Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam2 giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.. Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2010-2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
x A
x x x x với x0,x9.
2 Chứng minh rằng: 5 1 1 10
Bài 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y(k 1)x n và hai điểm A(0;2), B(-1;0)
1 Tìm các giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : y x 2 k
2 Cho n Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam2 giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 2mx m 7 0 (1) (với m là tham số).
1 Giải phương trình (1) với m 1.
2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x thoả mãn hệ thức: 1; 2
1 2
1 1
16
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B) Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E
1 Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK
2 Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh NFK cân
3 Giả sử KE = KC Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
13 13 13 3
4
HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2010 - 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Gồm 05 trang)
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức: 3 1 9
x A
với x0,x9.
2 Chứng minh rằng: 5 1 1 10
5 2 5 2
1.
(1,25đ)
Với ĐK: x0,x9 Ta có:
3 3
x A
0,25
9
A
3 x 9 x 3 x A
x
9 x
A x
Kết luận: Vậy với x0,x9thì A 9 x
x
2.
(0,75đ)
Ta có:
0,25
5
5 4
= 10
0,25
5 2 5 2
Trang 3Bài 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y(k 1)x n và hai điểm A(0;2), B(-1;0)
1 Tìm các giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : y x 2 k
2 Cho n Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam2 giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB
1a
(1,0 đ)
(d): y = (k-1)x + n đi qua A(0;2), B(-1;0) nên ta có hệ phương trình:
( 1).0 2 ( 1).( 1) 0
0,25
2
n k
2 3
n k
Kết luận: Vậy k = 3, n = 2 thì (d) đi qua hai điểm A(0;2), B(-1;0) 0,25
1b
(0,5 đ)
+ ( ) //( ) 1 1
2
k d
2 0
k n
Kết luận: Vậy ( ) //( ) 2
0
k d
n
2.
(0,5 đ)
Với n = 2, ta có (d): y = (k-1)x + 2 Suy ra đường thẳng (d) cắt trục Ox tại C
và khi đó toạ độ điểm C là 2 ;0
1 k
0,25
Ta có: OC x C 12
k
và do B(-1;0) nên OB = 1
Vì các tam giác OAC và OAB vuông tại O và chung đường cao AO nên suy ra:
|1 |
k
0 2
k k
(thoả mãn đk k )1 Kết luận: k = 0 hoặc k = 2
0,25
Trang 4Bài 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 2mx m 7 0 (1) (với m là tham số).
1 Giải phương trình (1) với m 1
2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn hệ thức:
1 2
1 1
16
1.
(0,75đ)
Với m = -1, thì phương trình (1) trở thành:
2
2 8 0
0,25
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
1 3
4 1
1 3
2 1
x x
0,25
Vậy với m = -1 pt (1) có hai nghiệm phân biệt là x = - 4, x = 2 0,25
2.
(0,75đ)
Pt (1) có ' m2 (m 7) m2 m7 0,25
2
1 27
0
m
Vậy với mọi giá trị của m thì (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25
3.
(0,5 đ)
Theo câu 2, ta có (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của
m Theo định lý Vi ét ta có:
1 2
2 7
0,25
Theo giả thiết ta có: 1 2
0
1 1
16
16
x x
7 0
7 8 8
m
m m m
Vậy m = 8 là giá trị cần tìm
0,25
Trang 5Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B) Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A , hai dây MN và BK cắt nhau ở E
1 Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK
2 Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F Chứng minh NFK cân
3 Giả sử KE = KC Chứng minh: OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2
h
k
o
n m
f
b a
B A
1.
(2,0đ)
Ta có: + 0
90
90
AHE AKE 900
H, K thuộc đường tròn đường kính AE
Vậy tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp 0,25
Xét hai tam giác CAE và CHK:
+ EAC EHK (góc nội tiếp cùng chắn cung EK) Suy ra CAE CHK (g - g) 0,5
2.
(1,0 đ)
Do đường kính AB MN nên B là điểm chính giữa cung MN suy ra ta có
Lại có BK // NF (vì cùng vuông góc với AC) nên
(2) (3)
NKB KNF MKB MFN
0,5
Từ (1), (2), (3) suy ra MFN KNF KFN KNF Vậy KNF cân tại K 0,25
3.
AKB BKC KECvuông tại K Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K
Mặt khác vì OBK cân tại O ( do OB = OK = R) nên suy ra OBK vuông
cân tại O dẫn đến OK // MN (cùng vuông góc với AB)
0,25
* Gọi P là giao điểm của tia KO với đường tròn thì ta có KP là đường kính
và KP // MN Ta có tứ giác KPMN là hình thang cân nên KN = MP
0,25
Trang 6Xét tam giác KMP vuông ở M ta có: MP2 + MK2 = KP2 KN2 + KM2 = 4R2.
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
13 13 13 3
4
0,5 đ
Ta có: (a 1)3 a3 3a23a 1
2
3 3 1
1 1 (1) ( 0)
Tương tự: ( 1)3 3 1 2 , ( 1)3 3 1 3
0,25
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
2
2
2 3
3
0
0, 2
2
2 3
3 3
b b
a b c
a b c
0,25
Híng dÉn chung:
1 Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới được công nhận cho điểm
2 Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải của bài toán (không cho điểm hình vẽ)
3 Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo khung điểm
4 Chấm từng phần Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn