Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 Tn : 1+ 2 Ngµy so¹n : 25/9/2009 Ngµy d¹y . Chuyªn ®Ị bÊt ®¼ng thøc I/ Tóm tắt kiến thức: Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ hơn), ≥ (lớn hơn hoặc bằng), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta có: A > B ⇔ A – B > 0 ; A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 − Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A ≥ B, A ≤ B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức. − Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều. − Nếu ta có A > B ⇒ C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B Nếu ta có A > B ⇔ E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương đương. A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B) là bất đẳng thức không ngặt. A ≥ B là A > B hoặc A = B A ≠ B cũng là bất đẳng thức. Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C Bất đẳng thức Cô – si( bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân) Đối với 2 số không âm: ∀ a,b ≥ 0, ta có: 2 +a b ≥ ab .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Tổng quát: ∀ a 1 , a 2 , a 3 , ,a n ≥ 0(với n số) 1 2 + + + n a a a n 1 2 n n a a a Đấu đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n Ứng dụng: - Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất: + Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab ≤ 2 ( ) 2 +a b ⇔ ab ≤ 2 4 k => Max(ab) = 2 4 k khi a = b= 2 k + Nếu ab = p (p là hằng số) thì a + b ≥ 2 p => Min (a + b) =2 p khi a = b = p - Giải phương trình, hệ phương trình. II/ Bài tập áp dụng: Giải bất đẳng thức không điều kiện ràng buột giữa các biến: Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR: cb a + 2 + ca b + 2 + ab c + 2 ≥ 2 cba ++ Bài giải: Với a, b, c > 0 ta có: cb a + 2 + 4 cb + ≥ a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) Tương tự ta có: ca b + 2 + 4 ca + ≥ b; và ab c + 2 + 4 ba + ≥ c Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 1 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 => cb a + 2 + ca b + 2 + ab c + 2 + 2 cba ++ ≥ a + b + c => cb a + 2 + ca b + 2 + ab c + 2 ≥ 2 cba ++ (đpcm) Vậy cb a + 2 + ca b + 2 + ab c + 2 ≥ 2 cba ++ Bài 2: Cho3 số dương a, b, c. CMR: 3 b a + 3 b c + 3 c a ≥ a ac + b ba + c ab Bài giải: Ta có: 3 b a + 3 b c + 3 c a = 3 b a + bc + 3 b c + ca + 3 c a + ab – (ac + cb + ab) = 3 b a + bc + 3 b c + ca + 3 c a + ab– ( ab 2 + bc 2 + ab 2 + ac 2 + bc 2 + ac 2 ) ≥ 2 3 . a bc c + 2 3 . b ac c + 2 3 . c ab a + 2 . 4 ab bc - 2 . 4 ab ac - 2 . 