Bồi dưỡng HSG dao động điện từ

Khi giải các bài toán về mạch dao động điện từ, học sinh thường gặp khó khăn bởi các lý do sau : + Trong chương trình vật lý phổ thông , thời lượng phân bố cho hệ đơn vị kiến thức này c

Phần I: MỞ ĐẦU

Thời gian gần đây,dạng bài toán mạch dao động điện từ LC thường xuất hiện trong các đề thi đại học,học sinh giỏi các cấp Đây là loại bài tập vật lý khó,đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tổng hợp được kiến thức phần điện học Khi giải các bài toán về mạch dao động điện từ, học sinh thường gặp khó khăn bởi các lý do sau :

+ Trong chương trình vật lý phổ thông , thời lượng phân bố cho hệ đơn

vị kiến thức này chỉ trong 1 tiết , vả lại không có tiết bài tập để rèn luyện bài tập loại này

+ Tài liệu tham khảo viết về chuyên đề này còn rất hiếm

+ Để giải được loại bài tập này , học sinh phải nắm vững các đơn vị kiến thức vật lý11 Thực tế khi học xong chương Dao động điện -Dòng điện xoay chiều (VL12) , sau đó chuyển tiếp qua chương Dao động điện từ , học sinh thường rơi vào tâm lý lúng túng khi áp dụng kiến thức về dòng điện một chiều và dòng điện xoay chiều để giải bài toán Dao động điện từ

+ Khi lập hệ hai phương trình vi phân, học sinh không tự tìm được nghiệm bài toán,đồng thời gặp khó khăn trong việc áp dụng các điều kiện ban đầu để tìm lời giải cho bài toán

Nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy của GV và nghiên cứu của học sinh trong các kì thi ĐH và HSG các cấp, chúng tôi viết chuyên đề “Dao động điện từ” dưới một khía cạnh kinh nghiệm để vận dụng giải các bài toán về mạch dao động một cách thống nhất và xuyên suốt, tạo điều kiện tốt để

ba đối tượng học sinh trung bình, khá- giỏi đều có thể vận dụng được

Trong chuyên đề này chúng tôi đưa ra hai chủ đề chính: Chủ đề I là kiểu bài toán mạch dao động LC thông thường nhằm phục vụ luyện thi ĐH và HSG cấp Tỉnh-Quốc gia Chủ đề II là kiểu mạch dao động liên kết, đây là loại bài toán khó dùng để luyện thi học sinh giỏi quốc gia trở lên

Trong xu thế hiện nay,với mục đích nâng cao trình độ HSG của đất nước ta lên ngang tầm cấp khu vực, các giáo sư đầu ngành vật lý đã và đang đưa dạng bài tập dao động điện liên kết nhằm phổ thông hoá kiến thức này cho các đội dự tuyển HSG Quốc gia ở các tỉnh và dự đốn sắp đến sẽ đưa vào áp dụng trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia

Phần II: NỘI DUNG

I.Kiến thức áp dụng :

- Suất điện động xuất hiện trong cuộn dây : Li'

dt

di L

e= − = −

- Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ :U =Cq

- Định luật ôm cho đoạn mạch tổng quát:

i

1 1

+ Định luật KiếcSốp II: ∑ ∑

=

=

= m

K K n

i i

i

1 1

- Năng lượng điện trường :

C

q2

1

Wđ = 2

- Năng lượng từ : 2

t Li2

1

K K i

π

=

λ

=λ

=2T

Tfv

2) Xác định được hiệu điện thế hai đầu tụ điện , hai đầu cuộn dây :

Ví dụ: Xét mạch bên :uAB =Cq

2 2 2 AB

1 1 1 AB

'iLeu

'iLe

Trong hình vẽ này ta phải xác định được quan hệ

giữa dòng điện” đi qua” tụ điện và điện tích tụ điện Nếu dòng điện có chiều từ bản dương sang bản âm xuyên qua tụ điện thì i= +q'và ngược lại thì '

