SKKN- Toan 11-2010

Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm ĐẶT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN Hình học giải tích là một phân mơn trong chương trình bộ mơn Tốn cấp THPT. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học thơng thường.Việc này giúp người học bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của toán học và nhiều lónh vực khác. Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất. Sử dụng cơng cụ véc tơ - tọa độ để nghiên cứu hình học đã đạt được điều đó, khơng những thế dạy học chun đề này còn phát triển khả năng tư duy của học trò một cách sâu sắc. 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN Hiện nay trong phân phối chương trình tốn học THPT có một số tiết tự chọn. Trong những tiết học này giáo viên có thể nâng cao khả năng tư duy tổng hợp cho học sinh qua dạy học các chun đề. Hơn thế nữa chun đề Hình học giải tích là một chun đề quan trọng trong chương trình phổ thơng, giúp các em có kiến thức ơm luyện thi tốt nghiệp và thi đai học. 3. MỤC ĐÍCH VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong đề tài này tơi nghiên cứu và áp dụng cho học sinh các lớp 12 ban khoa học tự nhiên trong các tiết ơn tập cuối chương. Với mong muốn phát triển khả năng tư duy tổng hợp cho các em và cũng thơng qua đó cung cấp kiến thức , kỹ năng giải tốn phục vụ hai kỳ thi quan trong sắp tới. Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một số dạng toán ơ’ cấp trung học phổ thông. Trang 1 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: HỆ THỐNG HỐ LÝ THUYẾT I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG. 1. Đònh nghóa : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vò 1 2 ,e e ur uur .Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. Hạ MH vuông góc x’Ox và MK vuông góc y’Oy. Theo qui tắc hình bình hành, ta có: OM OH OK= + uuuur uuur uuur 1 2 xe ye= + ur ur Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác đònh bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x, y). Cho a ur trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a= uuuur ur . Gọi (x,y) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ a ur trên hệ trục Oxy và ký hiệu là a ur = (x,y). 3. Các phép tính véc tơ : Cho hai véc tơ 1 2 1 2 , ,( ) ; ( )a a a b b b= = r ur và k là một số thực. Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích vô hướng hai véc tơ được xác đònh như sau: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ) . ( , ) . a b a b a b a b a b a b k a ka ka a b a b a b + = + + − = − − = = + r ur r ur ur r ur 4. Các công thức về lượng : Cho hai véc tơ 1 2 1 2 ; ;( ) ; ( )a a a b b b= = r ur và gọi α là góc tạo bởi hai véctơ đó . .a b a b= r r ur ur khi và chỉ khi a r và b r là hai véctơ cùng hướng 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos . a b a ba b a b a a b b α + = = + + r ur r ur Trang 2 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là : 2 2 ( , ) o o Ax By C d M D A B + + = + 5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn . * Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x 0 , y 0 ) và nhận véctơ ( , )n A B= r làm véc tơ pháp tuyến là: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 1. Đònh nghóa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vò 1 2 3 , ,e e e ur uur uur . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ . Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz. Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy và ML vuông góc z’Oz. Theo qui tắc hình hộp, ta có : 1 2 3 OM OH OK OL xe ye ze = + + = + + uuuuur uuuur uuuur uuur ur uur uur Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác đònh bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x,y,z). Cho a ur . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a= uuuuur ur . Gọi (x, y. z) là toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ a ur trên hệ trục Oxyz và ký hiệu là a ur = (x,y,z). 3. Các phép tính véc tơ : Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b= = r ur và k là một số thực. Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác đònh như sau: Trang 3 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 ( , ) ( , ) . ( , ) . . ( , , ) a b a b a b a b a b a b k a ka ka a b a b a b a a a a a a a b b b b b b b     + = + + − = − − = = + = r ur r ur ur r ur r ur 4. Các công thức về lượng : Cho hai vectơ 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b = = r ur và gọi α là góc tạo bởi hai vectơ đó . .a b a b= r r ur ur khi và ch ỉ khi a r và b r là hai vectơ cùng hướng 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . . . . cos . a b a b a b a b a b a a a b b b α + + = = + + + + r ur r ur Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương 1, 2 3 ( , )a a a a = r và điểm M. Giả sử ta tính được 1, 2 3 ( , )AM b b b = uuuur Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) được tính là : 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 2 3 ( , ) a a a a a a b b b b b b d M D a a a + + = + + 5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. a. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ,y 0, z 0 ) và có cặp vectơ chỉ phương 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b = = r ur là : 2 3 3 1 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) v à nhận vectơ 1 2 3 , ( , )a a a a = ur làm vectơ chỉ phương là: 0 1 0 2 0 3 x x at y y a t z z a t      = + = + = + (t là tham số) c. Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) và có bán kính R là : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN Trang 4 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm A. CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho 4 số thực x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . chứng minh rằng (x 1 2 +y 1 2 )(x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 Giải: Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : 1 1 2 2 ( , ); ( , )a x y b x y= = r ur Ta có 2 2 2 . ( . )a b ab a b a b≥ ⇒ ≥ r r r r ur ur ur ur vậy (x 1 2 +y 1 2 ) (x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 đẳng thức xãy ra 1 2 2 1 //a b x y x y⇔ ⇔ = r ur Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z+ + + + + > + + Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y z y z x y x z y z+ + + + + > − + + Xét 3 điểm 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( , ) ; (0, ) ; ( ,0) y y z A x z B y z C+ + − (1) ⇔ AB + AC > BC Ta có AB AC BC+ ≥ với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây 3 2 2 3 2 2 ( , ) ( , ) y AB x y z AC x z        = − − = − − − uuur uuuur Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xãy ra đẳng thức AB + AC > BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 3 Giải bất phương trình: 2 1 3 2( 3) 2 2(1)x x x x− + − ≥ − + − Giải Điều kiện 1x ≥ Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: Trang 5 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm ( 3, 1) (1,1) u x x v  = − −   =   r r 2 ( 3) 1 3 . 1 3 u x x v u v x x  = − + −   ⇒ =   = − + −   r r r r Suy ra bất phương trình (1) tương đương . .u v u v ≥ r r r r 2 2 3 1 6 9 1 3 7 10 0 3 5 2 3 5 u v x x x x x x x x x x x x x ⇔ ↑↑ ⇔ − = −  − + = − ⇔  ≥   − + = ⇔  ≥   =    ⇔ =    ≥  ⇔ = r r Vậy x=5 là nghiệm duy nhất. Bài 4 Chứng minh rằng: 4 4 cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R + − + ≤ ∀ ∈ Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: 2 2 (cos ,1) (cos2 ,0) (sin ,1) a x a b x b x  =  ⇒ − =  =   r r r r Khi đó, từ 4 4 cos 1 sin 1 cos2 ( ) a b a b x x x dpcm − ≤ − ⇒ + − + ≤ ⇒ r r r r Bài 5 Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số: 2 2 ( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x= = − + + + + Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ: Trang 6 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm (1 cos ,2) (2 cos ,2) a x b x  = −   = +   r r Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 cos ) 2 cos 2cos 5 (2 cos ) 2 cos 4cos 8 3 4 5 a x x x b x x x a b  = − + = − +   = + + = + +    + = + =  r r r r từ a b a b+ ≥ + r r r r <=> 5y ≥ Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại 2 3 x π = Vậy miny=5 Bài 6 : T ìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )y x px p x qx q p q= − + + − + ≠ Gi ải Ta c ó 2 2 2 2 ( ) ( )y x p p x q q= − + + − + Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trò nhỏ nhất. Xét hai trường hợp: - Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O .Khi đó (MA + MB) nhỏ nhất ⇔ M trùng O, tức là 2 2 min 2 2 2( )y p q p q= + = + đạt được khi x = 0 - Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : ' 'MA MB MA MB A B + = + ≥ Đẳng thức xãy ra ⇔ A’, M, B thẳng hàng Trang 7 A A ’ B MO x y Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm 2 2 min 2 2 ( ) ' ' ( ) 2 ' ( ) ( ) 2( ) x p k q p A M k A B p k q p p k p q pq x p q y A B p q p q p q           − = − ⇔ = ⇔ = + = + ⇔ = + = = − + + = + uuuuuur uuuuur đạt được khi x = 2pq/(p+q) Bài 7 Giải phương trình: 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + + (1) Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: ( 1,1) (3 2,5) (2 3,4) u x u v x v x  = −  ⇒ + = +  = +   r r r r 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29 u x x v x x u v x x  = − +   ⇒ = + +    + = + +  r r r r Suy ra phương trình (1) tương đương: u v u v+ = + r r r r Trang 8 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm ( 0) 1 (2 3) 1 .4 1 4 1 1 (2 3) 4 1 4 4 4 2 3 1 4 7 2 u kv k x k x k k x x k x x k x ⇔ = > − = +  ⇔  =   =   ⇔   − = +    =  ⇔   − = +   =   ⇔   =   r r Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7 2 x = Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = Giải Đặt 3 ; 6u x v x= + = − Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 1 10 2 (1) 9 9 (2) 0, 0 0, 0 (3) u v m u v uv m u v u v u v u v             + = + − + − = + = ⇔ + = ≥ ≥ ≥ ≥ - Phương trình (1) biểu thò 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính = 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3). Vậy Pt có nghiệm khi 3 1 10 2 3 2 6 2 9 3 2 m m ≤ + − ≤ − ⇔ ≤ ≤ Bài 9: Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2,a a a a a R + + + − + ≥ ∀ ∈ Trang 9 Đặng Văn Chiến THPT Cao Bá Qt Gia Lâm (Hướng dẫn) Xét hai vectơ 1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 x a y a    = +   ÷  ÷        = − +  ÷   ÷    r ur 2 2 1 2cos 1 2sinx x m+ + + = Bài 10: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : 2 2 ( ) cos 6cos 13 cos 2cos 2y f x x x x x= = − + + + + trên [ ] 2004 , 2006 π π (Hướng dẫn) Xét hai vectơ (3 cos ,2) (1 cos ,1) a x b x  = −   = +   r r Bài 1:Giải hệ phương trình 2 2 2 3 3 3 1 1 1 x y z x y z x y z      + + = + + = + + = Giải Xét hai véc tơ 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ; ( , , )u x y z v x y z= = ur r trong đó 0 0 0 ( , , )u x y z= r Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) của hệ đã cho. Ta có 3 3 3 0 0 0 . 1u v x y z= + + = ur r Ngoài ra tính được 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1; 1 2( 1u v x y y z z x = = − + + ≤ ur r Vậy . 1 .u v u v≤ = ur r ur r Do đó . .u v u v= ur r ur r Dấu bằng xãy ra 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x y y z z x x y z        = = ⇔ = + + = Trang 10