Đề thi quốc gia năm 2003

Xét điểm A nằm trên đường tròn O2 sao cho 3 điểm O1 ,O2,A không thẳng hàng.. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn O1 B và C là các tiếp điểm.. Các đường thẳng MB và MC cắt lại

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003

MÔN: TOÁN (Bảng A)

Ngày thi : 12/3/2003

Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và

thoả mãn điều kiện :

f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0;π).

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1]

Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O2) lớn hơn bán kính của đường tròn (O1) Xét điểm A nằm trên đường tròn (O2) sao cho 3 điểm O1

,O2,A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) (B và C là các tiếp điểm) Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2),tương ứng, tại E và F Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2) Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1,O2,A không thẳng hàng

( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)

Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu sn là số các hoàn vị (a1,a2,….,an) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a1,a2,…., an) đều có tính chất 1≤|ak- k|≤2 với mọi k = 1,2,3,…,n

Chứng minh rằng : 1,75.sn−1 < sn < 2.sn+1 với mọi số nguyên n >6

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003

MÔN: TOÁN (Bảng A)

Ngày thi : 13/3/2003

Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :

(x+1)2 + y2

1 = (x+2)2 + y2

2 = … = (x+k)2 + yk2 = … = (x+n)2 + y2

n

có nghiệm nguyên (x,y1,y2,….,yn)

Bài 5 : Cho hai đa thức :

P(x) = 4x3- 2x2- 15x + 9

1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) Chứng minh rằng: α2 + 3β2 = 4

Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R+ → R+ thoả mãn điều kiện:

f(3x)≥ f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x

Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F

ta đều có :

f(x) ≥ α với mọi số thực dương x

( R+ kí hiệu tập hợp các số thực dương)