kho qua ! tha chet con hon

K THI KHO ST CHT LNG ễN THI I HC KHI A - B D. Nm 2010. Mụn thi: Toỏn. Thi gian lm bi: 180 phỳt. A. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im) Cõu I. (2 im) Cho hm s y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cú th l (C m ); ( m l tham s) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3. 2. Xỏc nh m (C m ) ct ng thng y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1), D, E sao cho cỏc tip tuyn ca (C m ) ti D v E vuụng gúc vi nhau. Cõu II (2 im) 1.Gii phng trỡnh: 2 3 2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( ) 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x x = + + . 2. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 1 4 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y + + + = + = + + , ( , )x y R . Cõu III (1 im) Tớnh tớch phõn: 3 2 2 1 log 1 3ln e x I dx x x = + . Cõu IV. (1 im) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3 2 a và góc BAD = 60 0 . Gọi M và Nlần lợt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Cõu V. (1 im) Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món 1a b c + + = . Chng minh rng: 7 2 27 ab bc ca abc+ + . B. PHN RIấNG (3 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc 2) 1.Theo chng trỡnh Chun Cõu VIa. ( 2 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC bit A(5; 2). Phng trỡnh ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y 6 = 0 v 2x y + 3 = 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC. 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vit phng trỡnh mt phng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. Cõu VIIa. (1 im) Cho 1 z , 2 z l cỏc nghim phc ca phng trỡnh 2 2 4 11 0z z + = . Tớnh giỏ tr ca biu thc 2 2 1 2 2 1 2 ( ) z z z z + + . 2. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VIb. ( 2 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng : 3 8 0x y+ + = , ':3 4 10 0x y + = v im A(-2 ; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng , i qua im A v tip xỳc vi ng thng . 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai ng thng : 1 1 1 ( ): 2 1 1 x y z d + = = v 2 2 1 ( ): 1 1 1 x y z d + = = . Vit phng trỡnh mt phng cha (d 1 ) v hp vi (d 2 ) mt gúc 30 0 . Cõu VIIb . (1 im)Gii h phng trỡnh : 2 2 2 2 3 2 2010 2009 2010 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1 y x x y x y x y + = + + + = + + + HT Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ! - Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! H v tờn thớ sinh: . S bỏo danh: . tavi ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D. Năm 2010 Câu Ý Nội dung Điểm I 1 1 2 PT hoành độ giao điểm x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x 2 + 3x + m) = 0 ⇔ m = 0, f(x) = 0 0.25 Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và y’(x 1 ).y’(x 2 ) = -1. 0.25 Hay 2 2 1 1 2 2 9 4 0, (0) 0 (3 6 )(3 6 ) 1. m f m x x m x x m − > = ≠   + + + + = −  2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 , 0 , 0 4 4 9( ) 18 ( ) 3 ( ) 36 6 ( ) 1 4 9 1 0 m m m m x x x x x x m x x x x m x x m m m   < ≠ < ≠   ⇔ ⇔     + + + + + + + + = − − + =   0.25 Giải ra ta có ĐS: m = 9 65 8 ± 0.25 II 1 0.5 0.5 2 0y ≠ , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 . ( ) 2 7 2 1 ( ) 2 7 x x y y x y xy y y x y x y x x y y  + + + =   + + + =  ⇔   + = + + +   + − =   0.25 Đặt 2 1 , x u v x y y + = = + ta có hệ: 2 2 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u + = = − = =    ⇔ ⇔    − = + − = = − =    0.25 +) Với 3, 1v u= = ta có hệ: 2 2 2 1, 2 1 1 2 0 2, 5 3 3 3 x y x y x y x x x y x y y x y x = =    + = + = + − =  ⇔ ⇔ ⇔     = − = + = = − = −     . 0.25 +) Với 5, 9v u= − = ta có hệ: 2 2 2 1 9 1 9 9 46 0 5 5 5 x y x y x x x y y x y x    + = + = + + = ⇔ ⇔    + = − = − − = − −    , hệ này vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = − 0.25 III 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 ln log 1 ln . ln ln 2 . ln 2 1 3ln 1 3ln 1 3ln e e e x x x xdx I dx dx x x x x x x    ÷   = = = + + + ∫ ∫ ∫ 0.25 Đặt 2 2 2 1 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 dx x t x t x tdt x + = ⇒ = − ⇒ = . Đổi cận … 0.25 Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 log 1 1 1 3 . 1 ln 2 3 9ln 2 1 3ln e t x I dx tdt t dt t x x − = = = − + ∫ ∫ ∫ 0.25 2 3 3 3 1 1 1 4 9ln 2 3 27ln 2 t t   = − =  ÷   0.25 IV Chứng tỏ AC’ ⊥ BD 0.25 C/m AC’ ⊥ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN. Suy ra AC’ ⊥ (BDMN) 0.25 Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’. Nếu dùng cách hiệu các thể 0.25 tích thì phải chỉ ra cách tính. Tính đúng diện tích hình thang BDMN . Suy ra thể tích cần tìm là: 3 3 16 a . 0.25 V Ta có 2 ( ) (1 2 ) (1 ) (1 2 )ab bc ca abc a b c a bc a a a bc+ + − = + + − = − + − . Đặt t= bc thì ta có 2 2 ( ) (1 ) 0 4 4 b c a t bc + − ≤ = ≤ = .Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đoạn 2 (1 ) 0; 4 a   −     0.5 Có f(0) = a(1 – a) 2 ( 1 ) 1 7 4 4 27 a a+ − ≤ = < và 2 2 (1 ) 7 1 1 1 7 (2 ) 4 27 4 3 3 27 a f a a   −   = − + − ≤  ÷  ÷  ÷     với mọi a [ ] 0;1∈ 0,25 Vậy 7 2 27 ab bc ca abc+ + − ≤ . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 0.25 VIa. 1 . Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) lµ trung ®iÓm cña BC Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). V× C’ lµ trung ®iÓm cña AB nªn: 2 5 11 2 2 ' ; ' 2 2 m c m c C CC − + − −   = ∈  ÷   nªn 2 5 11 2 2 5 2( ) 3 0 2 2 6 m c m c m − + − − − + = ⇒ = − 5 41 ( ; ) 6 6 I⇒ = − . Ph¬ng tr×nh BC: 3x – 3y + 23=0 Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 2 3 0 14 37 ; 3 3 23 0 3 3 x y C x y − + =    ⇒ =   ÷ − + =    0.5 Täa ®é cña B = 19 4 ; 3 3   −  ÷   0.5 2 . Ta có: (2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC= − = uuur uuur Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: 1 0, 3 0.x y z y z+ − − = + − = 0.25 Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là , (8; 4;4).n AB AC   = = −   r uuur uuur Suy ra (ABC): 2 1 0x y z− + + = . 0.25 Giải hệ: 1 0 0 3 0 2 2 1 0 1 x y z x y z y x y z z + − − = =     + − = ⇒ =     − + + = =   . Suy ra tâm đường tròn là (0; 2;1).I 0.25 Bán kính là 2 2 2 ( 1 0) (0 2) (1 1) 5.R IA= = − − + − + − = 0.25 VIIa Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 2 3 2 3 2 1 , 1 2 2 z i z i= − = + 0.5 Suy ra 2 2 1 2 1 2 3 2 22 | | | | 1 ; 2 2 2 z z z z   = = + = + =  ÷  ÷   0.25 Đo đó 2 2 1 2 2 1 2 11 4 ( ) z z z z + = = + 0.25 VIb 1 . Tâm I của đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) 0.25 Theo yc thì k/c từ I đến ∆ ’ bằng k/c IA nên ta có 2 2 2 2 3( 3 8) 4 10 ( 3 8 2) ( 1) 3 4 t t t t − − − + = − − + + − + 0.25 Giải tiếp được t = -3 0.25 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25. 0.25 CâuVIb. (2,0) 2 Giả sử mặt phẳng cần tìm là: 2 2 2 ( ): 0 ( 0)ax by cz d a b c α + + + = + + > . Trên đường thẳng (d 1 ) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0). Do ( ) α qua A, B nên: 0 2 0 a c d c a b a b d d a b − + = = −   ⇔   − + + = = −   nên ( ): (2 ) 0ax by a b z a b α + + − + − = . Yêu cầu bài toán cho ta: 0 2 2 2 2 2 2 1. 1. 1.(2 ) 1 sin 30 2 1 ( 1) 1 . (2 ) a b a b a b a b − + − = = + − + + + − 2 2 2 2 2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0a b a ab b a ab b⇔ − = − + ⇔ − + = Dễ thấy 0b ≠ nên chọn b=1, suy ra: 18 114 21 18 114 21 a a  − =    + =   KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z + + − + + − = 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z − − + + + − = . 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb 2 2 2 2 3 2 2010 2009 (1) 2010 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1(2) y x x y x y x y −  + =   +  + + = + + +  +) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0 +) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt: 2 2 2 2 2009 2009 log ( 2010) log ( 2010)x x y y + + = + + +) Xét và CM HS 2009 ( ) log ( 2010), 0f t t t t = + + ≥ đồng biến, từ đó suy ra x 2 = y 2 ⇔ x= y, x = - y +) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t Đưa pt về dạng 1 8 1 9 9 t t     + =  ÷  ÷     , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1 ⇒ x = y =7 +) Với x = - y thế vào (2) được pt: log 3 (y + 6) = 1 ⇒ y = - 3 ⇒ x = 3 . TH SINH (7 im) Cõu I. (2 im) Cho hm s y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cú th l (C m ); ( m l tham s) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3. 2. Xỏc nh m (C m ) ct ng thng y = 1 ti ba im. y + = + + + = + + + HT Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu g ! - Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! H v tờn thớ sinh: . S bỏo danh: . tavi ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT. phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Cõu V. (1 im) Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món 1a b c + + = . Chng minh rng: 7 2 27 ab bc ca abc+ + . B. PHN RIấNG (3 im). Thớ sinh