Chon doi tuyen hsg tinh MÔN TOáN LớP 12 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đh) Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = + (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = Chứng minh tam giác ABC đu. Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố đnh.i Bài 3: (3.0 điểm) 1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: 6 3 2 2 2 2 3 15 3 ( 5)x z x z x y z y + = + 2. Chứng minh rằng: 2009 2007 2007 2009+ chia h t cho 8. Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (U n ) xác đnh bởix: 1 1 2 1 1 (1) 1 n n n U a U U U + = ỡ ù ù ù ù + ớ ù = - ù ù + ù ợ trong đ -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 với n" ẻ Ơ và (U n ) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim U n Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + + + + Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti p xúc với một đ ờng tròn cố đnh.u 2. Tìm v tr của m, F sao cho diện t ch tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 điểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy t 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 2.C hai b ng điện với xác suất hỏng là 0, 1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). T nh xác suất để mạch không c điện do b ng hỏng n u: a. Chúng đợc mắc song song. b. Chúng đợc mắc nối ti p. -H t- ĐáP áN Và THANG ĐIểM ĐáP áN Và THANG ĐIểM 1 Điểm 3.0 Bài 1: 1.5 Bài 1.1. Giải phơng trình: 2 2cos x 2 3 sinx cosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = + (1) 0.5 (1) 2 cos2x 3 sin2x 3(sinx 3 cosx)+ + = + 1 3 1 3 2 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx 2 2 2 2 + + = + ữ ữ ữ ữ 2 2cos 2x 6cos x 3 6 + = ữ ữ 0.5 1 cos 2x 3cos x 3 6 + = ữ ữ 2 2cos x 3cos x 6 6 = ữ ữ 3 cos x 0vc os x (loaùi) 6 6 2 = = ữ ữ 0.5 2 6 2 3 x k x k = + = + , k Z. Vậy phơng trình c 1 họ nghiệm là: 2 3 x k = + , k Z. 1.5 Bài 1.2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = Chứng minh tam giác ABC đu. 0.5 Trong mọi tam giác nhọn ta luôn c : tg A + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 1 1 1 1 tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB + + = (1) Đặt 1 1 1 x ,y ,z tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB = = = thì t (1) ta c: x + y + z = 1 (2) Mặt khác: 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 x x tg B.tg C 1 tg B.tg C tg B.tg C 1 x y z 1 tgB.tgC = = = + 0.5 Tơng tự: 3 3 3 2 2 1 y tg C.tg A tg C.tg A z x = + và 3 3 3 2 2 1 z tg A.tg B tg A.tg B x y = + Giả thi t bài toán trở thành 3 3 3 x y z 1 P y z z x x y 6 = + + = + + + Theo bất đẳng thức Cauchy: 3 3 3 x y z 1 1 y z x 1 1 z x y 1 1 x, y, z y z 12 18 2 z x 12 18 2 x y 12 18 2 + + + + + + + + + + + + 0.5 Cộng v theo v các bất đẳng thức trên ta đ ợc: do(2) 1 1 1 1 P (x y z) (x y z) P 6 6 2 6 + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z 3 = = = Khi đ tg A = tgB = tgC hay ABC đu (đpcm). 3.0 Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy 2 điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố đnh.i 0.5 0.5 Kẻ đờng phân giác trong của g c BAC là At. Do A,B, C cố đnh => At cố đnh. Gọi I là giao điểm của At với MN. Ta c : S AMN = S AMI + S ANI 0.5 1 1 1 . .sin . . sin 2 2 2 2 2 A A AM AN A AM AIsin AN AI = + 0.5 1 1 1 1 2 cos . 2 A AI AM AN l = + = ữ (không đổi) 0.5 2 cos 2 A AI l = (không đổi) => I cố đnh và MN 0.5 Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố đnh u. 3.0 Bài 3: 1.5 Bài 3.1. Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: 6 3 2 2 2 2 3 15 3 ( 5)x z x z x y z y + = + 0.5 0.5 áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc Dấu xảy ra 0.5 T ph ơng trình: ( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra ) Đ áp số : nghiệm phơng trình là 1.5 Bài 3.2. Chứng minh rằng: 2009 2007 2007 2009+ chia h t cho 8. 0.5 Ta c : 2009 2007 2009 2007 2007 2009 (2007 1) (2009 1)+ = + + - 0.5 (2007 1). (2009 1).M N= + + - (M, N là các đa thức) 0.5 2008( ) 8M N= + M vì 2008 chia h t cho 8 (đccm) 3.0 Bài 4: 1.5 Bài 4.1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 (2) với n" ẻ Ơ và (U n ) là một dãy số giảm. 0.5 CM bằng quy nạp: - với n = 1 thì U 1 = a theo giả thi t - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U n < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. 0.5 T (2) ta c : 0 < U n + 1 < 1 (*) Do đ 2 1 0 1 1 n n U U + < < + và 2 1 1 1 0 1 n n U U + - < - < + tức là: - 1 < U n+1 < 0 Vì - 1 < U n < 0 nên U n + 1 và 2 0 n U > với n" 0.5 T (1) suy ra: 1 2 1 ( 1) 1 1 n n n n n U U U U U + + = < + - = + Vậy U n là dãy giảm. 1.5 Bài 4.2. Tìm lim Un 3 0.5 Đặt 2 1 1; 1 n n V U q a = + = + ta c : 0 < q < 1, V n > 0 và 1 . n n V qV n + "Ê 0.5 Ta c : 2 1 . ( 1).V V q a q= +Ê 2 3 2 1 . ( 1). 0 ( 1). n n V V q a q V a q n - = = + + "Ê Ê 0.5 Vì Lim (a + 1). q n - 1 = (a + 1). Lim q n - 1 nên Lim V n = 0 Hay Lim U n = - 1 Câu hỏi thêm của bài này: CMR : 1 2 1 0 1 ( 1) 1 n n U U n a + < + + "Ê + T đẳng thức (1) suy ra: 1 2 1 1 ( 1) (3) 1 n n n U U n U + + = + " + Vì U n là dãy giảm; -1 < U n < 0 với mọi n và U 1 = a nên: 1 0 n U a- < <Ê với n" t đ suy ra: 2 2 n n U a U a Do đ : 2 2 1 1 1 1 n n U a "Ê + + và t (3) ta c : 1 2 1 1 ( 1) 1 n n U U n a + + + "Ê + Theo chứng minh trên ta c : 1 2 1 0 1 ( 1) 1 n n U U n a + < + + "Ê + 2.0 Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + + + + 0.5 Ta c : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a V T bc ac ab c ab a bc b ac + + + = + + + + + + + + 0.5 Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a bc c c ab b b ac bc bc ab ab ac a c + + + = - = - = - 0.5 Nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 a bc b ac c ab a b b c c a V T bc ac ab c ab a bc b ac + + + + + + = + + + + + - + + + Do 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2b c bc c a ac a b ab+ + + 0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 9 2 2 2 2 2 a bc bc b ac ac c ab ab V T bc ac ab a bc b ac c ab + + + + + + + + - + + + + + - = Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 3.0 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1.5 6.1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti p xúc với một đ ờng tròn cố đnh.u 0.5 A E B K 4 H F D C 0.5 Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF . ∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90 0 ; DC = BC ) ⇒ CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . 0.5 Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . CH không đổi, C cố định, CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đ tròn cố định ( C , a ) 1.5 6.2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. 0.5 ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90 0 ; CF chung ; CH = CD = a ) ⇒ S HCF = S DCF Chứng minh tương tự ta có: S HCE = 1/2S BCE do đó S HCF + S HCE = S DCF + S BCE 0.5 ⇒ S CEF = S CDFEB ⇒ S CEF = 1/2 ( a 2 – S AEF ) S AEF ≥ 0 ⇒ S CEF ≤ 1/2 a 2 . Dấu “=“ xảy ra “⇔ S AEF = 0 0.5 ⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D . Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S CEF đạt giá trị lớn nhất . 3.0 Bài 7: 1.5 7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 1.5 Kết quả: 14406 1.5 7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: a. Chúng được mắc song song. b. Chúng được mắc nối tiếp. 1.5 Kết quả: a. P=0,02 b. P=0,28 Chú ý: Nếu học sinh có lời giải đúng và hợp lôgic thì vẫn chấm điểm tối đa. làm tròn điểm bài thi theo quy định. 5 . 2 1 0 1 1 n n U U + < < + và 2 1 1 1 0 1 n n U U + - < - < + tức là: - 1 < U n+1 < 0 Vì - 1 < U n < 0 nên U n + 1 và 2 0 n U > với n" 0.5 T (1) suy ra:. < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U n < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. 0.5 T (2) ta c : 0 < U n + 1 < 1 (*) Do đ 2 1 0 1 1 n n U U + <. n U + + = + " + Vì U n là dãy giảm; -1 < U n < 0 với mọi n và U 1 = a nên: 1 0 n U a- < <Ê với n" t đ suy ra: 2 2 n n U a U a Do đ : 2 2 1 1 1 1 n n U a "Ê +