SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ KHẢO SÁT TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1(2 điểm): 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = (| x | +1) (| x | −1) 2) Tìm trục hoành những điểm mà từ điểm kẻ ba tiếp tuyến phân biệt đến (C) Bài 2(3 điểm): x2 + y + =2 x+ y+2 1) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) ( xy − x − y + 1)( x + y − 2) = 2) Giải phương trình: sin x.tan x + cos x = cos x.(2 − tan x) , ( với x ∈ R ) 5 3) Tìm m thực để phương trình sau có nghiệm thực đoạn ;4 : 2 (m − 1).log1/ ( x − 2) + 4( m − 5) log1/ + 4m − = x−2 Bài 3(1 điểm): Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B, AB = a; cạnh SA = SB = SC = 3a , (a > 0) Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm M, N cho SM = BN = a Tính thể tích khối chóp C.ABNM theo a Bài 4(2 điểm): 1) Tính tích phân: ∫ x ln(1 + x 2 )dx 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q cho diện tích tam giác OPQ nhỏ Bài 5(1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1: x =1+ t y = + 2t ; (t ∈ R ) ,đường thẳng d2 là z = + 2t giao tuyến hai mặt phẳng (P): 2x – y – = và (Q): 2x + y + 2z – = Gọi I là giao điểm d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B và C cho tam giác BIC cân đỉnh I Bài 6(1 điểm): x3 y3 z3 2 2 + + ≥ Cho x, y, z ≥ và x + y + z = Chứng minh: + y2 1+ z2 + x2 Hết SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B KHẢO SÁT TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 180 phút) Đáp Án vắn tắt: Bài 1: 1) Nội dung 2 *Có hàm số : y = (| x | +1) (| x | −1) ⇔ y = x4 - 2x2 + ( C) điểm y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = 0; x = ±1 *TXĐ: R; xlim y = +∞; xlim y = +∞ ; →−∞ →+∞ *BBT: *Đọc khoảng đb, nb; cực trị *Vẽ đ thị 2) *Gọi A(a:0) ∈ Ox mà từ A kẻ đến ( C) ba tiếp tuyến phân biệt *Đường thẳng d qua A với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a) điểm x − x + = k ( x − a) *d là tt ( C) và chỉ hệ pt sau có nghiệm: ( I ) x3 − x = k Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 x( x − 1) = k k = ( A) ( B) *Có ( I ) ⇔ 3 x − 4ax + = 0(1) x −1 = 0.25 *Từ hệ (A), chỉ cho ta tiếp tuyến là d1: y = Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến pb tới (C) cần và đủ là hệ (B) phải có nghiệm pb (x;k) với x khác ±1 , tức là phương trình (1) phải có nghiếm pb x khác ±1 0.25 KQ: −1 ≠ a < − 0.25 3 hc ≠ a > 2 Bài 2: 1) điểm Nội dung u = x − ( x − 1) + ( y − 1) = *Hệ ⇔ Đặt , thu hệ ( x − 1)( y − 1)[( x − 1) + ( y − 1)] = v = y − * Giải được: u + v = ; u.v = 2 * Giải được: u = x − = v = y − = u +v =5 uv(u + v) = u = x − = v = y − = x = x = ⇒ y = y = 2) * ĐK: cos x ≠ PT ⇔ sin x + cos3 x = cos x.(2 cos x − sin x) ⇔ (sin x + cos x).cos x.(2sin x − cos x) = điểm ⇔ sin x + cos x = 0; 2sin x − cos x = π ⇔ x = − + kπ ; x = arctan + lπ ;(k , l ∈ Z ) 2 Điểm 0.25 0.50 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3) *PT ⇔ (m − 1).log ( x − 2) − ( m − 5) log ( x − 2) + m − = 1/ 1/ 5 điểm *Đặt t = log1/ ( x − 2), x ∈ ; ⇒ t ∈ [ −1;1] 2 0.25 4t − t − 5t + ; f '(t ) = ⇔ t = ±1 Thu pt: m = f (t ) = ; f '(t ) = (t − t + 1) t − t +1 * Lập BBT f(t) đoạn [ −1;1] , thấy f(t) liên tục và NB đoạn [ −1;1] , nên 0.25 0.50 7 m ∈ −3; thỏa mãn đề bài 3 Bài 3: * Chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh S là trung điểm H cạnh AC điểm a 34 * Tính VS ABC = 12 * CM VS MNC = VS ABC 7 a 34 ⇒ VC.ABNM = VS ABC = 108 Bài 4: 1) * Tính điểm I = ∫ x ln(1 + x )dx 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2x du = dx 1 u = ln(1 + x ) x4 + x2 ⇒ ⇒ I = x ln(1 + x ) − ∫ dx * Đặt 3 + x2 dv = x dx v = x 1 x π dx = ∫ [ x − + ]dx = = − − * Tính J = ∫ 2 1+ x 1+ x 0 π * Vậy I = ln + + 1) x y * Từ gt ta có P (a;0); Q(0; b), a > 0, b > * d có pt: + = a b điểm 3 d qua A(3; 1) nên + = ⇒ ≥ ⇒ ab ≥ Dấu bằng xảy và chỉ a b ab a = = ⇒ a b b = 2 0.50 0.25 0.25 0.25 * Có S∆OPQ = a.b ≥ Nên S∆OPQ nhỏ ( = ) và chỉ x y * Vậy d có pt: + = a = b = Bài 5: 1) x = t1 điểm * d2 có pt: y = −1 + 2t1 ; (t1 ∈ R) 0.25 0.25 0.25 z = − 2t * Tìm I(1;1;1) Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(t1;-1 +2 t1;3 -2 t1) , ( đk: B khác I, C khác I ⇒ t ≠ 0, t1 ≠ ) 0.25 IB = IC (1) u r uu r r *Tam giác BIC cân đỉnh I u u u u u [ AB , AC ] = (2) t = ⇔ ⇔ t1 = 0.25 x=2 * Từ có pt d3 : y = ; (t ∈ R ) z = + 2t 0.25 Bài 6: 1) x3 y3 z3 2 + y )+( + z )+( + x2 ) Ta có: VT + = ( 2 1+ y 1+ z 1+ x điểm ⇔ VT + =( x3 + y2 + x3 + y2 + + y2 y3 y3 1+ z2 ) +( + + ) 2 + z2 + z2 0.25 0.25 + x2 +( + + ) + x2 + x2 z3 z3 x6 y6 z6 VT + ≥ 33 + 33 + 33 16 16 16 ⇒ VT + 2 ≥ 23 2 ( x2 + y2 + z ) = 0.25 0.25 ⇒ VT ≥ 23 − 2 = 2 − 2 = = VP (đpcm) ( Dấu bằng xảy và chỉ x = y = z = 1) Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Lê Văn Hưu KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MÔN TOÁN KHỐI A Tháng 03/2010 Thời gian:180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Câu II (2.0 điểm) 1.Tìm nghiệm phương trình 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ ; π ] 33 x −2 y − 5.6 x + 4.23 x −2 y = Giải hệ phương trình x − y = y + ( y − x )( y + x ) Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân ∫ (x e x3 + x 1+ x )dx Câu IV (1.0 điểm) Cho x, y, z là số thực dương lớn và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Câu V (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích tứ diện ABCD PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B (Nếu thí sinh làm hai phần không chấm điểm) A Theo chương trình nâng cao Câu VIa (2.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = và (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng Gọi M là trung điểm đoạn AD, N là tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N Câu VIIa (1.0 điểm) log ( x + 1) − log ( x + 1)3 Giải bất phương trình >0 x2 − 5x − B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm) Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64.Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm M là điểm (E).Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = có giá trị không đổi Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vng góc với (Q) Câu VIIb (1.0 điểm) k k Giải bất phương trình A2 x − Ax ≤ Cx + 10 ( Cn , An là tổ hợp, chỉnh hợp chập k n phần tử) x Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Lê Văn Hưu ĐÁP ÁN KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MÔN TOÁN Tháng 03/2010 Thời gian:180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) CÂU Câu I (2.0đ) (1.0đ) NỘI DUNG THANG ĐIỂM 0.25 TXĐ : D = R\{1} Chiều biến thiên lim f ( x) = lim f ( x) = nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+∞ x →−∞ 0.25 lim f ( x) = +∞, lim = −∞ nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số − x →1+ x →1 y’ = − - bất phương trình X A = − 1 + A + D = + B + 2C + D = B = − ⇔ 8 + A + 4C + D = 8 + B + 4C + D = C = − D = A2 + B + C − D = 15 0.25 3log ( x + 1) log >0 ( x + 1)( x − 6) log ( x + 1) − ⇔ log ( x + 1)