KT toán 10+11

 Hàm số f(x) xác đònh trên k:  Đồng biến khi: 1 2 1 2 x ,x k,x x∀ ∈ ≠ thì 1 2 1 2 f(x ) f(x ) x x − − >0  Nghòch biến khi: 1 2 1 2 x ,x k,x x∀ ∈ ≠ thì 1 2 1 2 f(x ) f(x ) x x − − < 0  Chẵn: ∈∀x R , f(-x) = f(x): nhận trục tung làm trục đối xứng  Lẻ: ∈∀x R, f(-x) = - f(x): nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.  Hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có đỉnh b I( ; ) 2a 4a − −∆ nhận đường thẳng x = b 2a − làm trục đối xứng. o Nếu a > 0 : bề lõm quay lên ; o nếu a < 0 : bề lõm quay xuống  Hệ thức Viet:  Hệ thức viet cho phng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1 2 1 2 b S x x a c P x .x a  = + = −     = =    Nếu hai số x, y thoả mãn: + =   =  x y a x.y b thì x, y là nghiệm phương trình bậc hai: t 2 – at + b = 0  Hệ thức viet cho phương trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 (a ≠ 0) (1). 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 b x x x a c x x x x x x a d x x x a  + + = −    + + =    = −    Nếu ba số x, y, z thỏa mãn : x y z a xy yz xz b xyz c + + =   + + =   =  thì x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : t 3 –at 2 + bt – c = 0  Định lí Viet cho phương trình bậc cao Nếu đa thức f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n (a ≠ 0) có n nghiệm x 1 , x 2 , …,x n thì ta có: 1 1 2 n 0 2 1 2 2 3 n 1 n 0 n n 1 2 n 0 a x x x a a x x x x x x a a x x x ( 1) a −    + + + = −    + + + =      = −    Hệ phương trình: ax by c a'x b'y c' + =   + =  D = a b a' b' = ab’ – ba’ ; D x = c b c' b' = cb’ – bc’ ; D y = a c a' c' = ac’ – ca’  D ≠ 0 , hệ có nghiệm: x = x D D ; y = y D D  D =0 , D x ≠ 0, D y ≠ 0 hệ vô nghiệm  D = D x = D y = 0 hệ vô số nghiệm Tính chất bất đẳng thức:  a > b, b > c ⇒ a> c  a >b <=> a + c >b + c  a >b và c > d => a + c > b + d  a > b và c > 0 <=> ac > bc ; a > b và c < 0 <=> ac < bc  a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd  a > b > 0, n nguyên dương => a n > b n  a > b > 0, n nguyên dương => nn BA > . hệ quả: a 2 ≥ b 2 <=> a ≥ b <=> ba ≥ (a,b ≥ 0)  a a a− ≤ ≤ ∈∀x R  x a≤ ⇔ -a ≤ x ≤ a  x a≥ ⇔ x a x a ≥   ≤ −   a b a b a b− ≤ + ≤ + Bất đẳng thức Cô – si: a,b 0∀ ≥ , ta có a b ab 2 + ≥  Các phương pháp áp dụng bất đẳng thức cô – si: - Dùng đònh nghóa - Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân - Phương pháp tách nghòch đảo - Kỉ thuật trung bình nhân sang trung bình cộng - Kỉ thuật ghép đối xứng - Kỉ thuật dùng diện tích tam giác - Kỉ thuật đánh giá mẫu - Kỉ thuật đổi biến số - Đánh giá phương trình, bất phương trình  Bất đẳng thức Bunhiaxcopki: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ). Dấu bằng xảy ra khi : ad = bc  Dấu của nhò thức: x −∞ b a − +∞ f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a  Dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)  ∆ < 0, f(x) cùng dấu với a x∀ ∈ ¡  ∆ = 0 , cùng dấu với a b x 2a ∀ ≠ −  ∆ > 0 , trái dấu với a 1 2 x (x ;x )∀ ∈ , và ngược lại Xác đònh miền nghiệm:  Vẽ đøng thẳng (d): ax + by + c = 0  Xét nếu M(x 0 ;y 0 ) không thuộc d • Nếu ax 0 + by 0 + c < o thì nửa mặt phẳng chứa điểm M là miền nghiệm của bất phng trình ax + by + c < 0 và nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phng trình ax + by + c > 0  Lượng giác: Tính chất: Cos(x + k2 π ) = cosx Sin(x + k2 π ) = sinx Tan(x + k π ) = tanx Cot(x + k π ) = cotx -1 ≤ cosx ≤ 1 -1 ≤ sinx ≤ 1 Cos 2 x + sin 2 x = 1 Cotx.tanx = 1 Tanx = sin x cos x Cotx = cos x sin x 1 + tan 2 x = 2 1 cos x 1 + cot 2 x = 2 1 sin x Hai góc đối nhau: Sin(-x) = -sinx Cos(-x) = cosx Tan(-x) = -tanx Cot(-x) = - cotx Hai góc bù nhau: Sin( π - x) = sinx Cos( π -x) = -cosx Tan( π -x) = -tanx Cot( π -x) = - cotx Hai góc hơn kém π Sin( π + x) = -sinx Cos( π + x) = -cosx Tan( π + x) = tanx Cot( π + x) = cotx Hai góc phụ nhau: Sin( 2 π - x) = cosx Cos( 2 π -x) = sinx Tan( 2 π -x) = cotx Cot( 2 π -x) = tanx Hai góc hơn kém 2 π : Sin( 2 π + x) = cosx Cos( 2 π + x) = -sinx Tan( 2 π + x) = -cotx Cot( 2 π + x) = -tanx Công thức nhân đôi: Sin2x = 2sinx.cosx Cos2x = cos 2 x – sin 2 x Cos2x = 2cos 2 x – 1 Cos2x = 1 – 2sin 2 x Tan2x = 2 2 tan x 1 tan x− Công thức hạ bậc: Cos 2 x = 1 cos 2x 2 + Sin 2 x = 1 cos2x 2 − Tan 2 x = 1 cos2x 1 cos 2x − + Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin 3 x Cos3x = 4cos 3 x – 3cosx Tan3x = 3 2 3tan x tan x 1 3tan x − − Công thức phân nửa: Đặt t = tan x 2 Sinx = 2 2t 1 t+ Cosx = 2 2 1 t 1 t − + Tanx = 2 2t 1 t− Công thức cộng: Cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny Cos(x - y) = cosx.cosy + sinx.siny Sin(x – y) = sinx.cosy – siny.cosx Sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx Tan(x – y) = tan x tan y 1 tan x.tan y + − Tan(x + y) = tan x tan y 1 tan x.tan y − + Công thức biến đổi tích thành tổng: Cosa.cosb = 1 2 [cos(a + b) + cos(a – b)] Sina.sinb = 1 2 [cos(a – b) - cos(a + b)] Sina.cosb = 1 2 [sin(a – b) + sin(a + b)] Công thức biến đổi tổng thành tích: Cosa + cosb = 2.cos a b 2 + .cos a b 2 − Cosa - cosb = -2.sin a b 2 + .sin a b 2 − Sina + sinb =2.sin a b 2 + .cos a b 2 − Sina – sinb = 2.cos a b 2 + .sin a b 2 − Sina + cosa = 2 sin(a + 4 π ) = 2 cos(a - 4 π ) Sina - cosa = 2 sin(a - 4 π ) = - 2 cos(a + 4 π ) Tana + tanb = sin(a b) cosa.cos b + Tana - tanb = sin(a b) cosa.cos b −  Quan hệ giữa độ và rad: I (0 0 → 90 0 ) II (90 0 → 180 0 ) III (180 0 → 270 0 ) IV (270 0 → 360 0 ) Sinx + + - - Cosx + - - + Tanx + - + - cotx + - + - 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π 3 2 π 2π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 3600 0 Sinx 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 Cosx 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 0 1 Tanx 0 1 3 1 3 P - 3 -1 - 1 3 0 P 0 cotx P 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 P 0 P Giải một số phương trình, bất phương trình: A = B ⇔ B 0 A B B 0 A B  ≥    =    ≥    = −    ⇔ 2 2 B 0 A B ≥   =  A ≤ B ⇔ 2 2 B 0 A B ≥   ≤  ⇔ A B A B ≤   ≥ −  A ≥ B ⇔ A B A B ≥   ≤ −  ⇔ 2 2 B 0 A B ≥   ≥  A =B ⇔ 2 B 0 A B ≥   =  A ≥ B ⇔ 2 B 0 A 0 B 0 A B  <    ≥    ≥    ≥    A ≤ B ⇔ A 0 B 0 A B ≥   ≥   ≤  Đònh lý Bezout, sơ đồ hoocner: Tan x Cos x Sin x Cot x α cos x + Tan x Cot x IV I II III Nếu phương trình: a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + …… + a 1 x + n 0 = 0 (1) có nghiệm là α , thì (1) ⇔ (x - α )(b n – 1 x n – 1 + b n – 2 x n – 2 + …… + b 1 x + b 0 ) = 0 Trong đó, b n – 1 , b n – 2 , … , b 1 , b 0 được xác đònh bởi sơ đồ hoocner sau: a n a n -1 a n – 2 ……… a 1 a 0 α b n – 1 = a n b n-2 = (b n – 1 ) α + b n – 2 = (b n – 2 ) α + ……… b 0 = b 1 α +a 1 số dư + a n – 1 + a n – 2 r = b 0 α +a 0  Tần số:  Số trung bình: N xxx x n +++ = 21 = ∑ = N i i x N 1 1 N nxnxnx x mm +++ = 2211 = ∑ = N ii i nx N 1 1  Số trung vò: sắp xếp theop thứ tự không giảm: • N lẻ: số đứng ở vò trí N +1 2 là số trung vò • N chẵn: trung bình cộng hai số N 2 và N 2 +1  Phương sai: S 2 = N 2 i i 1 1 (x x) N = − ∑ = N N 2 2 i i 2 i 1 i 1 1 1 x ( x ) N N = = + ∑ ∑ ; S 2 = m m 2 2 i i i i 2 i 1 i 1 1 1 n x ( n x ) N N = = − ∑ ∑  Độ lệch chuẩn: s Vectơ: Cộng vectơ: • Ba điểm: MN uuur + NP uuur = MP uuur • Quy tắc hình bình hành: OA uuur + OB uuur = OC uuur • G là trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r • M là trung điểm AB: MA MB 0+ = uuur uuur r Hiệu vectơ: OM ON NM− = uuur uuur uuur Tích vectơ: k(l a r ) = (kl) a r (k+l) a r =k a r + l a r K( a b+ r r ) = k a r + k a r a r (x;y) ⇒ k a r (kx;ky) a r (x;y) = b r (x | ;y | ) ⇔ x = x | ; y = y | a b+ r r = (x + x | ;y+y | ) a b− r r =(x - x | ;y - y | ) a.b r r = a b r r cos( a r ; b r ) M(x;y); N(x | ;y | ) ⇒ MN uuur (x – x | ;y – y | ) a.b r r = xx | + yy | a.b r r = 0 ⇔ a b⊥ r r ⇔ xx | + yy | = 0 2 a r = 2 a r a r = 2 2 x y+ k a r = 0 k 0 a 0 =  ⇔  =   r r P là trung điểm MN: x P = M N x x 2 + ; y P = M N y y 2 + G là trọng tâm tam giác ABC: x G = A B C x x x 3 + + ; y G = A B C y y y 3 + + Cos( a r ; b r ) = | | 2 2 |2 |2 xx yy x y . x y + + +  Hệ thức lượng trong tam giác: Trong ABC∆ , có AB = c, AC = b, BC = a; R là bán kính đøng tròn ngoại tiếp; m a , m b , m c là các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C; h a , h b , h c là các đường cao xuất phát từ A, B, C; S là diện tích tam giác, r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp; p là nủa chu vi. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cosC 2 2 2 2 a b c a m 2 4 + = − 2 2 2 2 b a c b m 2 4 + = − 2 2 2 2 c a b c m 2 4 + = − a b c 2R sin A sin B sin C = = = S = 1 2 a.h a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c = = 1 2 ab.sinC = 1 2 ac.sinB = 1 2 bc.sinA = abc 4R = p.r = p(p a)(p b)(p c)− − −  Ba đường conic:  Đònh nghóa: Cho điểm F cố đònh và đường thẳng ∆ cố đònh không đi qua F. tập hợp các điểm M sao cho tỉ số MF d(M; )∆ bằng một số dương e cho trước gọi là đường cônic.  Elip: 2 2 2 2 x y 1 a b + = (b 2 = a 2 – c 2 ) F 1 F 2 = 2c (F 1 , F 2 : tiêu điểm; 2c: tiêu cự) MF 1 = a + cx 2 ; MF 2 = a - cx 2 Tâm sai: e = c a = 2 2 a b a +  Hypebol: 2 2 2 2 x y 1 a b − = (a 2 = c 2 – b 2 ) 1 2 MF MF− = 2c 2a: độ dài trục thực 2b: độ dài trục ảo MF 1 = cx a 2 + ; MF 2 = cx a 2 − Phương trình đường tiệm cận: y = b a ± x  Parabol: y 2 = 2px (p > 0) FP = p (P = Ox ∩ ∆ ) ∆ là đường chuẩn ∆ : x = p 2 − MF = p x 2 + (p: tham số tiêu) Ox là trục đối xứng O là đỉnh parabol  Đường chuẩn: OF 1 F 2 M y y ! ! y ! ! F 1 F 2 0 x A B C D ! M ! ! OP ∆ M(x;y) F(;0) y x Elip (e < 1) Hypebol ( e > 1) Parabol ( e = 1)  Một số tính chất cần chứng minh: • Phương trình tiếp tuyến: o (E): 2 2 2 2 x y 1 a b + = . Phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ;y 0 ) thuộc (E) có dạng: 0 0 2 2 x x y y 1 a b + = o (H): 2 2 2 2 x y 1 a b − = . Phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ;y 0 ) thuộc(H) có dạng: 0 0 2 2 x x y y 1 a b − = o (P): y 2 = 2px. Phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ;y 0 ) thuộc(P) có dạng: y 0 y = p(x + x 0 ) • Cho ∆ : Ax + By + C = 0 o ∆ tiếp xúc với (E): ⇔ A 2 a 2 + B 2 b 2 = c 2 o ∆ tiếp xúc với (H): ⇔ A 2 a 2 - B 2 b 2 = c 2 o ∆ tiếp xúc với (P): ⇔ B 2 p = 2AC  Đường tròn:  Phương trình đường tròn: • (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2 có tâm I(x 0 ;y 0 ) • X 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 có I(-a;-b) và R = 2 2 a b c+ −  Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I: d(I; ∆ ) = R I I 2 2 ax by c R a b + + ⇔ = + • Đường tròn tiếp xúc với trục hoành ⇒ R = b • Đường tròn tiếp xúc với trục tung ⇒ R = a  Đường thẳng: • Đường thẳng d có M 0 (x 0 ;y 0 ) có vectơ pháp tuyến n r (A;B) thì phương trình tổng quát là: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 o Cho 1 ∆ : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và 2 ∆ : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0  1 ∆ và 2 ∆ cắt nhau 1 1 2 2 a b a b ⇔ ≠  1 ∆ và 2 ∆ song song 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = ≠  1 ∆ và 2 ∆ trùng nhau 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = = • Đường thẳng d có M 0 (x 0 ;y 0 ) có vectơ chỉ phương u r (a;b) thì phương trình tham số của đường thằng có dạng: 0 0 x x at y y bt = +   = +  (t ∈¡ ) • Đường thẳng d có M 0 (x 0 ;y 0 ) có vectơ chỉ phương u r (a;b) thì phương trình chính tắc có dạng: 0 0 x x y y a b − − = O ! ! F 1 F 2 M a e − a e 1 2 x y O ! ! F 1 F 2 • Đường thẳng d có M 0 (x 0 ;y 0 ) có vectơ pháp tuyến n r (A;B) thì vectơ chỉ phương u r (-A;B) hoặc u r (A;-B) • Đường thẳng d ∩ Ox = A(a;0), d ∩ Oy = B(0;b) có phương trình đoạn chắn. x y 1 a b + = (a,b ≠ 0) • Đường thẳng d có PTTQ Ax + By + C = 0 có hệ số góc k = tan(Ox;d) = A B − (B ≠ 0) • Đường thẳng d có PTTQ Ax + By + C = 0, đường thẳng d | có PTTQ A | x + B | y + C | = 0, có góc tạo bởi hai đường thẳng: cos(d;d | ) = |cos( | n.n ur r )| = | | 2 2 |2 |2 AA BB A B . A B + + + • Đường thẳng d có hệ số góc k, d | có hệ số góc k | : tan(d;d | ) = | | k k 1 kk − − • Cho M(x 1 ;y 1 ), N(x 2 ;y 2 ) và đường thẳng d: Ax + By + C = 0 o Nếu (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) > 0 thì M, N nằm cùng phía với đường thẳng d. o Nếu (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) < 0 thì M, N nằm khác phía với đường thẳng d. • Cho hai đường thẳng cắt nhau, d: Ax + By + C = 0; d | :A | x + B | y + C | = 0, phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d, d | là: | | | 2 2 |2 |2 Ax By C A x B y C A B A B + + + + = + + • Đường thẳng d đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) có dạng: A A B A B A x x y y x x y y − − = − − • Cho M(x 0 ;y 0 ), đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. khoảng cách từ M đến ∆ là: d(M; ∆ ) = 0 0 2 2 Ax By C A B + + + • Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 o Nếu d P d | thì PTTQ cùa d | có dạng: Ax + By + C | = 0 o Nếu d ⊥ d | thì PTTQ cùa d | có dạng: Bx – Ay + C | = 0 • Cho hai đường thẳng song song, d: Ax + By + C = 0; d | :Ax + By + C | = 0. khoảng cách giữa (d;d | ): d(d;d | ) = | 2 2 c c A B − + • Cho điểm M(x 0 ;y 0 ) thuộc ∆ có hệ số góc là k. PTTQ: y = k(x – x 0 ) + y 0 o Nếu không có hệ số góc: PTTQ: x = x 0  Hàm số lượng giác: • Hàm số y = sinx TXĐ: D = ¡ . Tập giá tri: [-1;1] Là hàm số lẻ đối xứng qua O, tuần hoàn với chu kì T = 2 π . Đồng biến trên cung I,IV; nghòch biến trên II; III • Hàm số y = cosx TXĐ: D = ¡ . Tập giá tri: [-1;1] Là hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, tuần hoàn với chu kì T = 2 π . Đồng biến trên cung III,IV; nghòch biến trên I; II • Hàm số y = tanx TXĐ: D = ¡ \ k 2 π   + π     Là hàm số lẻ đối xứng qua O, tuần hoàn với chu kì T = 2 π . Đồng biến trên trên đường tròn lượng giác. • Hàm số y = cotx TXĐ: D = ¡ \ { } kπ Là hàm số lẻ đối xứng qua O, tuần hoàn với chu kì T = 2 π . Nghòch biến trên trên đường tròn lượng giác.  Phương trình lượng giác đặc biệt: Sinx = 1 x k2 2 π ⇔ = + π Sinx = -1 x k2 2 π ⇔ = − + π Sin = 0 x k⇔ = π Cosx = 1 x k2⇔ = π Cosx = -1 x k2⇔ = π+ π Cosx = 0 x k 2 π ⇔ = + π  Điều kiện để phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2 .  Tổ hợp xác suất:  Quy tắc cộng: một công viậc có thể thực hiện k phương án. Mỗi phương án có n 1 , n 2 , … n k cách thực hiện. Tổng các cách là số khả năng phương án thực hiện.  Quy tắc nhân: một công viậc gồm k công đoạn, công đoạn 1 có n 1 cách, công đoạn 2 có n 2 cách, …. Khi đó công viậc thực hiện theo n 1 .n 2 ……n k cách.  Hoán vò: tập A có n phần tử, khi sắp xếp n phần tử theo một thứ tự ta được một hoán vò. P(n) = n! = n(n – 1)(n – 2)……1  Chỉnh hợp: tập A có n phần tử và một số k, 1 k n≤ ≤ , lấy ra k phần tử của A và sắp xếp theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp. k n A = n(n – 1)(n – 2)……(n – k + 1) = n! (n k)!−  Tổ hợp: tập A có n phần tử và một số k, . mỗi tập con của A có k phần tử là một tổ hợp. k k n n A n(n 1)(n 2) (n k 1) n! C k! k! k!(n k)! − − − + = = = − k n k n n C C − = ; k k k 1 n 1 n n C C C − + = +  Nhò thức Niu – tơn: (a + b) n = 0 n 0 1 n 1 1 k n k k n n n n n n C .a b C .a b C .a b C .b − − + + + + = n k n k k n k 0 C a b − = ∑  Xác suất: A là biến cố liên quan đến phép thử T. P(A) = A Ω Ω . Trong đó:  Ω : lực lượng không gian mẫu ( không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra)  A Ω : tập hợp các kết quả thuận lợi cho A. • Các quy tắc tính xác suất: o Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B là hai biến có xung khắc, nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) o Biến cố đối: A là một biến cố,biến cố không xảy ra A,kí hiệu là: A là biến cố đối của A: P( A ) = 1 – P(A) o Biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng việc xảy ra biến cố kia. P(AB) = P(A).P(B) • Biến ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng X là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trò bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó và giá trò ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán tính toán. o Kì vọng: E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …… + x n p n = n i i i 1 x p = ∑ o Phương sai: V(X) = (x 1 - µ ) 2 p 1 + (x 2 - µ ) 2 p 2 + …… + (x n - µ ) 2 p n = n 2 i i i 1 (x ) p = −µ ∑ ( µ = E(X)) o Độ lệch chuẩn: (X) V(X)σ =  Phương pháp chứng minh quy nạp: Bước 1: chứng minh A(n) là mệnh đề đúng với n = 1( n = 2,…) Bước 2: với k * ∈¥ , giả sử A(n) đúng khi n = k, chứng minh A(n) đúng khi n = k + 1  Dãy số: cho dãy số u(n) • Dãy số tăng: Nếu ∀ n ta có u n < u n+1 • Dãy số giảm: Nếu ∀ n ta có u n > u n+1 • Dãy số bò chặn trên: nếu tồn tại một số M. ∀ n, u n ≤ M • Dãy số bò chặn dưới: nếu tồn tại một số m. ∀ n, u n ≥ m • Dãy số bò chặn: là dãy số vừa bò chặn trên, vửa bò chặn dưới. ∀ n, n m u M≤ ≤  Cấp số cộng: • Đònh nghóa: ∀ n ≥ 2, u n = u n – 1 + d (d: công sai) • Tính chất: u k = k 1 k 1 u u 2 − + + • Số hạng tổng quát: u n = u 1 + (n – 1)d • Tổng n số hạng đầu tiên: S = 1 n 1 (u u )d (2u (n 1)d)n 2 2 + + − =  Cấp số nhân: • Đònh nghóa: ∀ n ≥ 2, u n = u n – 1 .q (q: công sai) • Tính chất: 2 k u = u k – 1 .u k+1 • Số hạng tổng quát: u n = u 1 .q n – 1 • Tổng n số hạng đầu tiên: S = n 1 u (1 q ) 1 q − −  Dãy số có giới hạn 0: lim 1 n = 0 ; lim 2 1 n = 0 ; lim 1 n = 0 ; lim 1 n 1+ = 0 • Đònh lý 1: cho hai dãy số (u n ) và (v n ). Nếu n u ≤ v n với mọi n và limv n = 0 thì lim u n = 0 • Đònh lý 2:Nếu q < 1 thì lim q n = 0  Dãy số có giới hạn hữu hạn: • Giả sử limu n = L. Khi đó: a) lim n u = L và lim 3 n u = 3 L b) nếu u n ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim n u = L • Đònh lí 2: Giả sử limu n = L, limv n = M và c là một hằng số. Khi đó: Lim(u n + v n ) = L + M Lim(u n - v n ) = L - M Lim(u n .v n ) = L.M Lim(c.u n ) = cL lim n n u v = L M (M 0)≠ • Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = 1 u 1 q−  Dãy số có giới hạn vô cực: • Nếu Lim n u = +¥ thì lim n 1 u = 0 [...]... ta phải khử các dạng đó Phương pháp tìm giới hạn của hàm số: B1: thay giá trò mà x dần về vào hàm số cần tìm giới hạn Nếu không rơi vào các dạng vô đònh trên thì ta tính giá trò đó là kết quả của bài toán, nếu rơi vào các dạng vô đònh thì ta chuyển sang B2 B2: ta khử các dạng vô đònh trên rồi về B1 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: 1 Nếu xlim f (x) = +¥ thì xlim f (x) = 0 ®x ®x 0 0 Quy tắc 1: . giá trò bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó và giá trò ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán tính toán. o Kì vọng: E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …… + x n p n = n i i i 1 x p = ∑ o Phương sai: V(X). tìm giới hạn. Nếu không rơi vào các dạng vô đònh trên thì ta tính giá trò đó là kết quả của bài toán, nếu rơi vào các dạng vô đònh thì ta chuyển sang B 2 B 2 : ta khử các dạng vô đònh trên rồi