4 bc ac = = 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (đpcm) Vậy 3 b a + 3 b c + 3 c a ≥ a ac + b ba + c ab ∀ a, b, c > 0 Bài 3: CMR: ∀ a, b, c > 0 ta có: ab bc ca a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b + + + + + + + + ≤ a b c 6 + + Bài giải: p dụng bất đẳng thức: ( 1 1 a b c 1 + + )(a + b + c) ≥ 3 3 1 abc 3 3 abc = 9 ⇒ 1 a b c+ + ≤ 1 9 ( 1 1 a b c 1 + + ) ⇒ ab a 3b 2c+ + = ab a c b c 2b+ + + + ≤ ab 9 ( 1 1 a c b c 2 b 1 + + + + ) Tương tự: bc b 3c 2a+ + ≤ bc 9 ( 1 1 b a a c 2c 1 + + + + ) và ca c 3a 2b+ + ≤ ca 9 ( 1 1 b c 2a 1 b a + + + + ) VT ≤ ab 9 ( 1 1 a c b c 2 b 1 + + + + )+ bc 9 ( 1 1 b a a c 2c 1 + + + + )+ ca 9 ( 1 1 b c 2a 1 b a + + + + ) = ( ab 9 + bc 9 ) 1 a c+ + ( ab 9 + ca 9 ) 1 b c+ + ( bc 9 + ca 9 ) 1 b a+ + a 18 + b 18 + c 18 = b(a c) 9(a c) + + + a(b c) 9(b c) + + + c(b a) 9(b a) + + + a 18 + b 18 + c 18 = = a 9 + b 9 + c 9 + a 18 + b 18 + c 18 = a 6 + b 6 + c 6 = a b c 6 + + = VP Vậy ab bc ca a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b + + + + + + + + ≤ a b c 6 + + ∀ a, b, c > 0 Bài 4:Cho a, b, c > 0. CMR: ab c(c a)+ + bc a(a b)+ + ca b(b c)+ ≥ a a c+ + b a b+ + c b c+ (1) Bài giải: Bất đẳng thức đã cho tương dương: ⇔ b a . c c a+ + c . a b a b+ + a c . b b c+ ≥ a a c+ + b a b+ + c b c+ Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 2 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 ⇔ b 1 . c c 1 a + + c . a a b 1 1+ + a 1 . b b 1 c + ≥ 1 c 1 a + + a b 1 1+ + 1 b 1 c + Đặt a b = x, b c = y, c a =z => a b . b c . c a = xyz = 1 và z, y, x > 0 ⇒ BĐT:y. 1 z 1+ + z. 1 x 1+ + x. 1 y 1+ ≥ 1 z 1+ + 1 x 1+ + 1 y 1+ ⇔ y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1) ≥ (x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1) (z + 1) ⇔ (y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1) ≥ 0 ⇔ y 2 x + y 2 – x – 1 + z 2 y + z 2 – y – 1 + x 2 z + x 2 – z – 1 ≥ 0 ⇔ ( y 2 x+ x 2 z+ z 2 y) + ( y 2 + z 2 + x 2 ) – (x + y + z) – 3 ≥ 0 (*) p dụng bất đẳng thức cô si, ta có: y 2 x+ x 2 z+ z 2 y ≥ 2 2 2 3 3 y x.x z.z y = 3xyz =3; y 2 + z 2 + x 2 ≥ 2 2 2 3 3 y x z = 3 3 1 = 3;x + y + z ≥ 3 3 yxz 3= VT của (*) ≥ 3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng Vậy ab c(c a)+ + bc a(a b)+ + ca b(b c)+ ≥ a a c+ + b a b+ + c b c+ Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c. CMR: )1( 1 )1( 1 )1( 1 accbba + + + + + ≤ )1( 3 33 abcabc + Bài giải: Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức: ∀ x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z) 2 ≥ 3(xy + yz + zx), suy ra:P 2 ≥ 1 1 1 3( ) ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b) + + + + + + + + = )1)(1)(1( ))1()1()1((3 cbaabc cbbaac +++ +++++ = = )1)(1)(1( )1)1)(1)(1((3 cbaabc abccba +++ −−+++ => P 2 ≥ )1)(1)(1( 3 )1)(1)(1( 33 cbaabccbaabc +++ − +++ − (1) Đặt t = 3 abc .Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) ≥ 1 + 3t + 3t 2 + t 3 = (1 + t) 3 (2) Từ (1)và (2) suy ra: P 2 ≥ 3333 )1( 3 )1( 33 tttt + − + − = 33 33 )1( )1)1((3 tt tt + −−+ = 22 )1( 9 tt + ⇒ P ≥ )1( 3 tt + = )1( 3 33 abcabc + ( do P > 0) Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a b c+ + b c a+ + c a b+ > 2. Bài giải: Đặt a + b + c = t b c a + .1 ≤ b c 1 a 2 + + = b c a a 2 + + = t 2a hay a b c+ ≥ Tương tự: b c a+ ≥ 2b t và c a b+ ≥ 2c t Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 