1 1

'

'

i L C q

i L C

q

(2)

4)Bằng cách khử dòng điện qua các cuộn dây để đưa về dạng phương trình vi phân hạng hai,thường phương trình vi phân hạng hai có dạng : +Nếu đề thi ĐH hoặc HSG quốc gia theo chủ đề I thường là:

(ω +ϕ)

=

→

=ω

ω++

=+

ω++

0qmqn

"

qm

"

qn

0qmqn

"

qm

"

qn

2 2 1 2

2 2 2 2 1 2

2 1 1 1

2 1 2 1 1 1

Và cho nghiệm ( )

=+

ϕ+ω

=+

2 2 2

2 1 2

1 1 2

1 1 1

tsin.B

"

qm

"

qn

tsin.A

"

qm

"

qn

(4) Từ đó giải (4) ta sẽ được phương trình dao động của q và 1 q có 2

thể là 1 phương trình điều hòa hoặc không điều hòa

5)Từ điều kện ban đầu của bài toán : t =0 thì ta có được q( 0 );q' ( 0 )hoặc q1( 0 );q2( 0 );q'1( 0 );q'2( 0 ) ,suy ra được Q0;ϕ trong phương trình (3) được A;B;ϕ1;ϕ2 trong phương trình (4) Sau đó dựa vào yêu cầu bài

toán , ta có thể luận giải để được lời giải cho phù hợp

B ÁP DỤNG

DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪI.BÀI TOÁN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ I

Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ Hai tụ điện C1;C2giống nhau có

cùng điện dungC Tụ điện C1 được tích điện đến hiệu điện thế U , cuộn dây 0

có độ tự cảm L , các khóa k1;k2 ban đầu đều mở Điện trở của cuộn dây, của

các dây nối và của các khóa là rất nhỏ,nên có thể coi dao động điện từ trong mạch là điều hòa

1.Đóng khóa k tại thời điểm 01 t = Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian tcủa :

a) Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây

b) Điện tích q trên bản tụ nối với A của tụ 1 C1

2.Gọi T là chu kì dao động của mạch 0 LC và 1 q là 2

điện tích của bản tụ nối với khóa k của tụ 2 C Đóng 2

khóa k ở thời điểm 2 t1 =T0 tìm biểu thức phụ thuộc

thời gian t của cường độ dòng điện chạy qua cuộn dâyL

⇒

−

=

tLC

1sinQq

0LC

cos 1

sin 0

) 0 (

) 0

0

0 0

0

π ϕ ϕ

LC Q

CU Q

i

CU q

1sinCUq

q1 0 (1)

tLC

1cosLC

1CU'

QQ

02

01 = = = (vìC1//C2 và C1 =C2)

- Tại t>T0 , dòng điện trong mạch chạy như hìng vẽ :

+ Mắt mạng A(L)B(C1)A : 1 Li'1

C

q

= (1)+ Mắt mạng A(C2)B(L)A : 2 Li'2

C

q =

(2)+ Tại A : il =i1 +i2 ⇒ 'il = 'i1+ 'i2 (3)

- Thay (3) vào (1),(2) ta được :

=++

'LC2

TsinQq

qq

q

0LC2

q

"

q

qq

0LC

1 2

1

1 1

2 1

1 2 1 2

2 1

1 2 1

q

0 1

0 01

sin

0 1

LC

t L

C U i i LC

t CU

q

Bài2: ( chuyên đề bồi dưỡng Vũ Thanh Khiết)

Cho mạch dao động như hình vẽ Tại thời điểm ban đầu khoá K mở và tụ điện có điện tích Q0, còn tụ kia không tích điện Hỏi sau khi đóng khoá K thì

điện tích các tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch biến đổi theo thời gian như thế nào? Hãy giả định một

cơ hệ tương đương như mạch dao động trên Coi C1 = C2

= C và L đã biết; Bỏ qua điện trở thuần của mạch

HD:

