S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2007 - 2008 Tríc hÕt, chóng ta hÃy nhắc tới kiến thức thờng xuyên sử dụng sau: Cho Parabol y=a'x2 (P) đờng thẳng y = ax + b (d) Khi đó: Ta có hoành độ giao điểm Parabol y=a'x (P) đờng thẳng y=ax + b (d) nghiệm phơng trình: a'x2 = ax + b a'x2 – ax – b = (*) - Parabol (P) đờng thẳng (d) điểm chung phơng trình (*) vô nghiệm - Parabol (P) đờng thẳng (d) có điểm chung (tiếp xúc nhau) phơng trình (*) có nghiệm kép hoành độ tiếp điểm nghiệm kép phơng trình - Parabol (P) đờng thẳng (d) có hai điểm chung phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt Bây giờ, hÃy tìm hiểu dạng toán mối quan hệ này: Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm Parabol đờng thẳng Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao ®iĨm gi÷a Parabol (P) y = x víi ®êng thẳng (d) y = x + Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x với đờng thẳng (d) y = x + nghiệm phơng trình: x2 = x + ⇔ x2 –x – = ∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.1.( –6) = + 24 = 25 D =5 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 x1 = - b+ D 1+ = =3 a x2 = - b- D 1- = =- 2 a Vậy hoành độ giao điểm (P) (d) là: Ví dụ 2: Tìm hoành ®é giao ®iĨm gi÷a Parabol (P) y = –x2 víi đờng thẳng (d) y = 5x + Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x với đờng thẳng (d) y = 5x + nghiệm phơng trình: x2 = 5x + ⇔ x2 –5x + = V× a + b + c = + (–5) + = nªn x1 = 1; x2 = Vậy hoành độ giao điểm (P) (d) là: Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol đờng thẳng Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) y = thẳng (d): y = 3x – x vµ đờng Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = y = 3x – lµ nghiƯm cđa phơng trình: x = 3x - Û x2 - 6x + = x đờng thẳng (d): ' = b'2 ac = (–3)2 – 1.8 =9–8 =1 D' =1 Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: - b'+ D ' + x1 = = =4 a Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 3- =2 a Thay x1 = vào ta đợc y1 = Thay x2 = vào ta đợc y2 = Vậy toạ ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ: (4; 8); (2; 2) x2 = - b'- D' = VÝ dô 4: Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) y = th¼ng (a): y = 2x – x đờng Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = y = 2x – lµ nghiệm phơng trình: x = 2x - 3 Û x2 - 6x + = x đờng thẳng (a): ' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.9 =9–9 =0 Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: - b' x1 = x2 = = =3 a Thay x = vµo ta đợc y = Vậy toạ độ giao điểm (P) (a) là: (3; 3) Dạng 3: Chứng minh vị trí tơng đối Parabol ®êng th¼ng VÝ dơ 5: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = - x lu«n tiÕp xóc víi ®êng th¼ng (d): y = 4mx + m2 m thay đổi Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = 4x với đờng thẳng (d) y = 4mx + m2 nghiệm phơng trình: –4x2 = 4mx + m2 ⇔ 4x2 + 4mx + m2 = = b2 4ac Đặng Ngọc D¬ng = (4m)2 – 4.4.m2 = 16m2 – 16m2 THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 =0m Phơng trình có nghiệm kép Do Parabol (P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) y = 4mx + m2 m thay ®ỉi VÝ dơ 6: Chøng tỏ Parabol (P) y = x2 có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + m thay đổi Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x với đờng thẳng (d) y = 2(m 1)x 2m + nghiệm phơng trình: x2 = 2(m – 1)x – 2m + ⇔ x2 – 2(m – 1)x + 2m – = ∆' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m +1 – 2m + = m2 – 4m +4 = (m 2)2 m Phơng trình có nghiệm Do Parabol (P) luôn có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + m thay đổi Dạng 4: Chứng minh tính chất, vị trí giao điểm mặt phẳng toạ độ Parabol đờng thẳng VÝ dô 7: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = x2 cắt đờng thẳng (d): y = 5x hai điểm nằm phía trục tung Giải Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = 3x với đờng thẳng (d) y = 5x nghiệm phơng trình: 3x2 = 5x – ⇔ 3x2 – 5x + = Ta cã a + b + c= + (5) + = Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = ; x2 = c = a Ta thÊy hai nghiƯm nµy dơng Suy hoành độ giao điểm dơng Do ®ã giao ®iĨm cđa chóng cïng n»m ë cïng mét phÝa ®èi víi trơc tung VÝ dơ 8: Chøng tỏ Parabol (P) y = - x2 cắt đờng thẳng (d): y = 2x 2007 hai điểm thuộc hai phía trục tung Giải Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = -x với đờng thẳng (d) y = 2x 2007 nghiệm phơng trình: x2 = 2x – 2007 ⇔ x2 + 2x – 2007 = V× cã a.c = 1.( –2007) < nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu Do giao ®iĨm thc hai phÝa ®èi víi trơc tung Dạng 5: Biện luận số giao điểm đờng thẳng vµ Parabol VÝ dơ 9: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x m2 Tìm m để: a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) c) (D) không cắt (P) Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D) y = 2(m +1)x – m2 – lµ nghiệm phơng trình: x2 = 2(m +1)x m2 – ⇔ x2 – 2(m +1)x + m2 +9= (1) ∆' = b'2 – ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – = 2m – a) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt ∆' > 2m – > 2m > m > VËy víi m > th× (D) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (D) tiếp xúc với (P) Phơng trình (1) có nghiệm kÐp ∆' = 2m – = 2m = m = VËy víi m = th× (D) tiÕp xóc víi (P) c) (D) không cắt (P) Phơng trình (1) vô nghiệm ' < Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 2m – < 2m < m < VËy víi m < th× (D) không cắt (P) Ví dụ 10: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m a) Với giá trị m (D) tiếp xúc với (P) b) Với giá trị m (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm m = Giải Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D) y = 4x + 2m nghiệm phơng trình: x2 = 4x + 2m ⇔ x2 – 4x – 2m = (*) ∆' = b'2 – ac = (–2)2 – (–2m) = + 2m a) (D) tiÕp xóc víi (P) Phơng trình (*) có nghiệm kép ' = + 2m = m = –2 VËy víi m = –2 th× (D) tiÕp xúc với (P) b) (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biÖt ∆' > + 2m > m > –2 VËy víi m > –2 (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Khi m = trình: hoành độ giao điểm A, B nghiệm phơng x2 4x – =0 ∆' = b'2 – ac = (–2)2 1(3) =4+3 = Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 D' = x1 = x2 = - b'+ D ' = 2+ a - b'- D' a = 2- Thay x1 =2 + vào ta đợc y1 = 11 +4 Thay x1 =2 – vµo ta đợc y1 = 11 Từ suy toạ độ giao điểm A, B (P) (D) lµ: A(2 + ; 11 +4 ); B(2 – ; 11 – ) Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến Parabol đờng thẳng x a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) điểm M có hoành độ b) Viết phơng trình tiếp tun cđa (P) viÕt tiÕp tun nµy song song VÝ dô 11: Cho Parabol (P) y = - với đờng thẳng y = x - c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1; ) tiếp xúc với (P) Giải Phơng trình đờng thẳng cã d¹ng y = ax + b a) Thay x = vào phơng trình Parabol ta đợc y = Vậy M(2; 2) đờng thẳng qua M(–2; –2) nªn ta cã: –2 = –2a + b => b = 2a (1) Mặt khác, đờng thẳng tiếp tuyến (P) nên phơng trình: Cã nghiÖm kÐp - x2 = ax + b Cã nghiÖm kÐp Û x2 + 2ax + 2b = ⇔ ∆' = ⇔ a2 – 2b =0 (2) Thay (1) vào (2) ta đợc: a2 2(2a – 2) = a2 – 4a +4 =0 (a 2)2 = a=2 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Với a = thay vào (1) ta đợc b = 2.2 = Vậy phơng trình đờng thẳng qua M tiếp xúc với (P) là: y = 2x + b) Vì tiÕp tuyªn song song víi y = x - nªn ta cã a = 2 Suy phơng trình đờng thẳng có dạng y = x + b Vì đờng thẳng tiếp xúc với (P) nên phơng trình: 1 - x2 = x + b cã nghiÖm kÐp 2 ⇔ x2 + x + 2b = (I) cã nghiÖm kÐp ∆ = b2 – 4ac = 12 – 4.1.2b = – 8b Để phơng trình (I) có nghiệm kép = ⇔ – 8b = ⇔b= 1 Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là: y = x + c) Đờng thẳng (d) qua A(1; ) nên ta có: 3 – a (3) = a + b => b = 2 Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol nên phơng trình: Có nghiệm kép - x2 = ax + b Cã nghiÖm kÐp Û x + 2ax + 2b = 0( II ) Ta có: ' = a2 2b Để phơng trình (II) cã nghiƯm kÐp th× a2 – 2b = (4) Thay (3) vào (4) ta đợc: a2 2( –a) = ⇔ a2 + 2a – = Suy a = vµ a = Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiÕn kinh nghiƯm 2007 - 2008 * Víi a = thay vào (3) ta đợc b = * Với a = thay vào (3) ta đợc b = VËy qua A(1; 3 ) cã hai tiÕp tun víi Parabol (P) lµ: y=x+ ; y = 3x - D¹ng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tơng giao thoả mÃn điều kiện cho trớc Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) y = - x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx – a) Chøng minh r»ng víi m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Gọi hoành độ giao điểm A vµ B lµ x 1; x2 Chøng minh x1 - x2 Giải a) Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (d) y = mx nghiệm phơng trình: –x2 = mx – ⇔ x2 + mx – 1= (*) ∆ = b2 – 4ac = m2 – 4.1.( –1) = m2 + > ∀ m Vì > m, nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt => (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Ta có x1; x2 hai nghiệm phơng trình (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = => x1 - x2 = x1 + Vì x1 x2 cïng dÊu nªn: x1 x1 + 1 = x1 + ³ x1 =2 x2 x1 x1 Vậy x1 - x2 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 VÝ dô 13: Cho Parabol (P) có phơng trình: y = x đờng thẳng (D) có phơng trình: y = mx m + a) Tìm m để (P) (D) qua điểm có hoành độ x = b) Chứng minh với giá trị m (D) cắt (P) hai điểm phân biệt c) Giảc sử (x1; y1) (x2; y2) toạ độ giao điểm (D) (P) Chứng minh rằng: y1+y2 (2 1)(x1+x2) Giải x2 Hoành độ giao điểm Parabol (P) y = với đờng thẳng (D) y = mx – m + lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 = mx - m + 2 Û x2 - 2mx + 2m - = (**) a) Để (D) (P) qua điểm có hoành độ x = phải nghiệm phơng trình (**) Từ suy ra: 42 – 2m.4 +2m – = => m = Vậy với m = đờng thẳng (D) Parabol (P) qua điểm có hoành độ b) (D) (P) hai điểm phân biệt phơng trình (**) có hai nghiệm phân biÖt ∆' > (–m)2 – (2m – 4) > m2 – 2m +4 > (m 1)2 +3 > m Vậy (D) cắt (P) hai điểm phân biƯt c) Ta cã (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ toạ độ giao điểm (D) (P) nên x x2 nghiệm phơng trình (**) Theo định lí Vi-ét x1 + x2 = - b = 2m a Ta l¹i cã: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + Suy ra: y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2) = m(x1 + x2) – 2m + = 2m2 – 2m + = [( m)2 – m + 4] + (2 1).2m Đặng Ngọc Dơng 10 THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 = ( m – 2)2 +(2 – 1).2m = ( m – 2)2 +(2 – 1).(x1 + x2) (vì x1 + x2 = 2m) Đặng Ngọc Dơng 11 THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Trên đà giới thiệu đồng nghiệp bảy dạng toán quan hệ Parabol đờng thẳng chơng trình Đại số mà đà nghiệm đợc trình giảng dạy Các toán dạng phong phú đa dạng Song thời gian nghiên cứu cha nhiều, viết thiếu sót, mong đợc trao đổi, góp ý đồng nghiệp vấn để việc dạy Toán nói chung toán nói riêng đạt đợc hiệu cao hơn, góp phần giúp em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi cuối cấp kì thi tuyển sinh vào trờng THPT đạt hiệu cao Xin trân trọng cảm ơn! Giao Hà, ngày 20 tháng 03 năm 2008 Ngời viết Đặng Ngọc Dơng Email: diepngoc0307@yahoo.com.vn Đặng Ngọc Dơng 12 THCS Giao Hà ... đợc hiệu cao hơn, góp phần giúp em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi cuối cấp kì thi tuyển sinh vào trờng THPT đạt hiệu cao Xin... (D) không cắt (P) Phơng trình (1) vô nghiệm '' < Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 2m – < 2m < m < VËy víi m < th× (D) không cắt (P) Ví dụ 10: Cho... giới thi? ??u đồng nghiệp bảy dạng toán quan hệ Parabol đờng thẳng chơng trình Đại số mà đà nghiệm đợc trình giảng dạy Các toán dạng phong phú đa dạng Song thời gian nghiên cứu cha nhiều, viết thi? ??u