Giúp học sinh biết Sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Đặt vấn đề Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua. Đặc biệt là năm học 2004 – 2005, khi có yêu cầu dạy môn Tự chọn cho học sinh lớp 8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảng dạy của mình và của các đồng nghiệp , đồng thời tìm tòi bổ sung thêm những dạng bài tập có liên quan tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôi . Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì các em đã được làm quen từ Tiểu học . Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng để chứng minh thì không đơn giản chút nào . Sau đây tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề mình tìm tòi học hỏi được để “ Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “ Giải quyết vấn đề 1 -Trước tiên phải cho học sinh hiểu được phương pháp diện tích là gì và ích lợi của phương pháp này . Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ yếu được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có liên quan đến diện tích . Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về diện tích của 1 Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn. Tới đây, ta cũng cần cho học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thức tính diện tích còn cho ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích trong một số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học. Chẳng hạn : Sách giáo khoa cũ có những bài toán đề cập đến vấn đề này . Ví dụ 1 : Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , có bài toán yêu cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 và (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a b b b a a Ví dụ 2 : Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền 2 ab b 2 ab a 2 b(a-b) b 2 (a – b) 2 A B C b(a-b) Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài toán này là minh hoạ hình học cho định lí Pytago trong trường hợp tam giác vuông cân . Do đổi mới phương pháp dạy học mà sách giáo khoa mới ít đề cập đến vấn đề này hơn . Nhưng không có nghĩa là vấn đề này không phù hợp với yêu cầu mới , bởi vì nó cũng được đưa vào nội dung của môn học tự chọn . Vậy đây cũng là một phần kiến thức mà học sinh cần tham khảo để bổ sung , hỗ trợ cho việc học tập của các em được tốt hơn . Vì thế , sau khi học sinh được học tính chất của diện tích đa giác , công thức tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông , ngoài các bài tập ở SGK , tôi vẫn đưa các bài tập trên cho HS tham khảo thêm Bài 1 : Trên hình vẽ, các tứ giác ABCD, IOKD, MNPQ, IGHQ là các hình vuông. Bằng công thức tính diện tích hình vuông và hình chữ nhật, em hãy chứng minh các hằng đẳng thức (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 và (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . a b b a Bài tập này không bắt buộc tất cả học sinh phải làm. Những học sinh nào làm được sẽ được tính điểm vào cột điểm của môn học Tự chọn. Sau đó có thể giới thiệu thêm cho học sinh biết : Từ thời cổ, nhờ công thức diện tích mà người ta khám phá ra công thức bình phương của tổng hay hiệu nói trên. Phương pháp dùng công thức diện tích để chứng minh gọi là phương pháp diện tích. Đây cũng là một phương pháp góp phần thúc đẩy sự phát triển toán học thời cổ . Như vậy , học sinh đã được tiếp cận với phương pháp diện tích . Để củng cố thêm , sau khi dạy song bài “ Diện tích tam giác “ tôi chọn bài tập số 17 SGK lớp 8 tập I trang 121: 3 A N M E I O PD Q C H G F B Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài toán 2 : Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM . Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức : AB . OM = OA . OB A M O B GV gợi ý cho học sinh : Viết công thức tính diện tích tam giác AOB theo hai cách Học sinh trình bày được lời giải : S AOB = 2 1 . OA . OB = 2 1 OM. AB ⇒ AB . OM = OA . OB GV giới thiệu : Để chứng minh được hệ thức AB . OM = OA . OB , ta đã sử dụng phương pháp diện tích . 2 - Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích như nêu ở trên , tôi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện tập với yêu cầu dần dần cao hơn. Nhưng thời gian giảng dạy chính khoá ở trên lớp không có nhiều để giành cho công việc này, nên tôi phải hướng dẫn cho học sinh tự học là chủ yếu bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong đó có ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự tổ chức thảo luận nhóm ở nhà . Sau đó hoàn chỉnh bài giải bằng cách điền khuyết . a - Phiếu học tập số 1 Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn chỉnh 4 Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài 3: Bài 51 trang 132 SBT Toán 8 tập I Cho tam giác BAC với ba đường cao AA’, BB’, CC’ . Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng : 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Phân tích : AA’, BB’,CC’đều là các đường cao của tam giác ABC. HA’,HB’, HC’ lần lượt là ba đường cao của các tam giác HBC , HAC, HAB . Như vậy ta phải tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng thông qua công thức tính diện tích tam giác. C A C’ B’ H B C Hệ thống câu hỏi dẫn dắt 1)Viết công thức tính diện tích của các tam giác HBC; HAC ; HAB, ABC S HAC = ; S HBC = S HAB = ; S ABC = 2)Tìm mối quan hệ giữa các tỉ số ' ' ; ' ' ; ' ' CC HC BB HB AA HA với công thức diện tích của các tam giác nói trên . Các tỉ số ' ' ; ' ' ; ' ' CC HC BB HB AA HA lần lượt bằng tỉ số của diện tích hai tam giác nào ? 3) Viết hệ thức biểu thị mối quan hệ về diện tích của 4 tam giác nói trên 4) Biến đổi tổng =++ ABC HBC ABC HAC ABC HAC S S S S S S ? dẫn đến điều phải chứng minh S HAC = ; S HBC = S HAB = ; S ABC = = ABC HAC S S = ABC HAB S S = ABC HBC S S S HAC … S HBC … S HAB …S ABC =++ ABC HBC ABC HAB ABC HAC S S S S S S ……… Bài 4 : Cho tam giác đều ABC . M là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ A 5 Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học M đên 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Phân tích : Các khoảng cách MH, MI,MK đến các cạnh của tam giác lần lượt là đường cao của các tam giác MBC , MAB, MAC . Như vậy ta phải tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng thông qua công thức tính diên tích tam giác . Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết công thức tính diện tích của tam ABC với đường cao là h và độ dài mỗi cạnh là a : S ABC = - Viết công thức tính diện tích của các tam giác MBC; MAC ; MAB với AB = AC = BC = a và các đường cao lần lượt là MH , MK , MI - Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác nói trên và diện tích của tam giác ABC - Suy ra MH + MI + MK bằng đại lượng không đổi nào ? * Nếu điểm M thuộc cạnh BC và tam giác ABC cân tại A thì ta cũng chứng minh tương tự . h I K C B H C Tam giác ABC là tam giác đều cho trước . Gọi độ dài mỗi cạnh là a ( AB = AC = BC = a) và đường cao là h không đổi * S ABC = (2) S MAC = ; S MBC = S MAB = * S ABC … S MAC … S MBC … S MAB = …………. (1) Từ (1) và (2) suy ra : MH + MI + MK = không đổi Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác b- Phiếu học tập số 2 : Trong phiếu này , HS đọc kĩ phần nội dung bài tập và gợi ý cách giải rồi tự hoàn chỉnh bài giải . GV có thể chấm điểm một trong hai bài mà HS chọn và cho vào cột điểm Tự chọn để khuyến khích học sinh tham gia . Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Bài giải hoàn chỉnh Bài 5: Cho tam giác cân ABC . M là một điểm thuộc BC . Từ M , kẻ ME và MF lần lượt vuông góc với AB và AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ) . Chứng 6 a M Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học minh tổng ME + MF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC . Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết công thức tính diện tích của tam ABC với đường cao là ứng với cạnh bên bằng CK = h và độ dài mỗi cạnh bên là AB = AC a S ABC = - Viết công thức tính diện tích của các tam giác MAC ; MAB với các đường cao lần lượt là MF, ME - Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ giữa diện tích của hai tam giác nói trên và diện tích của tam giác ABC - Suy ra MF+ ME bằng đại lượng không đổi nào ? A K E F B C M HS tự trình bày Ví dụ 5 : Các điểm E , F nằm trên các cạnh AB , BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE . Gọi I là giao điểm của AF và CE . Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC . Hệ thống câu hỏi dẫn dắt 1) Khi nào thì ID là tia phân giác của góc AIC? - Có hai phương án trả lời : 1) DICDIA ˆˆ = và tia ID nằm giữa hai tia IA, IC. Hoặc : 2) Điểm D … hai cạnh IA và IC - Chứng minh theo phương án 1 sẽ rất khó khăn . Ta thử chọn phương án thứ hai để chứng minh . Vẽ thêm DH và DK lần lượt vuông góc với IA và IC . Ta phải chứng minh DK = DH 2) Làm thế nào để chứng minh DK = DH ? - Việc chứng minh sẽ rất khó khăn nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích . ở đây ta chú ý rằng DK và DH còn là đường cao tương ứng với hai cạnh A B H I K F D C Vẽ DH và DK lần lượt vuông góc với IA và IC (H , K lần lượt thuộc FA , CE ) S ADF = …… S CDE = …… (1) Tam giác ADF và hình bình hành ABCD có chung đáy …. và có chiều cao tương ứng bằng nhau ⇒ S ADF = …. S ABCD (2) Tam giác DCE và hình bình hành ABCD có chung đáy … và có chiều cao tương ứng bằng nhau ⇒ S CDE = ……. S ABCD (3) Từ (3) và (2) suy ra ……………….( 4) Lại có AF = CE ( gt) (5) Kết hợp ( …),(…) và (…) ta có DK = DH. Suy ra điểm D … hai tia IAvà IC . 7 E Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học bằng nhau của hai tam giác nào ? - Dẫn đến việc cần thiết phải chứng minh S ADF = S CDE - Để có kết quả đó , ta phải so sánh diện tích của hai tam giác nói trên với diện tích hình bình hành ABCD . - Tới đây , HS có thể tự trình bày lời giải Do đó ID là …………. của góc AIC 3) Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý Ta lét trong tam giác. Sách giáo khoa Toán 8 đã cho HS thừa nhận , không yêu cầu chứng minh định lí Talét . Đối với những HS khá và giỏi có nhu cầu tìm hiểu , nâng cao thêm kiến thức, tôi phát cho mỗi nhóm học sinh phiếu học tập số 3 để học sinh về nhà tự thảo luận theo nhóm và hoàn chỉnh bài giải . c- Phiếu học tập số 3 Đề bài và nội dung cần thảo luận Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn chỉnh Cho tam giác ABC . D và E lần lượt thuộc các cạnh AB và AC . Chứng minh rằng nếu DE // BC thì AC AE AB AD = - Viết công thức tính S DBE và S CED - Khi DE // BC, hãy so sánh BH và CK ; S DBE và S CED ; S AEB và S ADC . - Từ đó so sánh tỉ số ABC AEB S S và tỉ số ABC ADC S S Vẽ BH và CK vuông góc với DE S DBE = … S CED = … DE // BC ⇒ BH … CK ( Bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song DE và BC ) ⇒ S DBE ….S CED ⇒ S DBE +… = S CED + …. ⇒ S AEB = S ADC ⇒ ABC ADC ABC ABE S S S S = (1) ∆ AEB và ∆ ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh B nên 8 A E D B C H K Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học - Tìm mối liên hệ của các tỉ số trên với các tỉ số AC AE và AB AD = ABC AEB S S (2) ∆ ADC và ∆ ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh C nên = ABC ADC S S (3) Kết hợp ( ),(…) và … suy ra AC AE AB AD = 4) Khuyến khích HS về nhà tự tìm bài toán sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh . Cũng còn những dạng bài tập khác nữa, nhưng tôi chỉ dừng lại ở những ví dụ nêu ở trên . Tôi nghĩ rằng như thế cũng tạm đủ để HS tiếp cận và biết cách giải quyết . Nếu HS có khả năng tìm tòi thêm thì tôi vẫn khuyến khích . Kết thúc vấn đề 1 - Hiệu quả : Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác , học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên .Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau . Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn . Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên . Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn . Kết quả thể hiện (điểm Tự chọn ) : Năm học Số HS tham gia Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 2007 - 2008 83/426 55 66,3 23 27,7 5 6 0 2008 - 2009 21 / 84 21 100 0 0 0 2 - Bài học kinh nghiệm 9 Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Đây là một phương pháp suy luận khó đối với diện đại trà nên SGK có đề cập nhưng lượng bài tập giành cho vấn đề này còn ít . Nếu vì lí do trên mà trong quá trình giảng dạy GV cũng lướt qua thì rất thiệt thòi cho đối tượng HS khá giỏi , vì thực tế cho thấy có những bài toán nếu không sử dụng phương pháp này thì việc chứng minh sẽ rất khó khăn . Ngoài các bài tập nêu trên còn có một số dạng khác nữa nhưng thời gian trên lớp không cho phép GV hướng dẫn học sinh kĩ hơn về phương pháp này. Bởi vậy nếu không tổ chức được một hình thức học tập thích hợp thì không thể khuyến khich được HS tích cực tự giác tham gia tự học , tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu bài trên lớp tốt hơn. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ bé mà tối rút ra được trong quá trình giảng dạy . Nó đã góp phần giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ giảng dạy trên lớp cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm qua có kết quả tốt đẹp . Tôi xin mạn phép được trình bày và kính mong được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong hội đồng giám khảo và các bạn đồng nghiệp . Chắc chắn rằng trong bài viết của tôi cũng còn nhiều thiếu sót . Rất mong được quí thầy cô góp ý , bổ sung để bản thân tôi được học hỏi nhiều hơn và hoàn thiện hơn trong công tác giảng dạy . Xin chân thành cám ơn . 10