Bài tập lớn Thiết kế và Phân tích Thuật toán

Bài toán tìm xâu con chung dài nhất Chương 1. Giới thiệu “Tìm xâu con chung dài nhất bằng cây hậu tố” Chương 2. Cây hậu tố Để đảm bảo luôn dựng được cây hậu tố người ta thường thêm một kí tự đặc biệt vào cuối xâu S, gọi là kí tự kết thúc, để không có bất cứ hậu tố nào là tiền tố của hậu tố khác. Kí tự này phải không xuất hiện trong xâu ban đầu, người ta thường chọn một kí tự không có trong bảng chữ cái. Trong các tài liệu thường kí hiệu là .

Bài tập lớn Thiết kế và Phân tích Thuật toán

Đề số 8: Bài toán tìm xâu con chung dài nhất

Sinh viên : Lê Ngọc MinhLớp : Khoa học máy tính

SHSV : 20071946

Hà Nội, tháng 11/2010

Mục lục

Chương 1 Giới thiệu 3

Chương 2 Cây hậu tố 4

2.1 Khái niệm 4

2.2 Biểu diễn cây hậu tố trong máy tính 5

2.3 Giải thuật dựng cây hậu tố Ukkonen 6

2.3.1 Cây hậu tố ngầm định (implicit suffix tree) 6

2.3.2 Dựng cây hậu tố ngầm định 7

2.3.3 Liên kết hậu tố (suffix link) 9

2.3.4 Tăng tốc thuật toán sử dụng liên kết hậu tố 9

2.3.5 Thuật toán dựng cây hậu tố ngầm định trong thời gian tuyến tính 12

2.3.6 Dựng cây hậu tố thực sự 13

Chương 3 Cây hậu tố tổng quát 14

3.1 Khái niệm 14

3.2 Biểu diễn cây hậu tố tổng quát trong máy tính 14

3.3 Dựng cây hậu tố tổng quát trong thời gian tuyến tính 15

Chương 4 Bài toán tìm xâu con chung dài nhất 16

4.1 Khái niệm 16

4.2 Tìm xâu con chung dài nhất của hai xâu 16

4.3 Tìm xâu con chung dài nhất của nhiều hơn hai xâu 16

4.3.1 Tính số C(v) 17

Chương 5 Chương trình thử nghiệm 18

5.1 Kết quả thử nghiệm 18

5.2 Hướng dẫn cài đặt chương trình 19

5.3 Hướng dẫn sử dụng chương trình 19

5.3.1 Trực quan hoá cây hậu tố 19

5.3.2 Tìm xâu con chung dài nhất của các xâu lớn 20

5.3.3 Sinh xâu lớn 21

5.4 Hướng dẫn biên dịch mã nguồn 21

5.5 Mã nguồn chương trình 27

Phụ lục A Tài liệu tham khảo 28

Phụ lục B Danh mục hình 29

Phụ lục C Danh mục thuật ngữ 30

Chương 1 Giới thiệu

“Tìm xâu con chung dài nhất bằng cây hậu tố”

Chương 2 Cây hậu tố

2.1 Khái niệm

Định nghĩa: Cây hậu tố T của chuỗi m kí tự S là cây có hướng, có gốc có các tính chất sau:

• Các đường đi từ gốc đến lá tương ứng 1-1 với các hậu tố của S

• Mỗi nút trong, trừ nút gốc, có ít nhất là hai con

• Mỗi cạnh được gán nhãn là một xâu con khác rỗng của S

• Không có hai cạnh nào của cùng một nút có nhãn bắt đầu bằng cùng một kí tự

Ví dụ, chuỗi xabxac có cây hậu tố như Hình 1 Đường đi từ gốc đến nút là 1 tương ứng với toàn bộ xâu còn đường đi từ gốc đến nút lá 5 cho ta xâu ac, bắt đầu ở vị trí 5 của xâu S

Định nghĩa của cây hậu tố không đảm báo một cây như vậy luôn tồn tại với mọi xâu S Nếu một hậu tố của S lại là tiền tố của một hậu tố khác thì đường đi từ gốc đến nó sẽ không kết thúc bởi một nút

lá Ví dụ, nếu bỏ chữ c trong xâu S, hậu tố xa là tiền tố của hậu tố xabxa nên không có đường đi nào từ gốc đến lá tương ứng với xa

