c M a a c N a a c t cx ay a   = + − + − + − =    ⇔ ⇔ ⇔   = −   − − − − +  − − =    c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 : ; : 2 2 b a x b a x A N y x a A M y x a a y a y − − + = + = − ⇒ ( ) 2 2 2 0 0 1 0 0 2 0 ; ; 2 2 n b a x y A N A M I x x a y   −     ≡ =         ∩ . Ta có: 2 2 0 0 2 2 1 x y a b + = ⇒ ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 / 2 1 / 2 y x a b + = ⇒ Quĩ tích điểm I là elip ( ) ( ) 2 2 1 2 2 : 1 / 2 y x E a b + = d. ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 . . A M A N b a c a c A F A F = = − + = ⇒ 1 1 2 2 2 2 A M A F A F A N = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 44 ⇒ ∆ A 1 MF 2 ~ ∆ A 2 F 2 N ⇒   1 2 2 2 A MF A F N = . Mà ∆ A 1 MF 2 vuông tại A 1    1 2 2 2 2 2 2 90 90 A F M A F N MF N F M F N ⇒ + = ° ⇒ = ° ⇒ ⊥ Bài 9. Cho 2 điểm M, N thuộc tiếp tuyến (t) của (E): 2 2 2 2 1 y x a b + = ( a > b > 0) sao cho các tiêu điểm F 1 , F 2 nhìn MN dưới 1 góc 90 ° . Tìm hoành độ M, N Giải Hai điểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , , M x y N x y ∈ ( t ): 0 0 2 2 1 x x y y a b + = ⇔ 2 0 2 0 1 x x b y y a   = −     với 2 2 0 0 2 2 1 x y a b + = ; F 1 ( − c ; 0), F 2 ( c ; 0) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 1 0 0 2 F M F N F M F N x c x c y y F M F N F M F N x c x c y y  ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + + =    ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ − − + =      ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 1 2 : 0 0 x x x x y y x c x x y y c + =  − + =    ⇔ ⇔   = − + + =     Do M, N ∈ ( t ) nên 2 2 0 1 0 2 1 2 2 2 0 0 1 ; 1 x x x x b b y y y y a a     = − = −         ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 1 0 1 0 1 0 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 b a x x b a x x b a x x y y a a x a a y a a b b x − − − = = = − − ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 0 0 0 x a x a x x a x x x x c y y x c b x a b b a a x b a a x b a a x − − − − − − − = = ⇔ = ⇔ = − − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 0 x x a x a x a b a a x   ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ±   −     Bài 10. Cho (E): 2 2 2 2 1 y x a b + = ( a > b > 0). Trong tất cả các hình chữ nhật Q ngoại tiếp (E), hãy xác định hình chữ nhật có diện tích Max, Min. Giải Gọi một cạnh hình chữ nhật Q là (d 1 ): 0 Ax By C + + = ⇒ 2 2 2 2 2 a A b B C + = Bài 4. Đường Elip 45 ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 a A b B C + = − ⇒ (d 1 ’): 0 Ax By C + − = // (d 1 ) và cũng tiếp xúc (E) ⇒ (d 1 ’) là cạnh của Q đối diện với (d 1 ). Phương trình cạnh (d 2 ) ⊥ (d 1 ) là: 0 Bx Ay D + + = với 2 2 2 2 2 a B b A D + = và (d 2 ’): 0 Bx Ay D + − = Khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 1 ’) là: 2 2 2 C A B + ; giữa (d 2 ) và (d 2 ’) là: 2 2 2 D B A + Không mất tính tổng quát giả sử 2 2 1 A B + = ⇒ S = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 CD a A b A a A b A     = + − − +     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 b a b A a a b A a b a b A A     = + − − − = + − −     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 1 2 4 A A A A   + − ≤ − ≤ =     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 a b a b S a b a b − ⇒ ≤ ≤ + = + ⇒ Min S = 4 ab ; Max S = ( ) 2 2 2 a b + Bài 11. Cho ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 : 4; : 1 C x y C x y + = + = . Các điểm A, B di động trên (C 1 ), (C 2 ) sao cho O x là phân giác của góc AOB. Gọi M là trung điểm AB. Tìm quĩ tích điểm M. Giải Lấy B 1 đối xứng