- Xét tại thời điểm t, giả sử dòng điện có chiều và các tụ tích điện như hình vẽ.

q1 0

2

− = 0 (4)Đặt x = LC

Q LC

=

)

2 cos(

2

)

2 sin(

2 2

0

/ 1

0

0 1

ϕ

ϕ

t LC X

LC q

i

t LC X

LC Q q

Aùp dụng điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒

) 0

1

i

Q q

sin 2 2

0

0

0 0

X LC

X LC Q Q

X LC Q

0 0 0

0 0

2 cos

0

sin 2 2

π ϕ ϕ

LC

2cos(

LC

2 + π2) = Q2LC0 sin(

LC

2.t )Mạch dao động trên tương đương như 1

cơ hệ

( hình vẽ) Trong đó ban đầu 1 trong 2 lò

xo bị nén hoặc dãn và lò xo còn lại chưa

biến dạng

Bài3: Cho mạch dao động như hình vẽ Ban đầu tụ C1 tích điện đến hiệu điện thế U0 = 10(V), còn tụ C2 chưa tích điện, các cuộn

dây không có dòng điện chạy qua Biết L1 = 10mH; L2

= 20mH; C1 = 10nF ; C2 = 5nF Sau đó khoá K đóng

Hãy viết biểu thức dòng điện qua mỗi cuộn dây Bỏ

qua điện trở thuần của mạch

HD:

- Xét tại thời điểm t, bộ tụ được vẽ lại và dòng

điện qua các cuộn dây có chiều như hình vẽ

) 3 (

) 2 (

) 1 (

/

/ 2 2 2

/ 1 1 1

q i C

q u

i L e u

i L e u

b AB AB AB

- Aùp dụng định luật KiếcSốp cho các mắt mạng

=

) 6 (

) 5 (

2 1

/ 2

/ 1 1

i

i

i

L i L

q

2 1

+

⇒ q// + 1 (1 1 )

2

1 L L

C b + q = 0Hay q// +

2 1 2 1

2 1

) (

) (

L L C C

L L

+

+

q = 0 ⇒ q = Q0.sin[

2 1 2 1

2 1

) (

) (

L L C C

L L

sin 0

) 0 (

) 0

i

U C q

0 1 0

π ϕ

U C Q

Vậy q = C1U0.sin [

2 1 2 1

2 1

) (

) (

L L C C

L L

2 1

) (

) (

L L C C

L L

+

+

cos[

2 1 2 1

2 1

) (

) (

L L C C

L L

2 1

) (

) (

L L C C

L L

+

+

.sin(

2 1 2 1

2 1

) (

) (

L L C C

L L

( sin ) )(

2 1 1

2 1 2 1

L L C C

L L L

C C L L

L

+

+ +

( sin ) )(

2 1 2

2 1 2 1

L L C C

L L L

C C L L

L

+

+ +

+

Thay số ta được: i1 = 32.10-3.sin105t (A) = 32.sin105t (mA)

= 32 sin(100000t) (mA)

i2 = 31.sin(100000t) (mA)

Bài4 : (Trích : Đề thi Olympic Vật lý tại

Liên bang Nga –năm 1987)

Cho mạch điện như hình bên Các phần tử

trong mạch đều là lí tưởng

a) Đóng khóa K , tìm Imax trong cuộn dây

và U1max trên tụ điện C1

b) Khảo sát sự biến thiên điện tích của tụ điện khi đóng khóa K

Giả sử chiều của các dòng điện trong mạch và

điện ïtích của các bản tụ (hình vẽ)

Ta có : i1 = +i L i2 (1)

' 2 1 2

q Li

1 2

0

L L

i i

1 1

Trong mạch điện như hình vẽ, tụ điện có điện dung

là C, hai cuộn dây L1 và L2 có độ tụ cảm lần lượt là

L1=L, L2=2L; điện trở của các cuộn dây và dây nối

không đáng kể Ở thời điểm t=0 không có dòng qua cuộn dây L2, tụ điện không tích điện còn dòng qua cuộn dây L1 là I1.

