đề thi khảo sát vào 11

SỞ GD& ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT TIẾN THỊNH ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ 11 Năm học: 2010- 2011 Thời gian: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1: (2 điểm) Giải các bất phương trình sau: 2 3 1 2 2 3 , 1 1 1 + + ≤ + − + + x a x x x x , 3 1 3 0− + + >b x x Câu 2:(2 điểm) Cho hệ phương trình: 2 2 2 3 + = −   + + =  x y m x y xy a, Giải hệ với m=1 b, Tìm m để hệ có nghiệm Câu 3: (1 điểm) Cho 3 2 7 = − a cos và 2< <a π π Tính sin a , cosa Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4), có trọng tâm G(0; 4) a, Viết phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh C của tam giác ABC. b, Gọi điểm M(2; 0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm toạ độ A, B. c, Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng CG. Câu 5: (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn: 1 + + = a b c . Chứng minh rằng: 7 1 1 1 2 + + + + + <a b c HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Thang điểm 1 a, đk 1≠ −x 2 2 3 3 2 2 1 2 2 3 1 2 2 2 3 0 1 1 1 1 0 ( 1)( 1) + − + + + − − + ≤ ⇔ ≤ + − + + + − ⇔ ≤ + − + x x x x x x x x x x x x x x x Lập bảng xét dấu vế trái ta được tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) [ ] ; 1 0;1= −∞ − UT 1 đ b, đk 1≥ −x , 3 1 3 0 3 1 3− + + > ⇔ + < +b x x x x . Vì 1≥ −x nên 3 0+ >x ,Bình phương 2 vế ta được ( ) ( ) 2 2 0 , 9 1 3 3 0 3 <  + < + ⇔ − > ⇔  >  x b x x x x x Kết hợp với đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là: [ ) ( ) 1;0 3;= − +∞UT 1đ 2 a, Với m=1 ta có hệ phương trình 2 2 1 3 + =   + + =  x y x y xy 2 2 2 1 1 1 3 ( ) 3 2 + =  + = + =   ⇔ ⇔    + + = + − = = −    x y x y x y x y xy x y xy xy Vậy x, y là nghiệm của phương trình 2 1 2 0 2 = −  − − = ⇔  =  X X X X Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (-1; 2) và (2; -1) 0,5đ 0,5đ b, 2 2 2 2 2 3 4 1 + = − + = −   ⇔   + + = = − +   x y m x y m x y xy xy m m Vậy x, y là nghiệm của phương trình 2 2 (2 ) 4 1 0 (*)− − + − + =X m X m m Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm nên 0 ∆ ≥ 2 2 2 0 (2 ) 4( 4 1) 0 3 12 0 0 4 ∆ ≥ ⇔ − − − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤ m m m m m m 0,5đ 0,5đ Vậy 0 4≤ ≤m thì hệ phương trình có nghiệm 3 Ta có 2 2 2 2 9 40 2 5 sin 1 sin 1 1 sin 2 2 49 49 2 7 + = ⇒ = − = − = ⇒ = ± a a a a cos a cos Vì 2 2 2 < < ⇒ < < a a π π π π nên sin 0. 2 > a Vậy 2 5 sin 2 7 = a Khi đó 2 5 3 12 5 sin 2sin . 2. . 2 2 7 7 49   = = − = −  ÷   a a a cos 2 2 3 31 2 1 2. 1 2 7 49   = − = − − = −  ÷   a cosa cos 0,5đ 0,5đ 4 a, Phương trình đường trung tuyến CG là: 4 4 0− + − =x y 1đ b, Vì M là trung điểm BC nên 2 4 2 6 2 0 4 4 = − = + =   = − = + =  B M C B M C x x x y y y Vậy điểm B(6; 4) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 3 ( ) 0 6 2 4 3 ( ) 12 4 4 12 = − + = − + = −   = − + = − + =  A G B C A G B C x x x x y y y y Vậy điểm A(=4; 12) 1đ 1đ c, Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa cạnh CG chính là bán kính của đường tròn: 2 2 4.( 4) 12 4 24 ( ; ) 17 ( 4) 1 − − + − = = − + d A CG Phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh CG là: ( ) ( ) 2 2 576 4 12 17 + + − =x y 0,5đ 0,5đ 5 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương a+1 và 1 ta có 1 1 1 ( 1).1 1 2 2 + + + = + ≤ = + a a a a Tương tự 1 1 2 + ≤ + b b và 1 1 2 + ≤ + c c 0,5 đ Cộng tương ứng 3 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được 7 1 1 1 3 2 2 + + + + + + + ≤ + = a b c a b c Dấu bằng xẩy ra khi a= b= c= 0. khi dó a+ b+ c= 0 (vô lí) Vậy dấu bằng không xảy ra hay 7 1 1 1 2 + + + + + <a b c 0,5đ . SỞ GD& ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT TIẾN THỊNH ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ 11 Năm học: 2010- 2 011 Thời gian: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1: (2 điểm) Giải các bất phương trình sau: 2 3 1 2