3 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 ⇒ a b c+ + b c a+ + c a b+ ≥ 2a t + 2b t + 2c t = 2(a b c) t + + = 2t t = 2 Dấu bằng xảy ra khi: b c a + = 1, a c b + = 1, b a c + = 1 ⇒ a b c b a c c a b = + = + = + ⇔ a + b + c = 2(a + b + c) ⇔ a + b + c = 0 (*) Theo giả thiết thì a + b + c ≠ 0 ⇒ (*) không xảy ra. Vậy dấu bằng không xảy ra. ⇒ a b c+ + b c a+ + c a b+ > 2. (đpcm) Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR: Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có: 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 + + ≥ x 2 y 2 z 2 ⇔ x 3 y 3 + x 3 z 3 + y 3 z 3 ≥ 3x 2 y 2 z 2 ⇔ 6x 3 y 3 + 6x 3 z 3 + 6y 3 z 3 ≥ 18x 2 y 2 z 2 (*) Lại có: (x 3 – xyz) 2 ≥ 0 ⇔ x 6 + x 2 y 2 z 2 ≥ 2x 4 yz ⇔ x 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 + + ≥ 2x 4 yz (1) Tương tự: y 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 + + ≥ 2y 4 xz (2) z 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 + + ≥ 2z 4 xy (3) Từ (1), (2), (3) ta có: x 6 + y 6 + z 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z+ + ≥ 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy (4) Từ (4) và (*) ta có: x 6 + y 6 + z 6 +7 3 3 3 3 3 3 x y 7y z 7x z+ + ≥ 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy + 18x 2 y 2 z 2 (*’) Ta có: 6 6 6 x y z 3 + + ≥ x 2 y 2 z 2 . Do đó: x 6 + 6 6 6 x y z 3 + + ≥ 2x 4 yz Tương tự: y 6 + 6 6 6 x y z 3 + + ≥ 2y 4 xz ; z 6 + 6 6 6 x y z 3 + + ≥ 2z 4 xy Cộng theo vế ta có: 2(x 6 + y 6 + z 6 ) ≥ 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy ⇔ 7x 6 + 7y 6 + 7z 6 ≥ 7x 4 yz + 7y 4 xz + 7z 4 xy (5) Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x 6 +8y 6 +8z 6 +7 3 3 3 3 3 3 x y 7y z 7x z+ + ≥ 9x 4 y+9y 4 xz+9z 4 xy+ 18x 2 y 2 z 2 ⇔ 8(x 6 + y 6 + z 6 + 2 3 3 3 3 3 3 x y 2y z 2x z+ + ) ≥ 9(x 4 y + y 4 xz + z 4 xy+ 2x 2 y 2 z 2 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z+ + ) ⇔ 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 ≥ 9(x 2 (y 2 z 2 + x 2 yz + xy 3 + xz 3 )+ yz(x 2 yz + xy 3 + y 2 z 2 + xz 3 ) ⇔ 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 ≥ 9(x 2 + yz)( y 2 z 2 + x 2 yz + xy 3 + xz 3 ) ⇔ 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 ≥ 9(x 2 + yz)(y 2 (z 2 + xy) + xz(z 2 + xy)) = 9(x 2 + yz)(y 2 + xz) (z 2 + xy)(đpcm) Vậy 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 ≥ 9(x 2 + yz)(y 2 + xz)(z 2 + xy) Giải bất đẳng thức có điều kiện ràng buột giữa các biến: Bài 8: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: yx yx − + 22 ≥ 2 2 . Bài giải: Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 4 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 Do x > y => x – y > 0 Ta có: yx yx − + 22 = yx xyyx − +− 2)( 2 = yx yx − +− 2)( 2 = (x – y) + yx − 2 ≥ 2 yx yx − − 2 ).( = 2 2 (p dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương) Vậy yx yx − + 22 ≥ 2 2 khi xy = 1 và x > y Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh: + + + + + + +a b b c c d d a ≤ 2 2 Bài giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương: ⇔ 2 ( )+ + +a b b c + 2 ( )+ + +c d d a + 2 ( )+ + +a b b c ( )+ + +c d d a ≤ 8 ⇔ a + b + c + d + 2 ( )( )+ +a b b c + a + b + c + d + 2 ( )( )+ +c d d a + 2 ( )( )+ +a b c d + 2 ( )( )+ +a b d a + 2 ( )( )+ +b c c d +2 ( )( )+ +b c d a ≤ 8 ⇔ 2(a + b + c + d)+ 2 ( )( )+ +a b b c + 2 ( )( )+ +c d d a + 2 ( )( )+ +a b c d + 2 ( )( )+ +a b d a + 2 ( )( )+ +b c c d +2 ( )( )+ +b c d a ≤ 8 p dụng bất đẳng thức Côsi: 2 ( )( )+ +a b b c ≤ a + b + b+ c = a +2b + c; 2 ( )( )+ +b c d a ≤ a + b + c + d 2 ( )( )+ +c d d a ≤ c + d + d + a = c + 2d + a; 2 ( )( )+ +a b c d ≤ a + b + c + d 2 ( )( )+ +a b d a ≤ a + b + d + a = 2a + b + d;2 ( )( )+ +b c c d ≤ b + c + c + d = b + 2c + d Cộng theo vế:VT ≤ 2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d ≤ 8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.) Vậy + + + + + + +a b b c c d d a ≤ 2 2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = d = 1/4 Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR: 2 2 2 2 ( )+x y x y ≤ 2 Bài giải: Ta có: 2 2 +x y = 2 ( )+x y - 2xy = 2 2 - 2xy = 4 – 2xy Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y ≥ 2 xy ⇔ 2 ≥ 2 xy ⇔ xy ≤ 1 ⇒ 2 2 +x y ≤ 4 – 2 = 2 và 2 2 x y ≤ 1 ⇒ 2 2 2 2 ( )+x y x y ≤ 2.1 = 2 (đpcm) Bài 11:Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a 3 1 b c+ − + b 3 1 c a+ − +c 3 1 a b+ − ≤ 1 Bài giải: p dụng bất đẳng thức cô si: a 3 1 b c+ − ≤ a 1 1 1 b c 3 + + + − = 3a ba ca 3 + − Tương tự: b 3 1 c a+ − ≤ 3b bc ba 3 + − và c 3 1 a b+ − ≤ 3c ac bc 3 + − Cộng theo vế: a 3 1 b c+ − + b 3 1 c a+ − +c 3 1 a b+ − ≤ 3a ba ca 3 + − + 3b bc ba 3 + − + 3c ac bc 3 + − = = 3a ab ca 3b cb ab 3c ca cb 3 + − + + − + + − = 3a 3b 3c 3 + + = 3(a b c) 3 + + = 3 3 = 1 (dpcm) Vậy a 3 1 b c+ − + b 3 1 c a+ − +c 3 1 a b+ − ≤ 1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 5 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a 2 +b 2 +c 2 =1.CMR: 2 2 b 1 c+ + 2 2 1 c a+ + 2 2 1 a b+ ≤ 3 3 3 a b c 2abc + + + 3 Bài giải: Ta có: VT = 2 2 2 2 2 b a b c c + + + + + 2 2 2 2 2 a a b c b + + + = 2 2 2 b a c+ +1 + 2 2 2 c b a+ + 1 + 2 2 2 a c b+ + 1 = = 2 2 2 b a c+ + 2 2 2 c b a+ + 2 2 2 a c b+ +3 ≤ 2 a 2bc + 2 2c b a + 2 2a c b + 3 = 3 3 3 b ca 2abc + + + 3 = VP Vậy 2 2 1 b c + + 2 2 1 c a+ + 2 2 1 a b+ ≤ 3 3 3 a b c 2abc + + + 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 3 Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 3 2 . CMR: B = (1+ 3 1 a )(1+ 3 b 1 )(1+ 3 c 1 ) ≥ 729 Bài giải: Ta có: B = 1 + 3 1 a + 3 b 1 + 3 c 1 + 3 3 1 a b + 3 3 c 1 a + 3 3 b c 1 + 3 3 3 1 a b c B ≥ 1 +3 3 3 3 3 1 a b c + 3 3 3 3 3 3 3 3 1 a b c a b c + 3 3 3 1 a b c = 1 + 3 1 abc + 3 2 2 2 1 a b c + 3 3 3 1 a b c = ( 1 + 1 abc ) 3 Mặt khác: abc ≤ ( a b c 3 + + ) 3 = ( 3 2 3 ) 3 = 1 8 ⇒ B ≥ (1+ 1: 1 8 ) 3 = 9 3 =729 Vậy B = (1+ 3 1 a )(1+ 3 b 1 )(1+ 3 c 1 ) ≥ 729. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c = 3 2 : 3 = 1 2 Vậy: 2 2 2 2 ( )+x y x y ≤ 2. Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2 2 = 1 Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+ac ≤ abc. CMR: 8 a b+ + 8 b c+ + 8 a c+ ≤ 2 b c a + + 2 a b c + + 2 c a b + + 2 Bài giải: Ta có: (a + b) 2 ( 2 1 a + 2 1 b ) ≥ 4ab. 2 ab =8 ⇒ 2 1 a + 2 1 b ≥ 2 8 (a b)+ ⇒ 8 a b+ ≤ (a + b)( 2 1 a + 2 1 b ) ⇒ 8 a b+ + 8 b c+ + 8 a c+ ≤ (a + b)( 2 1 a + 2 1 b ) + (b + c)( 2 1 b + 2 c 1 )+ (a + c)( 2 1 a + 2 c 1 ) = = 2 a b a + + 2 a b b + + 2 b c b + + 2 b c c + + 2 c a a + + 2 c a c + = 2 a b c a a + + + + 2 a b b c b + + + + 2 b c c a c + + + = = 2 b c a + + 2 2a a + 2 a b c + + 2 2c c + 2 c a b + + 2 2b b = 2 b c a + + 2 a b c + + 2 c a b + + 2 a + 2 b + 2 c = = 2 b c a + + 2 a b c + + 2 c a b + + 2(ab bc ca) abc + + ≤ 2 b c a + + 2 a b c + + 2 c a b + + 2 (vì ab + bc + ac ≤ abc) (đpcm) Vậy 8 a b+ + 8 b c+ + 8 a c+ ≤ 2 b c a + + 2 a b c + + 2 c a b + + 2 Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 6 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 Bài 15:Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =1.CMR: a bc b c + + + b ca c a + + + c ab a b + + ≥ 2 Bài giải: VT= a(a b c) bc b c + + + + + b(a b c) ca c a + + + + + c(a b c) ab a b + + + + = a(a c) b(a c) b c + + + + + b(a b) c(a b) c a + + + + + c(b c) a( b c) a b + + + + = (a c)(a b) b c + + + + (a b)(b c) c a + + + + (b c)(c a) a b + + + Đặt a + b = x, b + c = y, c + a = z. VT bất đẳng thức tương đương: zx y + xy z + yz x ≥ zx xy 2 2y 2z + xy zy 2 2z 2x + yz zx 2 2x 2y = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCô si) Vậy a bc b c + + + b ca c a + + + c ab a b + + ≥ 2 ∀ a a, b, c >0 thoả a + b + c =1 Bài 16:Cho a, b, c dương, abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 1 a b 1+ + + 3 3 1 b c 1+ + + 3 3 1 c a 1+ + ≤ 1 Bài giải: Vì abc = 1, nên từ: (*) <=> : a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b) + abc <=> a 3 + b 3 + 1 ≥ ab(a + b + c) <=> 3 3 1 1+ +a b ≤ 1 ( )+ +ab a b c . Tương tự, : 3 3 1 1+ +b c ≤ 1 ( )+ +bc b c a , 3 3 1 1+ +c a ≤ 1 ( )+ +ca c a b . ⇔ 3 3 1 1+ +a b + 3 3 1 1+ +b c + 3 3 1 1+ +c a ≤ 1 ( )+ +ab a b c + 1 ( )+ +bc b c a + 1 ( )+ +ca c a b = ( ) + + + + a b c abc a b c = 1 abc = 1 Vậy 3 3 1 a b 1+ + + 3 3 1 b c 1+ + + 3 3 1 c a 1+ + ≤ 1 Ứng dụng vào chứng minh hình học: Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại C. BC = a, AC = b, AB = c . Gọi h c là đường cao của tam giác kẻ tại C. CMR: + + c a b c h ≥ 2(1 + 2 ) Bài giải: Vì tam giác ABC vuông tại C, áp dụng đònh lý Pytago ⇒ 2 c = 2 2 +a b ⇒ c = 2 2 +a b Và ab = ch c ⇒ h c = ab c ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) ⇒ + + c a b c h = + +a b c ab c = ( )+ +a b c c ab = 2 ( )+ +a b c c ab = 2 2 2 2 ( )+ + + +a b a b a b ab ≥ 2 2 2+ab ab ab ab = = 2 2 +2 = 2(1 + 2 ) Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 7 Giẫ ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 2009 -2010 Vậy + + c a b c h ≥ 2(1 + 2 ) . Dấu bằng xảy ra khi a = b hay tam giác ABC vuông cân tại C Tn ; 3+ 6 Chuyªn ®Ì cùc trÞ ®¹i sè Ngµy so¹n ; 4/9/2009 ngµy d¹y ; II. néi dung D ¹ng1: T×m cùc trÞ cđa biĨu thøc d¹ng: F(x) = ax 2 + bx + c. (a ≠ 0) C¸ch gi¶i: - Ta ®a vỊ d¹ng: F(x) = a[(x 2 + a b x + a b 4 2 ) - 2 2 4a b + c a ] = a(x + a b 2 ) 2 + a acb 4 )4( 2 −− + NÕu a > 0 th× GTNN[F(x)] = a acb 4 )4( 2 −− ⇔ x = - a b 2 + NÕu a < 0 th× GTLN[F(x)] = a acb 4 )4( 2 −− ⇔ x = - a b 2 D¹ng2: TÝm cùc trÞ cđa biĨu thøc d¹ng: F(x,y) = ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + h (a.b.c ≠ 0) (1) C¸ch gi¶i: C¸ch1: §a dÇn c¸c biÕn vµo trong h»ng ®¼ng thøc a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 nh sau: F(x,y) = mK[x,y] 2 + nG[y] 2 + r (2) hc F(x,y) = mK[x,y] 2 + nH[x] 2 + r (3) Trong ®ã: G[y] , H[x] lµ biĨu thøc bËc nhÊt ®èi víi biÕn, cßn K[x,y] = px + qy + k còng lµ biĨu thøc bËc nhÊt ®èi víi c¶ hai biÕn x vµ y. Cơ thĨ: Ta biÕn ®ỉi (1) ®Ĩ chun vỊ d¹ng (2) nh sau víi a ≠ 0 vµ 4ac – b 2 ≠ 0: 4a.F(x,y) = 4a 2 x 2 + 4abxy + 4acy 2 + 4adx + 4aey + 4ah = 4a 2 x 2 + b 2 y 2 + d 2 + 4abxy + 4adx + 2bdy + (4ac – b 2 )y 2 + 2y(2ae – bd) + 4ah – d 2 = = (2ax + by + d) 2 + (4ac – b 2 )(y + 2 4 2 bac bdae − − ) 2 + 4ah – d 2 - ( 2 4 2 bac bdae − − ) 2 VËy cã (2) víi m = a4 1 , F(x,y) = 2ax + by + d, n = - a acb 4 4 2 − ; G(y) = y + 2 4 2 bac bdae − − ; r = h - a d 4 2 - )4(4 )2( 2 2 baca bdae − − + NÕu a > 0 vµ 4ac – b 2 > 0 th× m > 0 vµ n > 0, tõ (2) cã F(x,y) ≥ r (*) + NÕu a < 0 vµ 4ac – b 2 > 0 th× m < 0 vµ n < 0, tõ (2) cã F(x,y) ≤ r (**) + NÕu m > 0 , n > 0 th× ta t×m ®ỵc GTNN + NÕu m < 0 , n < 0 th× ta t×m ®ỵc GTLN DĨ thÊy r»ng lu«n tån t¹i (x, y) ®Ĩ cã dÊu ®¼ng thøc. Nh thÕ ta sÏ t×m ®ỵc cùc trÞ cđa ®a thøc ®· cho. Trong c¶ hai trêng hỵp trªn: - NÕu r = 0 th× ph¬ng tr×nh F(x, y) = 0 cã nghiƯm. - NÕu F(x, y) ≥ r > 0( hc F(x, y) ≤ r < 0) th× kh«ng cã (x, y) nµo tháa m¶n F(x, y) = 0. + NÕu a > 0, 4ac – b 2 < 0 vµ r = 0 th× theo (2) F(x, y) ph©n tÝch ®ỵc tÝch cđa hai nh©n tư, gióp ta gi¶i ®ỵc c¸c bµi to¸n kh¸c. Viole.vn/ducnghi58 Trường THCS Lương Phú 8 Giaó án bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 năm học ; 2009 -2010 Cách biến đổi này có đờng lối cụ thể, mục tiêu xác định, nên biến đổi nhanh, kết quả biến đổi là duy nhất, do đó phạm vi áp dụng rộng rải. Cách2: Đa các biến vào bình phơng của tổng dựa vào công thức: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Dạng3: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện: a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức: Q= ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + f = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: U= Ax + By + C (2) *cách giải: - cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= - B A x- B C - B U Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0. - Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m 2 U 2 + nU + k + [f(x)] 2 = 0.(*) Do Q= 0 và [f(x)] 2 0 => m 2 U 2 + nU + k 0 U 1 U U 2 =>{MinU=U 1 ;maxU=U 2 } * Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p 2 (x-a) 2 + q 2 (y-b) 2 - r 2 =0 - Cách 1 : Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki - Cách 2 : Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx | 22 ba + (lợng giác) Dạng 4: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 0) Tìm cực trị của biểu thức: T = p 2 (x - m) 2 + q 2 (y - n) 2 - r 2 Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau: Cách 1: Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1. Cách2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski Bài tập áp dụng: Dạng1: Bài tập 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, A = x 2 x + 1 b, B = 2 3 x 2 + 3x + 4 5 c, C = (x + 1) 2 + (x - 3) 2 Lời giải: a, Ta có A = x 2 2x 2 1 + 4 1 + 4 3 = (x - 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 ( Do (x - 2 1 ) 2 0) Do đó : GTNN(A) = 4 3 khi và chỉ khi x = 2 1 b,Ta có: B = 2 3 (x 2 + 2x + 1 - 6 1 ) = 2 3 (x + 1) 2 - 4 1 - 4 1 (Do 2 3 (x + 1) 2 0 ) Vậy: GTNN(B) = - 4 1 khi và chỉ khi x = -1 c,Ta có: C = x 2 + 2x + 1 + x 2 6x + 9 = 2x 2 4x + 10 = 2(x - 1) 2 + 8 8 Đẳng thức xẩy ra x = 1. Vậy GTNN(D) = 8 x = 1 Bài tập2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a, A = -3x 2 + 6x +1 b, B = - x 2 x + 1 Viole.vn/ducnghi58 Trng THCS Lng Phỳ 9 Giaó án bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 năm học ; 2009 -2010 Lời giải: a, Ta có: A = -3(x - 1) 2 + 4 4 suy ra GTLN(A) = 4 x = 1 b, Ta có: B = - (x + 2 1 ) 2 + 4 5 4 5 suy ra GTLN(B) = 4 5 x = 2 1 Dạng2: Bài tập3: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, A = x 2 + 2y 2 2xy + 2x 2y +1 b, B = x 2 +2y 2 - 2xy + 2x - 10y c, C = x 2 + y 2 + xy 3x 3y + 2008 Lời giải: a, Ta có: A = (x 2 + y 2 2xy ) +2(x - y) + 1 + y 2 = (x y) 2 +2(x - y) + 1 + y 2 = (x y + 1) 2 + y 2 0 Do đó: GTNN(A) = 0 = = 0 1 y x b, Ta có B = (x 2 + y 2 + 1 - 2xy + 2x 2y) + (y 2 8y + 16 ) 17 (x y + 1) 2 + (y - 4) 2 17 - 17. Khi x = 3, y = 4 thì B = -17 Vậy GTNN(B) = - 17. Hoặc ta có thể phân tích theo cách khác nh sau: Ta có: B = (x 2 + y 2 2xy) + 2(x - y) + 1 + (y 2 8y + 16) 17 = (x y + 1) 2 + (y - 4) 2 17 - 17 Vậy GTNN(B) = - 17 khi và chỉ khi x = 3, y = 4 c, Ta có: 4C = 4x 2 + 4y 2 + 4xy 12x 12y + 8032 = (4x 2 + y 2 + 9 + 4xy 12x 6y) + (3y 2 6y + 3) + 8020 C = 4 1 (2x + y - 3) 2 + 4 3 (y - 1) 2 + 2005 2005 . Dấu đẳng thức xẩy ra x = y = 1.Vậy GTNN(C) = 2005 x = y = 1 (Hoặc C = 4 1 (2y + x - 3) 2 + 4 3 (x - 1) 2 + 2005 ) Nhận xét: Trong quá trình tìm cực trị của dạng toán trên HS thờng hay mắc sai lầm khi tìm điều kiện để dấu đẳng thức xẩy ra. Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau: S = 2x 2 + 3y 2 2xy 2x + 4y + 8. Một em HS làm nh sau: Ta có: S = (x 2 2xy +y 2 ) + (x 2 2x +1) + 2(y 2 + 2y +1) + 5 = (x - y) 2 + (x - 1) 2 + 2(y + 1) 2 + 5 5 Vậy GTNN(S) = 5. Ta thấy không thể xẩy ra dấu bằng trong trờng hợp này. Vì hệ: =+ = = 01 01 0 y x yx vô nghiệm. Lời giải đúng nh sau: Ta có: S = 2[x 2 2x 2 1+y + 4 )1( 2 +y ] - 2 )1( 2 +y + 3y 2 + 4y + 8. Viole.vn/ducnghi58 Trng THCS Lng Phỳ 10 [...]... a(a 1) + a d) D = a 1 a x 2 + 5x + 6 + x 9 x 2 2x 6 + x 2 9 3x x 2 + (x + 2) 9 x 2 1 1 1 1 E= + 1 2 2 3 3 4 24 25 34 CMR, n Z+ , ta cú : 1 1 1 1 + + + + < 2 2 3 2 4 3 (n + 1) n 16 Viole.vn/ducnghi58 Trng THCS Lng Phỳ Giaó án bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 năm học ; 20 09 -2010 1 1 1 1 + + + + Hóy so sỏnh A v 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 36 Cho 3 s x, y v x + y l s hu t Chng... toán lớp 9 năm học ; 20 09 -2010 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1 Bài tập 6: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: 4x2 + 3y2 - 4xy 2y 2008 = 0 Tìm GTNN, GTLN của M = x - y 1 + 2 2 Lời giải: 4x2 + 3y2 - 4xy 2y 2008 = 0 4x2 + y2 + 1 4xy 2y + 4x + 2y2 20 09 = 0 (2x y +1)2 + 2y2 20 09 = 0 Do 2y2 0 suy ra: (2x y +1)2 20 09 0 2 x y + 1 20 09 - 20 09 2x y + 1 20 09 Ta có: y 1 20 09 20 09 x + 2... nhau bởi công thức Q=36x 2 + 16y 2 - 9 = 0 (3) Tìm GTLN,GTNN của U= y- 2x +5 bài giải: Cách1: Ta có: (2) y=U+2x -5 thế vào (1) Ta có: 100x 2 +64(U-5) +16(U-5) 2 -9 =0 Xem (4) là phơng trình đối với ẩn x = 32 2 (U-5) 2 -100 [16(U-5) 2 -9] =90 0-576(U-5) 2 Phơng trình (4) có nghiệm 90 0-576(U-5) 2 0 5 15 25 U 4 4 4 15 2 9 Dấu đẳng thức: U= x= và y= 4 5 20 25 2 9 U= x=- và y= 4 5 20 | U-5 | 12 Viole.vn/ducnghi58... khụng ? 1 1 1 1 + + + + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 100 99 + 99 100 1 1 1 + + + > n 22 Chng minh : 1 + 2 3 n 23 Cho a = 17 1 Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000 21 Tớnh : A = (x 0) 15 Viole.vn/ducnghi58 Trng THCS Lng Phỳ Giaó án bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 24 Tỡm giỏ tr ln nht ca S = năm học ; 20 09 -2010 x 1 + y 2 , bit x + y = 4 25 Tớnh giỏ tr ca biu... 6 + 2 49 x 2 + 7 x 42 < 181 14 x (1)(ĐHAN -99 ) 2/ 4 x + 4 17 x = 3 5/ 5 x 2 + 14 x + 9 x 2 x 20 = 5 x + 1 3/ x2+ x + 5 =5 6/ 3 (2 x) 2 + 3 (7 + x) 2 3 (7 + x)(2 x) = 3 HD: 1/ Là loại đơn giản 2,3/ Đa về hệ U = 7 x + 7 4/Đặt Thì (1) trở thành U+V+2UV+U2+V2-180 . Phú 16 Giaã ¸n båi dìng häc sinh giái m«n to¸n líp 9 n¨m häc ; 20 09 -2010 35. Cho 1 1 1 1 A 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 = + + + + . Hãy so sánh A và 1 ,99 9. 36. Cho 3 số x, y và x y+ là số hữu tỉ ( ab 9 + ca 9 ) 1 b c+ + ( bc 9 + ca 9 ) 1 b a+ + a 18 + b 18 + c 18 = b(a c) 9( a c) + + + a(b c) 9( b c) + + + c(b a) 9( b a) + + + a 18 + b 18 + c 18 = = a 9 + b 9 + c 9 + a 18 + b 18 + c 18 =. 2y 2 20 09 = 0 (2x y +1) 2 + 2y 2 20 09 = 0. Do 2y 2 0 suy ra: (2x y +1) 2 20 09 0 12 + yx 20 09 - 20 09 2x y + 1 20 09 2 20 09 x 2 y + 2 1 2 20 09 Vậy GTNN(M)