a) Tính chu kỳ của dao động điện từ trong mạch

b) Lập biểu thức của cường độ dòng điện qua mỗi cuộn dây theo thời gian

HD:

- Chọn chiều dòng điện như hình vẽ

Gọi q là điện tích bản tụ nối với B

q Li C

i =i +i (1)

Li -2Li =0 (2)

i q

2

' 01

2 Sin(ωt+ )

C

C

C AB

I I i I

I q

ϕϕ

= +

=

Tại thời điểm t=0 : i1 =I i1 ; 2 = 0;u AB = 0

Giải hệ được : I0C =I1 ;ϕ =π 2

.II.BÀI TOÁN LUYỆN TẬPÏTHEO CHỦ ĐỀ I

Bài 6: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ Hai tụ C1, C2 có điện dung bằng nhau: C1 = C2 = C ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L; nguồn có suất điện động E, bỏ qua điện trở dây nối và khoá K Ban đầu khoá K ở chốt a, sau đó đóng sang chốt b

1) Viết biểu thức điện tích phụ thuộc thời gian trên

các tụ C1,C2 khi khoá K đóng sáng chốt b Lấy mốc

thời gian là lúckhoá K đóng vào chốt b

2) Tính điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây

dẫn sau một chu kỳ biến đổi của điện tích trên tụ C1

Aùp dụng số: C = 0,5µF ; L = 5mH ; E = 6V

CE

µc 2) i = q1/ = - t

LC LC

CE

.

2 sin )

2 (

∆ = ∫4 − =

0

2 ) ( 4

T

CE dt

i

Bài7: Một mạch dao động LC gồm một tụ điện 1,0nF và một cuộn cảm

3,0mH có điện áp chỉnh bằng 3,0V

a) Hỏi điện tích cực đại ở trên tụ điện

b) Hỏi dòng điện cực đại chạy qua mạch? Hỏi năng lượng cực đại được dựõ trữ trong từ trường của cuộn dây

Đáp số:a)Qmax=3.10-9C

b)Imax= 3 10-3A;W= 4,5.10-9J

C=6,2µF ;L=54mH, đảo điện đã ở vị trí a trong một

thời gian dài Bây giờ nó được gạt sang vị trí b

a) Hãy tính tần số của dòng dao động

b) Tính biên độ của dao động dòng điện

Đáp số a) f=0,275kHz

b)Ima x=0,364A

2,0µ F Hãy kê ra các tần số dao động có thể có bằng cách nối các yếu tố đó theo các tổ hợp khác nhau

Đáp số: (LC1) 712 Hz; (LC2) 1125Hz; (L,C1ntC2) 1331Hz; (L,C1song songC2) 602Hz

Bài 10:Một cuộn cảm được nối vào một tụ điện có điện dung thay đổi được

nhờ xoay một núm Ta muốn làm cho tần số của các dao động LC thay đổi tuyến tính với góc quay của núm, đi từ 2x105 đến 4x105Hz khi núm quay 1 góc 1800 Nếu L = 1,0mH hãy biểu diễn bằng đồ thị C như một hàm số của góc quay

Đáp số:f=θ.6,3662.104 2

9

10 25 , 6 θ

−

=

⇒C

(θ là góc quay của núm xoay)

dòng bằng 9,20mA, điện tích ở trên tụ điện bằng 3,80µF và tụ đang được nạp

a) Hỏi năng lượng tổng cộng trong mạch bằng bao nhiêu?

b) Hỏi điện tích cực đại trên tụ điện?

c) Hỏi dòng cực đại?

d) Nếu điện tích trên tụ điện được cho bởi q = Qcos(ωt+ Φ) thì góc pha Φbằng bao nhiêu?

e) Giả sử các dữ kiện vẫn như vậy, trừ ở thời điểm t = 0 , tụ đang phóng điện Khi đó góc pha Φbằng bao nhiêu?

số góc ω Một mạch nối tiếp thứ hai , chứa cuộn cảm L2 và tụ C2, cũng dao động với cùng tần số góc như vậy Hỏi tần số góc của dao động(tính theo ω) của mạch nối tiếp chứa cả bốn yếu tố đó? Bỏ qua điện trở có trong mạch

(gợi ý: dùng các công thức cho điện dung tương

đương và độ tự cảm tương đương).