Để đảm bảo luôn dựng được cây hậu tố người ta thường thêm một kí tự đặc biệt vào cuối xâu S, gọi là kí tự kết thúc, để không có bất cứ hậu tố nào là tiền tố của hậu tố khác Kí tự này phải không xuất hiện trong xâu ban đầu, người ta thường chọn một kí tự không có trong bảng chữ cái Trong các tài liệu thường kí hiệu là $

Một số khái niệm liên quan đến cây hậu tố:

• Nhãn của một đường đi bắt đầu từ gốc là xâu nhận được bằng cách ghép các xâu dọc theo

đường đi theo thứ tự

• Nhãn đường đi của một nút là nhãn của đường đi bắt đầu từ gốc đến nút đó

• Độ sâu chuỗi của một nút là độ dài nhãn đường đi của nút đó

• Độ sâu nút (node-depth) của một nút là số nút trên đường đi từ gốc đến nút đó

• Nhãn của một đường đi kết thúc ở giữa cạnh (u, v) chia nhãn của (u, v) tại một điểm được định nghĩa là nhãn của u ghép với các kí tự trong nhãn của (u, v) từ đầu đến điểm chia

Hình 1: Cây hậu tố của chuỗi xabxac

Ví dụ trong Hình 1, nhãn của w là xa, nhãn của u là a và xâu xabx là nhãn của đường đi từ gốc đến giữa cạnh (w, 1)

2.2 Biểu diễn cây hậu tố trong máy tính

Theo cách đơn giản nhất, mỗi cạnh của cây được gán nhãn đúng bằng một xâu con của S Do tổng chiều dài tất cả các xâu con vào cỡ O(m2) nên giới hạn dưới cho thời gian tính của thuật toán dựng cây cũng là O(m2)

Để giảm kích thước bộ nhớ và đạt được thời gian tính nhỏ hơn, ta biểu diễn cạnh của cây bằng chỉ

số đầu và chỉ số cuối của nó trong xâu S Như vậy mỗi cạnh chỉ cần hai số để gán nhãn và số cạnh tối

đa là 2m-1 nên bộ nhớ yêu cầu là O(m)

Hình 2: Cây bên trái là một phần của cây hậu tố cho chuỗi S=abcdefabcuvw với nhãn của cạnh được viết tường minh Cây bên phải biểu diễn nhãn sử dụng hai chỉ số Lưu ý rằng cạnh có nhãn 2,3 cũng có thể được gán nhãn 8,9

Để cho đơn giản, các hình vẽ và diễn giải sau đây vẫn coi như nhãn của cạnh là cả xâu con của

2.3 Giải thuật dựng cây hậu tố Ukkonen

Báo cáo này sẽ tiếp cận giải thuật Ukkonen theo cách trước hết trình bày một giải thuật đơn giản,

dễ hiểu nhưng kém hiệu quả sau đó sẽ tăng tốc dần bằng các quan sát bổ sung và các mẹo cài đặt

2.3.1 Cây hậu tố ngầm định (implicit suffix tree)

Định nghĩa: Cây hậu tố ngầm định của xâu S là cây nhận được từ cây hậu tố của S sau các bước

xử lí:

1 Xoá tất cả các kí tự kết thúc $ trong các nhãn

2 Xoá các cạnh không có nhãn

3 Xoá các nút có ít hơn 2 con

Ví dụ với chuỗi xabxa$ có cây hậu tố như Hình 3, nếu bỏ kí tự kết thúc $, xâu xabxa có một số hậu

tố là tiền tố của hậu tố khác nên chúng ta cần xoá một số cạnh và nút để được cây hậu tố ngầm định như Hình 4 Xét trường hợp chuỗi xabxac, do kí tự c chỉ xuất hiện duy nhất một lần ở cuối xâu nên cây hậu tố ngầm định cũng là cây hậu tố

Giải thuật Ukkonen gồm hai bước:

1 Dựng cây hậu tố ngầm định của xâu S

2 Chuyển cây hậu tố ngầm định thành cây hậu tố thật sự

Hình 3: Cây hậu tố cho chuỗi xabxa$

Hình 4: Cây hậu tố ngầm định cho xâu xabxa

2.3.2 Dựng cây hậu tố ngầm định

Giải thuật chia làm m pha, mỗi bước ta cố gắng thêm một kí tự của xâu S vào cây Gọi cây tại pha thứ i là Ii, đầu tiên ta có cây I1 với một cạnh duy nhất chứa S1 Pha i+1 được chia nhỏ thành i+1 bước

mở rộng trong đó ta thêm kí tự Si+1 vào hậu tố S[j i] của xâu S[1 i] Tại bước mở rộng j, xét đường đi

từ gốc có nhãn β=S[j i] và thực hiện một trong ba luật mở rộng sau:

1 N u ế β là nhãn c a m t nútủ ộ  lá: kí t  Sự i+1 đ c thêm vào c nh n i v i nút lá đó.ượ ạ ố ớ

2 N u không có đ ng đi nào t  ế ườ ừβ b t đ u b ng Sắ ầ ằ i+1 nh ng có ít nh t m t đ ng đi n i ti p ư ấ ộ ườ ố ế β: 

tr ng h p này ta c n thêm m t c nh có nhãn là Sườ ợ ầ ộ ạ i+1, nếu β k t thúc   gi a m t c nh thì m tế ở ữ ộ ạ ộ nút m i cũng c n đ c t o.ớ ầ ượ ạ

3 N u ế có đ ng ườ đi n i ti pố ế  β b t đ u b ng ắ ầ ằ Si+1: không làm gì và chuy n sang b c ti p theo.ế ướ ế

T i b c m  r ng i+1 c a pha i+1, ạ ướ ở ộ ủ β là xâu r ng, thu t toán đ n gi n thêm kí t  Sỗ ậ ơ ả ự i+1 bên d i nútướ  

g c (tr  khi nó đã   đó).ố ừ ở

Xét ví d  trong ụ Hình 5 và Hình 6, b n h u t  đ u tiên k t thúc   nút lá nh ng h u t  cu i cùng chố ậ ố ầ ế ở ư ậ ố ố ỉ 

g m kí t  x k t thúc bên trong m t c nh. Khi thêm kí t  th  sáu b, b n h u t  đ u tiên đ c m  r ngồ ự ế ộ ạ ự ứ ố ậ ố ầ ượ ở ộ  

b ng lu t 1, h u t  th  năm s  d ng lu t 2 và v i h u t  th  6 là lu t 3.ằ ậ ậ ố ứ ử ụ ậ ớ ậ ố ứ ậ

Hình 5: Cây hậu tố ngầm định cho xâu axabx trước khi kí tự thứ 6, b, được thêm

Hình 6: Cây hậu tố ngầm định sau khi thêm kí tự b

D  th y r ng ta có th  tìm đi m k t thúc c a m i h u t  trong i+1 h u t  c a xâu S[1 i] b ng cáchễ ấ ằ ể ể ế ủ ỗ ậ ố ậ ố ủ ằ  duy t cây t  g c v i chi phí th i gian là O(|ệ ừ ố ớ ờ β|). Sau khi đã tìm đ c đi m k t thúc c a h u t , thao tácượ ể ế ủ ậ ố  

m  r ng ch  c n th i gian h ng s ở ộ ỉ ầ ờ ằ ố

V i cách làm này, s  phép toán c  b n c n th c hi n là ớ ố ơ ả ầ ự ệ , do đó đ  ph cộ ứ  

t p tính toán vào kho ng O(nạ ả 3). Rõ ràng thu t toán này không th c t  vì có nh ng cách làm đ n gi nậ ự ế ữ ơ ả  

h n đ  tìm xâu con chung dài nh t trong th i gian O(nơ ể ấ ờ 2) trong tr ng h p t i nh t. Chúng ta s  xem xétườ ợ ồ ấ ẽ  

cách c i ti n gi i thu t trong các ph n sau.ả ế ả ậ ầ

2.3.3.  Liên k t h u t  (suffix link) ế ậ ố

Định nghĩa: Gọi xα là một xâu bất kì, x là một kí tự và α là một xâu (có thể rỗng) Xét nút trong v

có nhãn là xα, nếu có một nút khác s(v) có nhãn là α, một con trỏ từ v đến s(v) gọi là một liên kết hậu tố

Trong Hình 1 (trang 5), nút v có nhãn xa do đó s(v) là nút có nhãn a, tồn tại một liên kết từ v đến s(v) Trường hợp này α chỉ gồm một kí tự

Trường hợp đặc biệt khi α là xâu rỗng, liên kết được trỏ đến nút gốc Nút gốc không được coi là nút trong và không có liên kết hậu tố nào bắt đầu từ nó

