Chuyên đề đại số lớp 9 định lý vi et và một số ứng dụng A. Kiến thức cần nhớ: I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan một số hằng đẳng thức đáng nhớ: 1) (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab 2) (a - b) 2 = a 2 + b 2 - 2ab = (a + b) 2 4ab a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab 3) (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b) Nhắc lại một số kiến thức có liên quan: Cho 2 số A và B, khi xét dấu của 2 số này ta có các trờng hợp sau đây: 1) A và B trái dấu AB < 0 2) A và B cùng dấu AB > 0 3) A và B cùng dơng AB > 0 A + B > 0 4) A và B cùng âm AB > 0 A + B < 0 * Nếu A + B > 0 thì ít nhất một trong 2 số phải dơng. * Nếu A + B < 0 thì ít nhất một trong 2 số phải âm. II. Định lý Vi et : Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) thì: S = x 1 + x 2 = P = x 1 .x 2 = III. Một số ứng dụng của định lý Vi et: 1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai( có 2 trờng hợp thờng sử dụng) Cho phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) a) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x 1 = 1 và x 2 = b) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x 1 =- 1 và x 2 =- 2) Tính giá trị một số biểu thức liên quan đến các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần tìm nghiệm. Ví dụ: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) .v.v. 3) Tìm hai số khi biết trớc tổng và tích: 1 b a c a c a c a Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của phơng trình x 2 Sx + P = 0 ( ĐK để có hai số u và v là: S 2 4P 0) 4) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai: Cho phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) a) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 b) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 c) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng 0 và P > 0 và S > 0 d) Phơng trình có 2 nghiệm cùng âm 0 và P > 0 và S < 0 e) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm dơng 0 và S > 0 f) Phơng trình có ít nhất một nghiệm âm 0 và S < 0 B. Một số bài toán điển hình: Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) Có nghiệm x 1 ; x 2 thì tam thức f(x) = ax 2 + bx + c phân tích đợc nh sau: f(x) = ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Bài giải Ta có f(x) = ax 2 + bx + c = a[ x 2 (- ) 2 + ] = a(x x 1 )(x x 2 ) *ứng dụng của bài toán trên: Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử: VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x 2 5x + 3 b) 3x 2 + 8x + 2 Bài giải a) Trớc hết ta giải phơng trình: 2x 2 5x + 3 = 0 Có a + b + c = 0 x 1 = 1 ; x 2 = 3/ 2 * áp dụng kết quả bài toán trên ta đợc: 2x 2 5x + 3 = 2(x 1)(x 3/ 2) b) Trớc hết ta giải phơng trình: 3x 2 + 8x + 2 = 0 = 4 2 3 . 2 = 10 > 0. Phơng trình có 2 nghiệm x 1 = ; x 2 = 2 b a c a 4 10 3 + 4 10 3 Vậy 3x 2 + 8x + 2 = 3( x + )(x + ) * Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách, tuy nhiên với phơng pháp này đôi khi thực hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ nh câu b). Song trong trờng hợp tam thức bậc hai có nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng phân tích đợc thành nhân tử một cách thuận lợi. Bài toán 2 : Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau: a) 2007x 2 2008x + 1 = 0 b) x 2 ( 2 3+ )x + 6 = 0 Bài giải a) Ta có a + b + c = 2007 2008 + 1 = 0 Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x 1 = 1 ; x 2 = 1 / 2007 * Nhận xét: Với bài toán này, nếu dùng cách giải bằng công thức nghiệm thì việc tính toán sẽ cồng kềnh, đôi khi dẫn đến kết quả sai. Song nhờ ứng dụng của định lý Vi et nên việc giải phơng trình trên trở nên nhanh gọn, dễ dàng hơn. Bài toán 3 : Cho phơng trình : x 2 - x 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm x 1 ; x 2 ( giả sử x 2 < 0) b) Không giải hãy tính giá trị các biểu thức sau: 1) x 1 + x 2 ; x 1 .x 2 5) x 1 3 x 2 3 2) 6) x 1 (1 x 2 ) + x 2 ( 1 x 1 ) 3) x 1 2 + x 2 2 7)* A = x 1 4 + 2x 2 3 + 3x 1 2 + 8x 2 -8 4) x 1 2 - x 2 2 8)* B = 8 1 1 10 13x x+ + + x 1 Bài giải 7) x 1 là nghiệm của phơng trình (1) nên ta có: x 1 2 x 1 1 = 0 x 1 2 = x 1 + 1 x 1 4 = (x 1 + 1) 2 = x 1 + 2x 1 + 2 = 3x 1 +2 2x 2 3 = 2x 2 2 + 2x 2 = 4x 2 +2 Vậy A = 3x 1 + 2 + 4x 2 + 2 + 3x 1 + 3 + 8x 2 8 = 6x 1 + 12x 2 1 = 6( x 1 + x 2 ) + 6x 2 1 3 1 2 1 1 x x + 4 10 3 4 10 3 + = 6. 1 + 6 x 2 1 = 5 + 6( ) = 8) x 1 8 = (x 1 4 ) 2 = 9x 1 2 + 12x 1 + 4 = 21x 1 + 13 = 21( ) + 13 = * Chú ý: Trớc khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phơng trình có nghiệm hay không. VD: phơng trình x 2 2x + 2 = 0 vô nghiệm song vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức . * Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thờng: tính cụ thể nghiệm rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng, phức tạp, song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua tổng và tích các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy việc tính toán sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều. Bài toán 4: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: a) 2 1+ và 2 1 b) 2 và 3 2 1+ và 2 1 c) 0.5 và 2 Bài giải a) Ta có S = 2 1+ + 2 1 = 2 2 P = ( 2 1+ )( 2 1 ) = 1 Vậy 2 1+ và 2 1 là 2 nghiệm của phơng trình x 2 - 2 2 x + 1 = 0 Bài toán 5 : Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (1). Giả sử phơng trình có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Đặt S n = x 1 n + x 2 n (n N) a) Chứng minh rằng: a S n+2 + bS n+1 + cS n = 0 b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A = B = Bài giải a) Vì x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình (1) nên ta có: ax 2 1 + bx 1 + c = 0 và ax 2 2 + bx 2 + c = 0 Ta có: a S n+2 + bS n+1 + cS n = a(x 1 n+2 + x 2 n+2 ) + b(x 1 n+1 + x 2 n+1 ) + c(x 1 n + x 2 n ) = = (ax 1 n+2 + bx 1 n+1 + cx 1 n ) + (ax 2 n+2 + bx 2 n+1 + cx 2 n ) = = x 1 n (ax 2 1 + bx 1 + c) + x 2 n (ax 2 2 + bx 2 + c) = 0 (đpcm) c) Đặt x 1 = 1- 3 và x 2 = 1 + 3 . Ta có x 1 + x 2 = 2; x 1 .x 2 = - 2 x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình: x 2 2x 2 = 0. áp dụng kết quả bài toán trên ta có: S n+2 2 S n+1 2S n = 0 S n+2 = 2S n+1 + 2S n 4 c a 1 5 2 16 6 5 2 1 5 2 47 21 5 2 4 4 1 1 (2 2) (2 2) + + b a ( ) ( ) 7 7 1 3 1 3 + + Ta có S 0 = x 1 0 + x 2 0 = 2 S 1 = x 1 + x 2 = 2 S 2 = 2S 1 + 2S 0 = 4 + 4 = 8 S 3 = 2S 2 + 2S 1 = 16 + 4 = 20 S 4 = 2S 3 + 2S 2 = 40 + 16 = 56 S 5 = 2S 4 + 2S 3 = 112 + 40 = 152 S 6 = 2S 5 + 2S 4 = 304 + 112 = 416 A = S 7 = 2S 6 + 2S 5 = 832 + 304 = 1136. Tơng tự ta cũng tính đợc giá trị của biểu thức B * Nhận xét: Với cách làm trên(ứng dụng của định lý Vi et ), ta đã tính đợc giá trị của biểu thức A không mấy khó khăn. Nhng nếu tính trực tiếp bằng cách giải phơng trình bậc hai để tìm nghiệm, rồi khai triển luỹ thừa bậc 7 của nhị thức bậc nhất thì việc tính toán rất phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai sót. Bài toán 6 : Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình ax 2 + bx + c = 0(1) ( a 0) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1) 2 ac = kb 2 Bài giải * Điều kiện cần: Giả sử phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 = kx 2 hoặc x 2 = k x 1 Ta có: (k + 1) 2 ac = kb 2 (k + 1) = k (k + 1) 2 kx 2 2 = k(kx 2 + x 2 ) 2 (k + 1) 2 kx 2 2 = k(k + 1) x 2 2 (hiển nhiên đúng) Vậy (k + 1) 2 ac = kb 2 * Điều kiện đủ: Giả sử có (k + 1) 2 ac = kb 2 (k + 1) 2 ac - kb 2 = 0 Ta có = b 2 4ac = b 2 b 2 = b 2 0 Do đó phơng trình luôn có nghiệm. Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phơng trình(1). Ta có: (x 2 k x 1 )(x 1 k x 2 ) = x 1 x 2 kx 2 2 - k 2 x 1 2 + k 2 x 1 x 2 = x 1 x 2 k[(x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 ] + k 2 x 1 x 2 = + k 2 = (ac kb 2 + 2kac + k 2 ac ): a 2 = = 0. (x 2 k x 1 )(x 1 k x 2 ) = 0 x 2 = kx 1 hoặc x 1 = kx 2 (đpcm) 5 c a 2 4 ( 1) k k + 2 1 1 k k ữ + 2 2 2 c b c k a a a ữ c a 2 2 2 ( 1)k ac kb a + 2 b a ữ Bài toán 7 : Cho Parabol (P) y = x 2 . Gọi A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là - 1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB. Bài giải Cách 1: (giải thông thờng). Ta có A (P) và x A = - 1 y A = 1 A(- 1;1) B(P) và x B = 2 y B = 4 B( 2; 4) Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b. Ta có hệ phơng trình: - a + b = 1 2a + b = 4. Giải hệ trên ta đợc a = 1 và b = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: y = x + 2 Cách 2: (Sử dụng định lý Vi - et). Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b. Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x 2 ax b = 0 (1) Có x A = - 1 ; x B = 2 là 2 nghiệm của phơng trình. Theo định lý Vi et ta có: x A + x B = a = - 1 + 2 = 1 ; x A . x B = - b = - 2 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: y = x + 2 Bài toán 8 : Cho (P): y = . Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại điểm A có hoành độ là 2 Bài giải * Cách 1 (Giải thông thờng) *Ta có A (P) và x A = 2 y A = 1. A(2; 1) Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) Ta có A (d) 2a + b = 1 b = 1 2a Xét phơng trình hoành độ giao điểm : ax + b = x 2 4ax 4b = 0 (1) *(d) tiếp xúc (P) phơng trình (1) có nghiệm kép = 0 4a 2 + 4b = 0 4a 2 8a + 4 = 0 a = 1 b = - 1 Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1 * Cách 2: (Sử dụng định lý Vi et ). Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) Vì (d) tiếp xúc (P) nên phơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép và nghiệm kép đó là x A = 2. Khi đó theo định lý Vi ét có: 4a = 4 a = 1 4 = - 4b b = - 1 6 2 4 x 2 4 x Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1 Bài toán 9 : Tìm độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi là 50 m và diện tích là 150 m 2 . Bài giải Gọi x và y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật ( ĐK: x > y > 0) Theo bài ra ta có hệ phơng trình: x + y = 25 xy = 150 Vậy x, y là nghiệm của phơng trình t 2 25 t + 150 = 0 = 25 2 4.150 = 25 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm là t 1 = = 15; t 2 = = 10 Vậy chiều dài hình chữ nhật là 15 m, chiều rộng hình chữ nhật là 10 m Bài toán 10 : Cho 2 phơng trình bậc hai: x 2 2x m 2 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 0. b) Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình: m 2 x 2 + 2x 1 = 0 (2) Bài giải a) Ta có ac =- m 2 < 0 m 0. Vậy phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu m 0 b)* Cách 1(Giải thông thờng): Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Khi đó ta có: x 2 1 2x 1 m 2 = 0. Vì m 0 nên x 1 0 và x 2 0, khi đó chia cả 2 vế của phơng trình cho m 2 ta đ- ợc: = 0 = 0 chứng tỏ là nghiệm của phơng trình (2) * Cách 2( ứng dụng định lý Vi et): Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Khi đó theo định lý Vi et ta có: x 1 +x 2 = 2 x 1 . x 2 = - m 2 Ta có: ; 7 25 5 2 + 25 5 2 2 1 1 2 1 m x x 1 1 x 2 1 1 2 1 m x x + 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 x x x x x x m + + = = 2 1 2 1 2 1 1 1 1 . x x x x m = = Vậy và là nghiệm của phơng trình x 2 - x + = 0 m 2 x 2 + 2x 1 = 0 VI. Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho phơng trình mx 2 2 (m 2)x + m 3 = 0 (1). Tìm giá trị của m để: a) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt. c) Phơng trình chỉ có 1 nghiệm âm. d) Phơng trình có 2 nghiệm đối nhau. e) Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau f) Phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài 2: Cho phơng trình x 2 + mx + 2m 4 = 0. Tìm các giá trị của m để: a) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm âm b) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm dơng c) Phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn T = x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3: Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm này gấp 2008 lần nghiệm kia là 2009 2 ac = 2008 b 2 Bài 4: Cho Parabol(P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = mx + 1. Xác định m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) sao cho: a) (x A 1) 2 + (x B 1) 2 đạt giá trị nhỏ nhất b) Độ dài AB là ngắn nhất. Bài 5: Giả sử x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình x 2 + ax + b = 0. a) Không giải hãy tính theo a và b các biểu thức: * A = * B = 1 2 x x * C = (2x 1 + x 2 )(2x 2 + x 1 ) * D = x 1 3 + x 2 3 b) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là: * 2x 1 + x 2 và 2x 2 + x 1 * x 1 3 + x 2 3 và x 1 2 + x 2 2 . * Gợi ý: Bài 1- Câu c). Ta xét 3 trờng hợp: Trờng hợp 1: Xét m = 0, m = 3. Trờng hợp 2: Phơng trình chỉ có 1nghiệm âm ac < 0. Trờng hợp 3: Phơng trình chỉ có 1nghiệm âm m 0 = 0 8 1 1 x 1 1 x 2 2 m 2 1 m 1 2 2 1 x x x x + - b/ a < 0 c/ a > 0 9 . Chuyên đề đại số lớp 9 định lý vi et và một số ứng dụng A. Kiến thức cần nhớ: I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan một số hằng đẳng thức đáng nhớ: 1) (a. + 3ab(a + b) a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b) Nhắc lại một số kiến thức có liên quan: Cho 2 số A và B, khi xét dấu của 2 số này ta có các trờng hợp sau đây: 1) A và B trái dấu AB <. âm AB > 0 A + B < 0 * Nếu A + B > 0 thì ít nhất một trong 2 số phải dơng. * Nếu A + B < 0 thì ít nhất một trong 2 số phải âm. II. Định lý Vi et : Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm