đê thi thu đ h lan 3

SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG LẦN 3 Môn Toán ( Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1.(2đ) Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Câu 2. (2đ) 1. Giải phương trình : 2cos3 (2cos2 1) 1x x + = 2. Giải phương trình : 2 2 3 (3 1) 2 1 5 3 2 x x x x+ − = + − Câu 3.(1đ) Tính tích phân I = 1 2 1 1 1 dx x x − + + + ∫ Câu 4 (1đ) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng (d) đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M với CM = x .Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên MB và CB. Đường thẳng EF cắt (d) tại N. Tính thể tích tứ diện ABMN theo a và x , với giá trị nào của x thì thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất Câu 5.(1đ) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + II PHẦN RIÊNG (3,0điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình 2 2 0x y− + = . Tìm trên (d) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC Câu 7a (1đ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình là 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Câu 8a. (1đ) Giải phương trình 2 ( )( 3)( 2) 10;z z z z z C− + + = ∈ B. Theo chương trình nâng cao Câu 6b.(1đ)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và đỉnh A có tọa độ là các số dương. Hai đỉnh B, C nằm trên trục Ox. Đường thẳng AB có phương trình là 3 7( 1)y x= − . Chu vi tam giác ABC bằng 18. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C Câu 7b (1đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 4 1 5 2 3 ( ) : ; ( ) : 3 1 2 1 3 1 x y z x y z d d − − + − + = = = = − − . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 2 ( ),( ).d d Câu 8b.(1đ) Giải bất phương trình 2 2 (3log 2) 9log 2x x x− > − Hết 1 TRNG THPT H TRUNG P N THI TH I HC LN Chỳ ý: Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa Câu 1 Đáp án Điểm 1.(1,0 điểm) Khảo sát . . . (2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 x x y y + = = ; tiệm cận ngang: y = 2 ( 1) ( 1) lim ; lim x x y y + = + = ; tiệm cận đứng: x = - 1 0,25 - Bảng biến thiên Ta có 2 1 ' 0 ( 1) y x = < + với mọi x - 1 x - -1 + y + + y + 2 2 - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1) và ( -1; + ) 0,5 * Đồ thị 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm. . . Gọi M(x 0 ;y 0 ) là một điểm thuộc (C), (x 0 - 1) thì 0 0 0 2 1 1 x y x + = + Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0 0 2 1 1 x x + + - 2| = | 0 1 1x + | Theo Cauchy thì MA + MB 2 0 0 1 x 1 . 1x + + =2 MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần 0,25 0,25 0,25 0,25 2 t×m lµ (0;1) vµ (-2;3) Câu 2 1.Giải phương trình : 2cos3 (2cos2 1) 1x x + = 1,0 (2,0 ®iÓm) PT(1) ⇔ 1)1cos4(3cos2 2 =−xx ⇔ 1)sin43(3cos2 2 =− xx Nhận xét Zkkx ∈= , π không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 1)sin43(3cos2 2 =− xx ⇔ xxxx sin)sin4sin3(3cos2 3 =− ⇔ xxx sin3sin3cos2 = ⇔ xx sin6sin = ⇔    +−= += ππ π 26 26 mxx mxx ⇔       += = 7 2 7 5 2 ππ π m x m x ; Zm ∈ Xét khi = 5 2 π m π k ⇔ 2m=5k ⇔ m t5= , Zt ∈ Xét khi 7 2 7 ππ m + = π k ⇔ 1+2m = 7k ⇔ k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, Zl ∈ Vậy phương trình có nghiệm: 5 2 π m x = ( tm 5≠ ); 7 2 7 ππ m x += ( 37 +≠ lm ) trong đó Zltm ∈,, 0,25 0,25 0,25 0,25 2.Giải phương trình : 3 2 3 512)13( 22 −+=−+ xxxx 1,0 PT(2) ⇔ 631012)13(2 22 −+=−+ xxxx 232)12(412)13(2 222 −++−=−+ xxxxx . Đặt )0(12 2 ≥−= txt Pt trở thành 0232)13(24 22 =−+++− xxtxt Ta có: 222 )3()232(4)13(' −=−+−+=∆ xxxx Từ đó ta có phương trình có nghiệm : 2 2 ; 2 12 + = − = x t x t Thay vào cách đăt giải ra ta được phương trình có các nghiệm:    +    +− ∈ 7 602 ; 2 61 x 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 Tính tích phân I = 1 2 1 1 1 dx x x − + + + ∫ 1,0 (1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 2 1 x + th× u - x= 2 1 x + ⇒ 2 2 2 2 1x ux u x − + = + 2 2 1 1 1 1 2 2 u x dx du u u −   ⇒ = ⇒ = +  ÷   §æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1 x = 1 th× u = 2 +1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 (1 ) du du du u I u u u u + + + − − −   +  ÷   ⇒ = = + + + + ∫ ∫ ∫ 0,25 0,25 0,25 3 = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 du du u u u u + + − −   + − +  ÷ + +   ∫ ∫ =1 0,25 Câu 4 Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng (d) đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M với CM = x .Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên MB và CB.Đường thẳng EF cắt (d) tại N. Tính thể tích tứ diện ABMN theo a và x , với giá trị nào của x thì thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất 1,0 d F E B A N M C Ta có: V ABMN = V MCAB + V NCAB = 1 1 1 . . ( ) 3 3 3 CAB CAB CAB S CM S CN S CM CN ∆ ∆ ∆ + = + Do ( ) (1) AM CB AM MBC AM MB AM MC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Lại có (2)MB AE⊥ từ (1) và (2) suy ra ( )MB AEF MB NF⊥ ⇒ ⊥ CFN CBM⇒ ∠ = ∠ vì vậy CMB∆ đồng dạng với CFN∆ 2 . . . . 2 2 a a CM CN CF CB x CN a CN x ⇒ = ⇒ = ⇒ = Vậy 2 2 2 2 2 1 3 3(2 ) ( ) 3 4 2 24 ABMN a a a x a V x x x + = + = (đvtt) Nhận thấy V ABMN nhỏ nhất khi và chỉ khi CM + CN nhỏ nhất Lại có CM.CN = CF.CB không đổi nên CM + CN nhỏ nhất khi và chỉ khi CM = CN Vậy V ABMN nhỏ nhất khi và chỉ khi CM = CN 2 2 2 2 2 a a x x⇔ = ⇔ = khi đó V ABMN = 2 6 12 a 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + 1,0 4 §Æt a=x 3 , b=y 3 , c=z 3 th× x, y, z >0 vµ xyz =1.Ta cã x 3 + y 3 =(x+y)(x 2 + y 2 - xy) ≥ (x+y)xy, do x + y > 0 vµ x 2 + y 2 - xy ≥ xy ⇒ x 3 + y 3 +1 ≥ (x+y)xy + xyz = xy(x+y+z) > 0 ⇒ ( ) 3 3 1 1 y 1 xy x y z x ≤ + + + + Tư¬ng tù ta cã ( ) 3 3 1 1 z 1 yz x y z y ≤ + + + + , ( ) 3 3 1 1 x 1 zx x y z z ≤ + + + + Céng theo vÕ ta cã 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + = 3 3 1 y 1x + + + 3 3 1 z 1y + + + 3 3 1 x 1z + + ≤ ( ) 1 1 1 1 x y z xy yz xz   + +  ÷ + +   = ( ) ( ) 1 1z x y x y z + + = + + DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1 0,25 0,5 0,25 Câu 6a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình 2 2 0x y− + = . Tìm trên (d) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC 1,0 (1,0 ®iÓm) Đường thẳng ( ∆ ) vuông góc với (d) có véc tơ pháp tuyến (2;1)n ∆ = uur ( )∆ đi qua A(0; 2) suy ra ( ) : 2 2 0x y∆ + − = Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2 2 2 0 2 6 5 ( ; ) 2 2 0 6 5 5 5 x x y B x y y  =  − + =   ⇔ ⇒   + − =   =   0 0 2 ( ) ( ; ) 2 x C d C x + ∈ ⇒ do AB = 2BC suy ra 0 0 0 1x y= ⇒ = hoặc 0 0 4 7 5 5 x y= ⇒ = Vậy 1 2 2 6 4 7 ( ; ), (0;1) ( ; ) 5 5 5 5 B C C 0,5 0,25 0,25 Câu 7a. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình là 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. 1,0 Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2; -1), bán kính R = 3 Mặt phẳng (P) chứa tục Ox nên (P) có phương trình là ay + bz = 0 Do đường tròn giao tuyến của (S) và (P) có bán kính r = 3 nên mặt phẳng (P) phải đi qua tâm I của (S) Suy ra -2a - b = 0 hay b = -2a (a khác 0) 0,25 0,5 5 Chọn a = 1 thì b = -2 Vậy (P): y - 2z = 0 0,25 Câu 8a Giải phương trình 2 ( )( 3)( 2) 10;z z z z z C− + + = ∈ (3) PT(3) ⇔ ⇔=+−+ 10)3)(1)(2( zzzz 0)32)(2( 22 =−++ zzzz Đặt zzt 2 2 += . Khi đó phương trình (8) trở thành: 0103 2 =−− tt    ±−= ±−= ⇒    = −= ⇔ 61 1 5 2 z iz t t Vậy phương trình có các nghiệm: 61±−=z ; iz ±−= 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 6b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và đỉnh A có tọa độ là các số dương hai đỉnh B, C nằm trên trục Ox, đường thẳng AB có phương trình là 3 7( 1)y x= − ,chu vi tam giác ABC bằng 18. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C. Ox (1;0) ( ;3 7( 1)) 1 B AB B A AB A a a a = ∩ ⇒ ∈ ⇒ − ⇒ > (Do tọa độ của A là các số dương) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì H(a; 0) (2 1;0)C a⇒ − 2 1, 8 1BC a AB AC a⇒ = − = = − Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC = 10a - 2 =18 2a ⇒ = Vậy các đỉnh của tam giác ABC có tọa độ là (2;3 7), (1;0), (3;0)A B C 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7b ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 4 1 5 2 3 ( ) : ; ( ) : 3 1 2 1 3 1 x y z x y z d d − − + − + = = = = − − . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 2 ( ),( ).d d 1,0 Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d 1 , d 2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ ( ) 1 2 ,d d d dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 Ta tìm A, B : ' AB u AB u  ⊥   ⊥   uuur r uuur ur A∈d 1 , B∈ d 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) ⇒ AB uuur (….)… ⇒ A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ⇒ I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có phương trình là: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z− + − + + = 0,25 0,5 0,25 Câu 8b Giải bất phương trình 2 2 (3log 2) 9log 2x x x− > − 1,0 Điều kiện: 0 > x Bất phương trình ⇔ )1(2log)3(3 2 −>− xxx Nhận thấy x = 3 không là nghiệm của bất phương trình TH1 Nếu 3>x BPT ⇔ 3 1 log 2 3 2 − − > x x x 0,25 6 Xét hàm số: xxf 2 log 2 3 )( = đồng biến trên khoảng ( ) +∞;0 3 1 )( − − = x x xg nghịch biến trên khoảng ( ) +∞;3 *Với 4>x :Ta có    =< => 3)4()( 3)4()( gxg fxf ⇒ Bpt có nghiệm 4>x * Với 4 < x :Ta có    => =< 3)4()( 3)4()( gxg fxf ⇒ Bpt vô nghiệm TH 2 :Nếu 30 << x BPT ⇔ 3 1 log 2 3 2 − − < x x x xxf 2 log 2 3 )( = đồng biến trên khoảng ( ) +∞;0 3 1 )( − − = x x xg nghịch biến trên khoảng ( ) 3;0 *Với 1>x :Ta có    =< => 0)1()( 0)1()( gxg fxf ⇒ Bpt vô nghiệm * Với 1 < x :Ta có    => =< 0)1()( 0)1()( gxg fxf ⇒ Bpt có nghiệm 10 << x Vậy Bpt có nghiệm    << > 10 4 x x 0,25 0,25 0,25 7 . GD&ĐT THANH H A TRƯỜNG THPT H TRUNG Đ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG LẦN 3 Môn Toán ( Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đ ) I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu. PHẦN RIÊNG (3, 0điểm) (Thí sinh chỉ đ ợc làm một trong hai phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a ( 1đ) Trong mặt phẳng tọa đ Oxy cho điểm A(0; 2) và đ ờng thẳng (d) có phương trình. 1.( 2đ) Cho h m số 2 1 1 x y x + = + có đ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đ thị (C) của h m số. 2. Tìm trên đ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đ n hai đ ờng tiệm cận của (C) nhỏ