Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A.. 1 Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD.. 3 Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Cho 1 3 12 135 3 12 135
1
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức ( 3 2 )2
M= 9x − 9x − 3 2) Cho trước ,a b R∈ ; gọi ,x y là hai số thực thỏa mãn x y a b3 3 3 3
x y a b
+ = +
Chứng minh rằng: x2011+ y2011=a2011+b2011
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x3+ax2 +bx− =1 0 (1)
1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm x= −2 3
2) Với giá trị ,a b tìm được ở trên; gọi x x x là ba nghiệm của phương trình (1).1; ; 2 3
Tính giá trị của biểu thức 5 5 5
S
x x x
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2+5x y2 2 +60 37= xy
2) Giải hệ phương trình:
4
x x x y y
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R) Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A) Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I )
1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh: KB = KI.KJ ; từ2
đó suy ra KB = KD
2) AO’ cắt BC tại H Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
Câu 5 (1,0 điểm)
Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu (+) hoặc (−).
Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu
-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất Hội đồng chấm
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
1
M= 9 - 9x x - 3 1,00
Từ 1 312 135 312 135
1
3 3
3x 1 8 3 3x 1
9x 9x 2 0
( )2
M
0,25
0,25 0,25 0,25
1 2 Cho trước ,a b R∈ ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn
x y a b
I
x y a b
+ = +
x +y =a +b
1,00
( )
x y a b I
x y xy x y a b ab a b
+ = +
(1)
(*)
x y a b
xy a b ab a b
+ = +
+/Nếu a b+ ≠0 thì (*)⇔ x y a b
xy ab
+ = +
=
=> x, y là 2 nghiệm của phương trình X2 − +(a b X ab) + =0 Giải ra ta có x b x a;
y a y b
= =
=>
x +y =a +b +/Nếu a b+ =0 => a = −b
0,25
0,25
0,25
Trang 3Ta có hệ phương trình 3 3 0
0
x y
x y
x y
+ =
⇔ = −
=>
2011 2011
2011 2011
0 0
x + y =a +b
0,25
2 1 x3 +ax2 +bx− =1 0 (1) Tìm ,a b Q∈ để (1) có nghiệm x= −2 3 1,00
Thay x= −2 3vào (1)ta có :( ) (3 ) (2 )
2 − 3 +a 2 − 3 +b 2 − 3 − = 1 0
3 4a b 15 7a 2b 25
+/Nếu (4a b+ +15) ≠0
=> 3 (74 2 1525)
a b
a b
=
+ + (vô lí vì VT là số vô tỷ , VP là số hữu tỷ).
+/ Suy ra (4a b+ +15) = ⇒0 7 2 25 0
a b
a b
+ + =
Giải hpt ,kết luận : 5
5
a b
= −
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Với a=-5 ;b=5 Tính giá trị của biểu thức 5 5 5
S
x x x
+/ a b= −55
=
(1) có dạng x3 − 5x2 + 5x− = ⇔ 1 0 ( )x-1 (x2 − 4x+ = 1) 0 Không mất tính tổng quát coi x3 =1 thì x x là 2 nghiệm của 1, 2
phương trình (x2 −4x+ =1) 0( có ' 3 0∆ = > ) => 1 2
1 2
4 1
x x
x x
+ =
x +x = x +x − x x =
+/ 5 5 ( 2 2)( 3 3) 2 2( )
x +x = x +x x +x −x x x +x =
=>S = 725
0,25
0,25
0,25 0,25
3 1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 +y2 +5x y2 2 +60 37= xy(1) 1,00
(1)⇔ x y− = −5x y +35xy−60⇔ x y− =5 xy−3 4−xy
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0≥
5 xy- 3 4 xy 0 3 xy 4
Do ,x y Z∈ => xy Z∈ => 3
4
xy xy
=
=
+/
3
3 0
x
x y
=
0,25
0,25
0,25
Trang 42 4
0
x y x
x y
=
2
x y
x y
= =
= = −
3 2 Giải hệ phương trình:
4
(1)
x x x y y
1,00
Điều kiện :y≥0.
(1) ( ) ( 2 1) 0
1
x y
x y x
x
=
⇔ − − = ⇔ = ± +/Nếu x = ±1 thay vào phương trình (2) ta có : y − = ⇔ =1 0 y 1
+/Nếu x y= ≥0
Khi đó (2)⇔ 2( x4 + −1) 4 x + =2 0 (3)
do 2(x4 + ≥1) 2.2 x4.1 4= x2⇒ 2( x4 + ≥1) 2 x =2x
VT(3) 2( - 2≥ x x + =1) 2 x −1 ≥0
Do đó Pt (3)
1 0
x
x
=
− =
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1
= =
0,25
0,25
0,25
0,25
4 1 K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KD 1,00
H J
O' O
K D
C
B
I
M
A
Do AO và AO’ là hai tia phân giác của ·BAC => A,O,O’ thẳng hàng
Có ¶BJI IBK· 1
2
Trang 5Δ KBI
⇒ đồng dạng với Δ KJB (g.g)=> KI =KB KB =KI.KJ2
Tương tự: Δ KDI đồng dạng với Δ KJD KI KD 2
= KD =KI.KJ
KD KJ
Từ (1) và (2) =>KB=KD
0,25
0,25 0,25
4 2 Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn 1,00
+/Xét tam giác vuông ABO’ có: AB =AH.AO' (3)2
+/ Có : ·ABI AMB· 1
2
= = sđ ºBI ; ·BAI chung
AM AB
Từ (3),(4) =>AI.AM=AH.AO' AH AM=
AI AO'
=>Δ AHI đồng dạng với Δ AMO' ( vì AH AM=
AI AO' ; µA chung )
=> ·AHI=AMO' => tứ giác MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’ ·
cùng thuộc một đường tròn
0,25
0,25
0,25
0,25
4 3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD 1,00
Do OD // O’B (cùng ⊥AB) AO OD R OI OI
nhưng OI cắt O’I và A,I,M thẳng hàng => OI // O’M
=> ·DOI=BO'M ·
mà ·BDI 1DOI· 1
= = sđ ºDI và ·BIM 1BO'M· 1
=>BDI BIM· = · =>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔBID
hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
0,25 0,25 0,25 0,25
5 Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành
tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu
1,00
Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A
Do chỉ đánh bởi hai dấu (+), (−) nên
tồn tại hai điểm cùng dấu , không mất
tổng quát giả sử hai điểm A, B cùng
dấu và cùng dấu (+)
+ Nếu C có dấu (+) thì tam giác vuông
cân ABC là tam giác phải tìm
+ Nếu C có dấu (- ) thì ta dựng điểm D
sao cho ABDC là hình vuông
_ Nếu D có dấu (+) thì tam giác ABD là tam giác cần tìm
_ Nếu D có dấu (-) thì gọi I là giao điểm của AD và BC
* Nếu I có dấu (+) thì tam giác vuông cân ABI là tam
giác cần tìm
* Nếu I dấu (-) thì dễ thấy tam giác vuông cân CID có ba
đỉnh cùng dấu (-) là tam giác cần tìm
0,25
0,25 0,25 0,25
D
B A
C
I