Bổ đề: Nếu một nút trong mới v có nhãn xα được thêm trong lần mở rộng thứ j của pha i+1 thì hoặc một đường đi có nhãn α đã tồn tại trong cây hoặc một nút trong mới có nhãn α sẽ được thêm trong lần mở rộng tiếp theo, j+1 của cùng pha i+1

C HỨNG MINH: Nút trong mới được tạo ra chỉ khi trường hợp mở rộng thứ hai xảy ra, nghĩa là đường

đi có nhãn xα tiếp nối bởi một kí tự khác kí tự Si+1, ta gọi kí tự đó là c Ở bước mở rộng thứ j+1, ta cố gắng thêm xâu αSi+1 vào cây, rõ ràng đường đi có nhãn α đã tồn tại và tiếp nối bởi kí tự c Có hai trường hợp xảy ra:

• Nếu đường đi có nhãn α chỉ được tiếp nối bằng kí tự c mà không phải kí tự nào khác hay nói cách khác chỉ tồn tại đường đi αc mà không tồn tại đường đi αd với mọi d khác c Luật mở rộng thứ hai được áp dụng và tạo ra nút s(v) có nhãn α

• Nếu đường đi có nhãn α còn hai hoặc nhiều hơn kí tự tiếp nối, chẳng hạn αc, αd, chắc chắn

đã tồn tại nút có nhãn α

Vậy, bổ đề được chứng minh

Hệ quả: Trong giải thuật Ukkonen, mỗi nút trong mới được tạo ra sẽ có một liên kết hậu tố khi

pha tiếp theo kết thúc

C HỨNG MINH: Định lí được chứng minh bằng quy nạp

• Cây đầu tiên, I1, thoả mãn định lí vì không chứa nút trong nào

• Giả sử định lí đúng với cây Ii, ta cần chứng minh nó vẫn đúng với cây Ii+1

• Theo bổ đề trên, nếu một nút trong v được tạo ra trong bước mở rộng j, nút s(v) của nó sẽ được tạo ra hoặc tìm thấy trong bước mở rộng j+1 Bước mở rộng cuối cùng thêm xâu chỉ gồm kí tự

Si+1 nên không tạo ra nút trong mới nào

Vậy, hệ quả được chứng minh Ta thấy khi xây dựng xong cây Ii+1, mọi nút trong của nó đều có liên kết hậu tố, ta có hệ quả tiếp theo

Hệ quả: Với mọi cây hậu tố ngầm định Ii, nếu một nút trong có nhãn xα thì có một nút khác của cây Ii có nhãn α

Dựa vào liên kết hậu tố, ta có thể tăng tốc thuật toán để đạt được độ phức tạp tính toán thực tế hơn

2.3.4 Tăng tốc thuật toán sử dụng liên kết hậu tố

Trong giải thuật đầu tiên, tại pha i+1, bước mở rộng j ta cần tìm đường đi β có nhãn S[j i] mất thời gian O(|β|) Liên kết hậu tố có thể được sử dụng để giảm độ phức tạp của bước này xuống hằng số

Đường đi có nhãn S[1 i] chắc chắn phải kết thúc ở lá vì nó là đường đi dài nhất trong cây Ii Khi xây dựng cây Ii ta lưu lại nút lá tương ứng với toàn bộ xâu đang xét S[1 i] Bước bổ sung đầu tiên của pha i+1 lấy nút lá này và áp dụng luật bổ sung thứ nhất do đó chỉ cần thời gian hằng số.

Đặt S[1 i] = xα và (v, 1) là cạnh đến nút lá, nhãn của cạnh là γ, bước mở rộng tiếp theo thuật toán cần tìm đường đi có nhãn là S[2 i] = α Nếu v là nút gốc, ta duyệt cây từ gốc theo thuật toán trước Nếu v không phải nút gốc thì có một liên kết hậu tố từ v đến nút s(v), ta bắt đầu duyệt cây từ nút s(v) Đường đi từ vị trí hiện tại có nhãn γ là đường đi từ gốc có nhãn α

Tại bước mở rộng thứ j với j > 2 ta cũng làm tương tự Khác biệt duy nhất là nếu xâu S[j-1 i] là nhãn của một nút trong, khi đó ta theo liên kết hậu tố của nút này Kể cả khi xâu S[j-1 i] kết thúc ở một nút lá thì nút cha của nó hoặc là một nút trong (do đó có liên kết hậu tố) hoặc là nút gốc Vậy ta không bao giờ phải đi ngược lên quá một cạnh

Hình 7: Bước mở rộng j>1 trong pha i Đi lên tối đa là một cạnh từ cuối đường đi S[j-1 i] đến nút v sau đó theo liên kết hậu tố đến s(v), đi xuống theo đường đi có nhãn γ rồi áp dụng luật bổ sung phù hợp để thêm hậu tố S[j i+1].

Việc tìm đường đi có nhãn γ theo cách thông thường cần thời gian O(|γ|), do đường đi nhãn γ chắc chắn tồn tại và không có hai cạnh nào cũng xuất phát từ một đỉnh có nhãn bắt đầu bằng cùng một kí tự nên ta có thể dựa vào kí tự đầu của nhãn và độ dài của cạnh để tìm ra điểm kết thúc của đường đi trong thời gian tỉ lệ với số nút trên đường đi

Định lí: Gọi (v, s(v)) là một liên kết hậu tố, độ sâu nút của v tối đa là lớn hơn độ sâu nút của s(v)

một đơn vị

C HỨNG MINH: Với mỗi nút tổ tiên trong của v có nhãn xβ đều có liên kết hậu tố đến nút có nhãn β Tuy nhiên xβ là xâu con của nhãn của v nên β là xâu con của nhãn của s(v) hay nói cách khác tổ tiên

của v có liên kết hậu tố đến một tổ tiên của s(v) Mỗi tổ tiên của v có nhãn đường đi khác nhau (do nhãn trên các cạnh là xâu khác rỗng) nên các tổ tiên của s(v) được liên kết hậu tố trỏ đến cũng khác nhau Ta có một đơn ánh giữa tập các xâu trên đường đi từ gốc đến v (lực lượng của tập này là độ sâu nút của v) trừ nút gốc và tập các xâu trên đường đi từ gốc đến s(v) (lực lượng của nó là độ sâu nút của s(v)) do đó v có độ sâu không quá độ sâu của s(v) cộng 1.

Hình 8: Với mỗi nút v trên đường đi xα, có một nút s(v) trên đường đi α Tuy nhiên, độ sâu nút của

v có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn độ sâu nút của s(v) một đơn vị Ví dụ, nút có nhãn xab có độ sâu hai, nút có nhãn ab có độ sâu một; nút có nhãn xabcdefg có độ sâu bốn, nút có nhãn abcdefg

có độ sâu năm.

Bổ đề: Mỗi pha của giải thuật Ukkonen có thể được thực hiện trong thời gian O(m).

C HỨNG MINH: Trừ bước mở rộng đầu tiên thực hiện được trong thời gian hằng số, các bước mở rộng tiếp theo bao gồm việc đi ngược lên từ nút hiện tại không qua một nút, theo liên kết hậu tố đến nút mới và đi xuống một số nút để tìm ra vị trí kết thúc của đường đi Ta có thể tính được giới hạn trên của tổng số thao tác đi xuống bằng nhận xét sau: độ sâu tối đa của cây hậu tố là m Thật vậy, mỗi cạnh của cây là một xâu con khác rỗng và đường đi từ gốc đến lá bất kì biểu diễn một hậu tố của cây nên tổng số cạnh tối đa trên đường đi từ gốc đến một nút lá bất kì bằng m hay độ sâu tối đa của mọi nút là m Mỗi

pha gồm có i+1 ≤ m b c m  r ng, tr  b c đ u tiên không c n di chuy n nên s  b c đi lên t i đaướ ở ộ ừ ướ ầ ầ ể ố ướ ố  

c a m t pha là m. C ng v i m i l n đi theo liên k t h u t  đ  sâu nút gi m t i đa là m t nên t ng s  l nủ ộ ộ ớ ỗ ầ ế ậ ố ộ ả ố ộ ổ ố ầ  

gi m đ  sâu nút là 2m. Đ  sâu c a nút hi n t i không th  quá m nên t ng c ng s  b c đi xu ng trongả ộ ộ ủ ệ ạ ể ổ ộ ố ướ ố  

c  pha không quá 3m. V y th i gian tính toán c a m i pha là O(m).ả ậ ờ ủ ỗ

T ng c ng có m pha nên ta có ngay b  đ  ti p theo:ổ ộ ổ ề ế

B  đổ ề: Thu t toán Ukkonen có th  đ c th c hi n trong th i gian O(mậ ể ượ ự ệ ờ 2)

Đ n đây hi u qu  c a thu t toán đã đ c c i thi n đáng k  tuy nhiên ta v n có th  gi m đ  ph cế ệ ả ủ ậ ượ ả ệ ể ẫ ể ả ộ ứ  

t p tính toán xu ng th i gian h ng s  b ng m t vài nh n xét nh ạ ố ờ ằ ố ằ ộ ậ ỏ

2.3.5.  Thu t toán d ng cây h u t  ng m đ nh trong th i gian tuy n tính ậ ự ậ ố ầ ị ờ ế

Nh n xét 1ậ : Lu t m  r ng s  3 k t thúc m i pha.ậ ở ộ ố ế ỗ

CH NGỨ  MINH: N u lu t s  3 đ c áp d ng nghĩa là đ ng đi có nhãn S[j i] ch c ch n đ c n i ti pế ậ ố ượ ụ ườ ắ ắ ượ ố ế  

b ng kí t  Sằ ự i+1 nên  t t c  các đ ng đi có nhãn S[k i] v i k > j cũng v y và lu t th  3 ti p t c đ c ápấ ả ườ ớ ậ ậ ứ ế ụ ượ  

d ng cho các b c m  r ng còn l i c a pha.ụ ướ ở ộ ạ ủ

G i j* là ch  s  c a b c m  r ng đ u tiên lu t s  3 đ c áp d ng. Theo nh n xét trên ta khôngọ ỉ ố ủ ướ ở ộ ầ ậ ố ượ ụ ậ  

c n th c hi n các b c m  r ng k v i k > j* trong pha hi n t iầ ự ệ ướ ở ộ ớ ệ ạ

Nh n xét 2ậ : M t khi đã là nút lá thì luôn luôn là nút lá.ộ

CH NGỨ  MINH: Rõ ràng trong 3 luật mở rộng không có luật nào cho phép thêm một nút lá mới bên dưới một nút lá có nhãn α Do đó khi một nút lá đã được tạo ra thì nó sẽ luôn luôn là nút lá cho đến khi pha cuối cùng của thuật toán kết thúc

Gọi ji là bước mở rộng cuối cùng trong pha i mà luật mở rộng 1 hoặc 2 được áp dụng Xét xâu S[1 i-1], luật mở rộng 1 áp dụng cho nút lá có nhãn S[1 i-1] mở rộng nó thành S[1 i], luật mở rộng 2 tạo ra một nút lá có nhãn S[1 i] do đó với mọi k ≤ ji, nút có nhãn S[1 k] là nút lá Trong pha i+1 tiếp theo, các bước mở rộng 1 ji đều áp dụng luật 1 nên ji ≤ ji+1

Nhận xét trên gợi ý cách cài đặt hiệu quả thuật toán: thay vì cập nhật nhãn của các nút lá một cách

tường minh, ta gán nhãn cho các nút lá (lưu ý rằng trong cài đặt nhãn của nút lá là một cặp số nguyên)

là (p, m) Trong đó p là vị trí bắt đầu của xâu con và m là độ dài xâu S, thay thế cho vị trí cuối xâu đang xét Như vậy trong pha i+1 ta không cần thực hiện ji bước mở rộng tường minh đầu tiên

Định lí: Sử dụng liên kết hậu tố và các nhận xét trên, giải thuật Ukkonen có thể dựng cây hậu tố

ngầm định trong thời gian O(m)

C HỨNG MINH: Trong mỗi pha i của thuật toán, ta chỉ cần thực hiện các bước mở rộng tường minh từ

ji-1 đến j* Do bước mở rộng cuối cùng luật 1 hoặc 2 được áp dụng chính là một bước trước khi luật 3 lần đầu tiên được áp dụng nên ta có ji = j*-1 Như vậy số bước mở rộng được thực hiện có thể tính theo

O(m)

Hình 9: Hình ảnh quá trình thực hiện của thuật toán Mỗi dòng là một giai đoạn trong thuật toán, mỗi

số là một bước mở rộng tường minh được thực hiện.

2.3.6 Dựng cây hậu tố thực sự

Cây hậu tố ngầm định cuối cùng Im có thể được chuyển thành cây hậu tố thực sự trong thời gian O(m) Ta chỉ việc thêm kí tự $ vào cuối xâu S và thực hiện thuật toán, kết quả là một cây hậu tố ngầm định của một chuỗi mà không có hậu tố nào là tiền tố của hậu tố khác, đồng thời cũng là cây hậu tố thực sự của xâu

Tóm lại ta có:

Định lí: Giải thuật Ukkonen dựng cây hậu tố của xâu m kí tự S trong thời gian O(m).

Chương 3 Cây hậu tố tổng quát

3.1 Khái niệm

Trong các phần trên ta đã từng bước xây dựng cây hậu tố cho một chuỗi Để giải quyết bài toán xâu con chung lớn nhất của hai hay nhiều chuỗi ta cần mở rộng khái niệm cây hậu tố để chứa nhiều chuỗi hơn trong một cấu trúc dữ liệu chung

Định nghĩa: Cho tập các chuỗi {S1, S2, SK}, cây hậu tố tổng quát cho tập các chuỗi nãy là cây sao cho:

• Các đường đi từ gốc đến lá tương ứng 1-1 với các hậu tố của Si

• Mỗi nút trong, trừ nút gốc, có ít nhất là hai con

• Mỗi cạnh được gán nhãn là một xâu con khác rỗng của S

• Không có hai cạnh nào của cùng một nút có nhãn bắt đầu bằng cùng một kí tự

Để phân biệt hậu tố của các chuỗi khác nhau, mỗi chuỗi được bổ sung một kí tự kết thúc khác nhau và không có trong bảng chữ cái Mỗi nút lá của cây tương ứng với một hậu tố của một chuỗi nhất định và được gán nhãn bằng chỉ số của chuỗi đó Hình 10 cho ta một ví dụ về cây hậu tố của {xabxa, abxbx}

Hình 10: Cây hậu tố cùng với các liên kết hậu tố cho hai chuỗi xabxa và abxbx

3.2 Biểu diễn cây hậu tố tổng quát trong máy tính

Giống như cây hậu tố, một cạnh hiệu quả để biểu diễn cạnh của cây hậu tố tổng quát là lưu chỉ số bắt đầu và kết thúc của xâu con thay vì bản thân xâu con đó Cây hậu tố tổng quát chứa nhiều hơn một xâu nên cạnh cần lưu cả chỉ số của xâu chứa xâu con nó biểu diễn Hình ảnh của cây hậu tố tổng quát cho hai xâu xabxa và abxbx trong bộ nhớ như trong Hình 11

Hình 11: Cây hậu tố tổng quát cho hai xâu xabxa và abxbx cùng với các liên kết hậu tố trong bộ nhớ (các chỉ số bắt đầu từ 0)

Nhãn của nút lá là không cần thiết vì xâu chứa nó được xác định qua cạnh duy nhất nối với nó

3.3 Dựng cây hậu tố tổng quát trong thời gian tuyến tính

Áp dụng giải thuật Ukkonen giới thiệu trong chương trước ta dễ dàng dựng được cây hậu tố tổng quát trong thời gian O(N) với N là tổng độ dài các xâu

Đầu tiên ta dựng cây hậu tố thông thường cho xâu S1 Với các xâu S2, S3, SK trước tiên ta tìm tiền

tố dài nhất Sk[1 i] đã tồn tại trong cây Ta thực hiện các giai đoạn i+1, i+2, mk của thuật toán Ukkonen để mở rộng cây hậu tố tổng quát phủ toàn bộ xâu

Đi sâu vào chi tiết, việc tìm tiền tố dài nhất đã có trong cây đồng nghĩa với việc tìm đường đi dài nhất trong cây có nhãn Sk[1 i] bằng cách quét từng kí tự trên đường đi từ gốc Có hai trường hợp xảy ra:

1 Đường đi kết thúc ở nút v (có thể là nút gốc): thêm nút con mới nối với v bằng cạnh có nhãn

là Sk[i+1]

2 Đường đi kết thúc giữa một cạnh: chia đôi cạnh tại điểm đường đi kết thúc và tạo ra nút mới

v Tạo nút con của v nối với nó bằng cạnh Sk[i+1]

Sau khi thực hiện xong bước trên bước mở rộng đầu tiên của giai đoạn i+1 đã hoàn thành, ta có thể

đi theo nút cha của v, theo liên kết hậu tố v.v để thực hiện các bước mở rộng tiếp theo Lưu ý rằng trong trường hợp thứ 2 ta cũng cần đảm bảo liên kết hậu tố của v sẽ được thiết lập trong bước mở rộng tiếp theo