B qua O x ⇒ ( ) 1 ; B B B x y − ∈ OA và 1 2 OA OB =   ( ) 2 ; 2 B B A x y ⇒ − ⇒ 3 ; 2 2 B B x y M   −     . Mà 2 2 1 B B x y + = nên nếu M( x ; y ) thì 2 2 1 9 / 4 1/ 4 y x + = Tổng quát: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 : ; : C x y a b C x y a b + = + + = − (0 < b < a ). Các điểm A, B di động trên (C 1 ), (C 2 ) sao cho O x là phân giác của góc AOB. Gọi M là trung điểm AB, khi đó M ∈ (E): 2 2 2 2 1 y x a b + = Bài 12. Cho A(2; 0) và (C): ( ) 2 2 2 36 x y + + = . Viết phương trình quĩ tích tâm các đường tròn đi qua A và tiếp xúc (C). Giải (C): ( ) 2 2 2 36 x y + + = là đường tròn tâm B( − 2; 0), bán kính R = 6. Gọi M là tâm đường tròn đi qua A và tiếp xúc (C) tại N ⇒ MA + MB = MN + MB = BN = 6. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 46 Vậy quĩ tích M là elip (E) nhận A, B làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng 6. Vì A, B ∈ O x và đối xứng nhau qua O nên (E) có dạng ( ) 2 2 2 2 : 1 y x E a b + = (0 < b < a ) Với 2 a = 6; b 2 = a 2 − c 2 = 2 1 9 5 4 AB − = ⇒ ( ) 2 2 : 1 9 5 y x E + = Bài 13. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 : 5 441; : 5 25 C x y C x y + + = − + = . Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C 1 ), (C 2 ). Tìm quĩ tích M biết: a. (C) tiếp xúc trong với (C 1 ) và tiếp xúc ngoài với (C 2 ). b. (C) tiếp xúc trong với (C 1 ) và (C 2 ). Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 : 5;0 , 21 ; : 5;0 , 5 C O R C O R − = = a. M( x ; y ) là tâm: 1 1 2 2 1 2 1 2 ; 26 R R MO R R MO MO MO R R − = + = ⇒ + = + = Từ đó suy ra tập hợp các điểm ( ) 2 2 : 1 169 144 y x M E ∈ + = b. M( x ; y ) là tâm: 1 1 2 2 1 2 1 2 ; 16 R R MO R R MO MO MO R R − = − = ⇒ + = − = Từ đó suy ra tập hợp các điểm ( ) 2 2 : 1 64 39 y x M E ∈ + = Bài 14. Cho elip (E): ( ) 2 2 2 2 1 0 y x a b a b + = > > với các tiêu điểm 1 2 , F F . Chứng minh: Với mọi điểm M ∈ (E) ta luôn có: 2 2 2 1 2 . OM MF MF a b + = + Giải Đặt ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 2 ; 1 x y M x y E a b ∈ ⇒ + = , (1) Ta có: 2 2 2 0 0 1 0 2 0 , , c c OM x y MF a x MF a x a a = + = + = − Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 2 2 . c a c OM MF MF x y a x a x y a a   − + = + + − = + +     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 x y b a x y a b a b a a b   = + + = + + = +     (đpcm) [...].. .Bài 4 ư ng Elip 2 y2 Bài 15 Cho elip (E) có phương trình x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) a b G i A và B là hai i m thu c elip (E) sao cho OA vuông góc v i OB 1 Ch ng minh r ng 2 CMR: 1 + 1 = 1 + 1 OA 2 OB 2 a 2 b 2 ư ng th ng AB luôn luôn ti p xúc v i m t ư ng tròn c Gi i y 1 Trư ng h p 1 A, B n m trên các tr c Ox, Oy Ta có: nh B 1 + 1 = 1 + 1 OA 2 OB 2 a 2 b 2 A... CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N CT GI I 2 y2 Bài 1 Cho (E): x + = 1 và (d): 3x + 4 y − 12 = 0 16 9 1 Ch ng minh r ng: ư ng th ng (d) c t elip (E) t i 2 i m A, B Tính AB 2 Tìm C∈(E) sao cho: a ∆ABC có S = 6 c ∆ABC cân b ∆ABC có S Max A ho c B d ∆ABC vuông Bài 2 Cho hai i m A1 ( − a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) v i a > 0 và h ng s k ≠ 0, k ≠ 1 L p phương trình quĩ tích các i m M tho mãn: tg MA1 A2 tg MA2 A1 = k 2 2 Bài. .. = 4m 2 + 9n 2 ⇔ m 2 = n 2 ⇔ m = ± n ⇒S≥ 48 2 2 2 2 Bài 4 ư ng Elip 2 y2 Bài 17 Cho elip (E) có phương trình x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , v i các tiêu i m a b F1 , F2 Ch ng minh r ng ti p tuy n t i m t i m M b t kỳ trên (E) là phân giác c a góc F1 MF2 Gi i L y b t kỳ i m M ( x 0 ; y 0 ) ∈ ( E ) (∆) Phương trình ti p tuy n ∆ c a (E) t i i m M x y0 có d ng 0 x + 2 y = 1 2 a b   G i I = ∆ ∩ Ox ⇒ I... (C1) và (C2) Bài 7 Trong m t ph ng t a 1 Tìm i u ki n k và m 2 y2 Oxy, cho elip (E): x + =1 25 16 ư ng th ng ( d ) : y = kx + m ti p xúc v i elip (E) 2 Khi (d) là ti p tuy n c a (E), g i giao i m c a (d) và các ư ng th ng x = 5 và x = −5 là M và N Tính di n tích tam giác FMN theo k, trong ó F là tiêu i m c a (E) có hoành dương 3 Xác nh k tam giác FMN có di n tích bé nh t 2 y2 Oxy, cho elip (E): x +... A a2k 2 + b2  OB ⊥ OA nên phương trình c a OB có d ng: y = − 1 x k ( k 2 + 1) a 2 b 2 Thay x b ng − 1 vào (*) ta có: OB 2 = k a 2 + b 2k 2 Ta có: 2 2 2 1 + 1 = ( k + 1)( a + b ) = a 2 + b 2 = 1 + 1 ( k 2 + 1) a 2 b 2 OA 2 OB 2 a 2b 2 a2 b2 V y c hai trư ng h p trên ta 2 Trong tam giác OAB k u có: 1 + 1 = 1 + 1 ( pcm) OA 2 OB 2 a 2 b 2 ư ng cao OH, ta có: 1 = 1 + 1 = 1 + 1 OH 2 OA 2 OB 2 a 2 b 2 2... c x nên IF1 = IF1 = a + cx 0 = a 1 Ta có: MF1 = a + = 2 e 0 a 0 IF2 IF2 a 2 − cx 0 a − c x MF2 a 0 T ó suy ra ∆ là phân giác ngoài c a góc F1 MF2 ( pcm) Bài 18 Trên m t ph ng t a Oxy, cho i m F 1(2,1), F2(6, 4) M t elip (E) nh n F1, F2 làm 2 tiêu i m và ti p xúc v i Ox t i M Tìm t a M Gi i Nh n xét: N u ti p c n bài toán b ng cách l p phương trình t ng quát c a elip (E) nh n F1, F2 làm 2 tiêu i m và... quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C) Bài 4 Cho i m A(0; 6) và ư ng tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 = 100 L p phương trình quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C) 2 2 Bài 5 Cho i m A(3; 3) và ư ng tròn (C): ( x − 1) + ( y − 1) = 16 L p phương trình quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C) 2 2 Bài 6 Cho A(3; 3) và 2 ư ng tròn ( C1 ) : ( x + 1) + y 2... c n bài toán b ng cách l p phương trình t ng quát c a elip (E) nh n F1, F2 làm 2 tiêu i m và ti p xúc v i Ox sau ó tìm t a thì chúng ta r t vô v ng khi l p phương trình c a elip (E) Chúng ta s gi i bài toán này b ng cách s d ng bài 17 v i tính ch t ti p tuy n Ox là phân giác ngoài c a góc F1 MF2 L y F1′ ( 2, −1) i x ng v i F1 ( 2,1) Do y F2 4 F1 1 0 –1 2 M 6 x F1′ Ox là phân giác ngoài c a góc F1...   2 2 2 2  4m + 9n 4m + 9n   4m 2 + 9n 2  −6n   4m 2 + 9n 2  2 Ta có: MN ⊥ PQ t i trung i m O c a m i ư ng nên t giác MPNQ là hình hình thoi Di n tích hình thoi MPNQ là: y 2 2 2 2 S = 1 MN.PQ = 2OM.OP = 2 x M + y M x P + y P 2 P M 72 ( m 2 + n 2 ) = ( 9m 2 + 4n 2 )( 4m 2 + 9n 2 ) 3 Theo b t x O ng th c Cauchy, ta có N Q ( 9m 2 + 4n 2 )( 4m 2 + 9n 2 ) ≤ ( 9m + 4n ) + ( 4m + 9n ) = 13 ( m 2... 2 a 2 b 2 2 2 ab ⇒ OH 2 = a b 2 ⇒ OH = V y ư ng th ng AB luôn luôn ti p xúc 2 2 a +b a + b2 v i ư ng tròn c nh, tâm O(0; 0) và bán kính R = ab 2 a + b2 47 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương 2 y2 Bài 16 Cho (E): x + = 1 và ( d1 ) : mx − ny = 0, ( d 2 ) : nx + my = 0 , v i m 2 + n 2 ≠ 0 9 4 1 Xác nh giao i m M, N c a d 1 v i (E) và giao i m P, Q c a d 2 v i (E) 2 Tính theo m, n di n tích t giác . Bài 4. Đường Elip 37 BÀI 4. ĐƯỜNG ELIP I. CÁC DẠNG ELIP VÀ ĐẶC ĐIỂM Trục lớn Hình dạng Elip Phương tr ình và các yếu tố trong Elip O x ( a > b ) . góc bằng 2 3 π Bài 4. Đường Elip 39 III. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. ( ) 2 2 : 1 2 8 y x E + = . Tìm điểm M ∈ (E) thoả mãn: 1. Có tọa độ nguyên. 2. Có tổng 2 tọa độ đạt:. = + + = +     (đpcm) Bài 4. Đường Elip 47 Bài 15. Cho elip (E) có phương trình ( ) 2 2 2 2 1 0 y x a b a b + = > > Gọi A và B là hai điểm thuộc elip (E) sao cho OA vuông góc