Đáp số:

2 2 1

1 1

1 1

C L C

L =

=

= ω

ω

đến 100V và tụ điện C2=100µF không có điện tích

Hãy mô tả chi tiết làm thế nào để nạp tụ điện C2 đến 300V nhờ các khoá S1

và S2.Biết L=10H

Một mạch dao động gồm 1 tụ điện và 1 cuộn dây thuần cảm Mạch được nối qua khoá K với một bộ pin có suất điện động (E,r)(HV) K đóng và dòng điện đã ổn định thì người ta mở khoá K, trong mạch LC có dao động điện với chu kỳ T Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ lớn gấp n lần suất điện động bộ pin Hãy tính theo T và n

điện dung C của tụ và độ tự cảm L của cuộn

dây

HD:Đối với bài này mạch LC đã dao động điều

hoà nên chỉ cần áp dụng định luật bảo toàn

năng lượng: C = 2πT rn và L = Trn2π

Bài15: Cho mạch điện như hình vẽ Các tụ điện

có cùng giá trị điện dung C,các cuộn dây có cùng hệ số tự cảm Lphần tử trong mạch đều lý tưởng

1) Đóng khoá K, tìm (i L) max trong cuộn

dây và (u c1) max trên tụ C1

2) Khảo sát sự biến thiên điện tích của

các tụ điện khi khoá K đóng

ĐS: 1) (i L) max= 0

6L U

C (u1 ) max= 0

3

4

U 2) q1 = CU0 - t

LC U

cos

Bài 16: Một tụ điện có điện dung C và hai cuộn dây thuần cảm có các hệ số tự cảm L1 và L2 ( điện trở không đáng kể ) được mắc

thành một macïh điện có sơ đồ như hình bên

Ở thời điểm ban đầu tụ điện chưa tích điện và không

có dòng điện trong cuộn dây L2 nhưng có dòng điện I0

trong cuộn dây L1 Hãy tính điện tích cực đại của tụ điện

và cường độ cực đại của dòng điện trong cuộn dây L2

Bài 26: Cho mạch dao động gồm tụ C và cuộn dây thuần

cảm L1= L Tại thời điểm khi điện tích của tụ là Q và cường độ dòng điện qua cuộn dây là I thì người ta mắc thêm cuộn dây thuần cảm L2= 2L song song với cuộn L1

a) Tìm qui luật biến thiên điện tích của tụ

b) Khi qmax thì dòng điện qua hai cuộn cảm có chiều như thế nào và có giá trị bằng bao nhiêu ?

DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ LIÊN KẾTI.BÀI TOÁN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ II

Bài 1:

Hai tụ điện có điện dung C1 =2C;C2 =C, ban đầu mỗi cái được tích điện đến hiệu điện thế U , sau đó ghép nối tiếp với nhau , bản âm tụ 0 C được nối 1

với bản dương tụ C Cùng một lúc người ta đóng 2

cả hai khóa k và 1 k Biết hai cuộn dây thuần 2

cảm có độ tự cảm L1 =L;L2 =2L mắc như hình

vẽ

a)Tìm dòng điện cực đại qua mỗi cuộn cảm

b)Hỏi sau bao nhiêu lâu từ lúc đóng 2 khóa ,

dòng điện qua cuộn cảm đạt cực đại

HD a)Xét tại thời điểm t nào đó (t>0), giả sử dòng

điện trong mạch có chiều như hình vẽ Khi đó ta có :

C2

q'Lieu

'Li2eu

'qi

'qi

2 MB

1 1 1 AM

2 2

AB

2 2

1 3

- Xét mắt mạng :

A(L1)M(C1)A : Li' 0

C2

q

1

1 − = (1) A(L2)B(C2)M(C1)A : 0

C2

qC

q'Li

2− − = (2) Tại M : i3 =i1 +i2 ⇒ 'i1= 'i3− 'i2=−q"1+q"2 (3)

Thay (3) vào (1),(2) ta được hệ theo q1 và q2 :

−

= + +

+

= +

+

= +

−

2 1

2

1 2

1

1 2 1

2

2 1 2

1

2 1

2

2 1 1 2

1

2

1 2

1

2 sin 2

sin 0

2 4

1 '

4

"

0 2

4

3

"

0 2

4

"

0 2

q q

LC

t A

q q q

q LC q

q

q q LC q

q

LC

q LC

q q

LC

q LC

q q LC

q LC

q

q

LC

q q

2 sin

2

0 2

0 1

π π

LC

t CU

q

LC

t CU

q

- Vậy

LC

tsinL

CUq

i2 =− 2 = 0

LC

t L

C U i

q q

q i i

2

' '

2 1 2 3

1 = − = − − − = − ⇒ =b)Vậy khi LC

24

T

t= = π thì dòng i1 i2 cực đại.

Bài 2: (Trích Đề dự bị thi Olympic VL Châu Á 2004)

Cho một mạch điện gồm 2 tụ điện, mỗi tụ có

điện dung C, nối với 3 cuộn cảm, một cuộn có

độ tự cảm L0, còn hai cuộn kia mỗi cuộn có độ

tự cảm L (Hình vẽ bên )

Ban đầu trong các đoạn mạch đều không có

dòng điện và các tụ tích điện như sau: bản A1

mang điện tích Q1 = Q, bản B2 mang điện tích

Q2

Đóng khoá K1 và K2 cùng một lúc

1 Hãy viết biểu thức cho các cường độ dòng điện i1, i2 và i3 theo thời gian trong điều kiện : Q1 = Q2 = Q

2 Với giá trị nào của Q2 để i3 = 0 qua cuộn L0 ở mọi thời điểm Viết biểu thức i1, i2 khi đó

3 Với giá trị của Q2 như thế nào để ta luôn có i1 = i2 = i3/2

Bài giải:

- Gọi q1, q2 là điện tích lần lượt trên các bản A1 và B2 và dòng điện có chiều như hình vẽ tại thời điểm t:

i = - q / (1)

q2

- Li2/ - L0i3/ = 0 (5)+ Lấy (4) trừ (5) : (q1 – q2 )C1 + L (i2/ - i1/) = 0

⇔ (q1// -q2//) + LC1 (q1 – q2) = 0

⇒ q1 – q2 = A.sin( 1 .t + ϕ 1

LC ) (6)+ Lấy (4) cộng (5) : (q1 + q2) C1 - L(i1/ + i2/) – 2L0i3/ = 0

Thay (1), (2) và (3) vào ta được: (q1 + q2) C1 + L(q1// + q2//) + 2L0(q1// + q2//)

= 0

⇔ (q1// + q2//) + ( 12 )

0

L L

C + (q1 + q2) = 0 ⇒ q1 + q2 = B.Sin( 2

0

) 2 (

+ L C t

L ) (7) Từ (6) và (7) ⇒ - i1 + i2 = cos( 1 .t + ϕ 1

LC LC

+

t L

L

B

) (9)Từ (6) và (7) ta có:

q1 = 2ASin( LC t + ϕ 1) + B2 Sin( ( 2 )

0

L L C

t

+ + ϕ 2) (11)Từ (8) và (9) ta được:

i1 = - 2 A LC cos( LC t + ϕ 1) - 2 ( 2 )

0

L L C

B

+ cos( ( 2 )

0

L L C

B

+ cos( ( 2 )

0

L L C

t

+ + ϕ 2) (13)Aùp dụng điều kiện ban đầu: lúc t = 0 thì: