Ôn thi Đại Học Bpt vô tỷ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.Dạng 1: ( )f x c≥ (1) a.Nếu c ≤ 0 : (1) thoả với mọi x ∈ R sao cho f(x) ≥ 0 b.Nếu c > 0 : Ta có : ( )f x c≥ ⇔ f(x) ≥ 2 c (1a) Tập nghiệm của (1a) là tập nghiệm của (1). Thí dụ: giải các phương trình a. 2 3 1x + ≥ − b. 2 7 1 3x x+ + ≥ Giải a.Ta có : 2 3 1x + ≥ − ⇔ 2x +3 ≥ 0 ⇔ 3 2 x ≥ − Vậy nghiệm bất phương trình là: 3 2 x ≥ − b.Ta có: 2 7 1 3x x+ + ≥ ⇔ x 2 +7x+1 ≥ 9 ⇔ 2 x +7x-8 ≥ 0 ⇔ 8 1x x≤ − ∪ ≥ 2.Dạng 2: ( )f x c≤ (2) a.Nếu c < 0 : (2) vô nghiệm b.Nếu c ≥ 0 : Ta có : 2 ( ) 0 ( ) ( ) f x f x c f x c ≥  ≤ ⇔  ≤  Giải hệ bất phương trình (2a). suy ra nghiệm của (2) Thí dụ: giải các bất phương trình: a. 2 4 3 1x x− + < − b. 2 1x − < c. 2 2 3 2x x − − < Giải a. Ta thấy 2 4 3x x− + ≥ 0 nên (a) vô nghiệm b.Ta có: 2 0 2 2 1 2 3 2 1 3 x x x x x x − ≥ ≥   − < ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <   − < <   Vậy nghiệm của (b) là : 2 3x ≤ < c. Ta có: 2 2 2 1 3 2 3 0 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 7 0 x x x x x x x x x ≤ − ∪ ≥   − − ≥   − − < ⇔ ⇔   − < < + − − <     ⇔ 1 2 2 1 3 1 2 2x x − < ≤ − ∪ ≤ < + Vậy nghiệm của (c) là : 1 2 2 1 3 1 2 2x x− < ≤ − ∪ ≤ < + 3.Dạng 3 : ( ) ( )f x g x≥ (3) Ta có: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x ≥  ≥ ⇔  ≥  (3a) Giải hệ (3a) suy ra nghiệm của (3) Giải tương tự với bất phương trình : ( ) ( )f x g x≥ Thí dụ : giải các bất phương trình: a. 2 1x x+ ≥ + b. 2 3 3 1x x− ≥ + c. 2 4x x− ≥ − d. 2 2 2 3 2 3x x x x + − ≥ − − Giải a.Ta có: 2 1x x+ ≥ + 1 0 1 1 2 1 2 1 x x x x x + ≥ ≥ −   ⇔ ⇔ ⇔ ≥ −   + ≥ + ≥   Vật nghiệm của rất phương trình là x ≥ -1 b. Ta có: 1 0 1 2 3 3 1 4 2 3 1 4 x x x x x x x x + ≥ ≥ −   − ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ ≥   − ≥ + ≥   Vậy bất phương trình có nghiệm là 4x ≥ c. Ta có: 4 0 4 2 4 3 4 2 4 3 x x x x x x x x − ≥ ≤   − ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤   − ≥ − ≥   Vậy bất phương trình có nghiệm là 3 4x≤ ≤ d.Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 0 1 3 2 3 2 3 3 0 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x  − − ≥ ≤ − ∪ ≥   + − ≥ − − ⇔ ⇔   ≤ − ∪ ≥ + − ≥ − −    Vậy bất phương trình có nghiệm là 3 3x x≤ − ∪ ≥ 4.Dạng 4: ( ) ( )f x h x≥ (4) Ta có : 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) (4 ) (4 ) ( ) 0 ( ) [ ( )] h x h x f x h x a b f x f x h x ≥ <   ≥ ⇔ ∪   ≥ ≥   Giải các hệ (4a) và (4b) Hợp nghiệm của (4a) và (4b) là tập nghiệm của (4). Thí dụ : giải các bất hương trình sau: a. 1 2 1x x+ ≥ + b. 2 6 2x x x + − ≥ + c. 2 2 7 4 1 4 x x x + − ≥ + Giải a.Ta có: 2 2 1 0 2 1 0 1 2 1 1 0 1 (2 1) x x x x x x x + ≥ + <   + > + ⇔ ∪   + ≥ + > +   2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 0 2 3 2 2 2 0 4 3 0 4 x x x x x x x x x −  −  ≥  ≥ − − −   ⇔ ⇔ − ≤ < ∪ ⇔ − ≤ < ∪ ≤ < ⇔ − ≤ <   −   < < + <    Vậy nghiệm của bất phương trình là: 1 0x− ≤ < b.Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 6 2 10 3 2 6 0 6 ( 2) 3 x x x x x x x x x x x x x x x ≥ −  + < + ≥ < −     + − ≥ + ⇔ ∪ ⇔ ∪ −    ≤ − ∪ ≥ ≤ + − ≥ + − ≥ +      3x⇔ ≤ − Vậy nghiệm của bất phương trình là: 3x ≤ − c.Ta có: 2 2 2 2 2 7 4 4 2 7 4 2 7 4 ( 4) 1 4 4 4 x x x x x x x x x x x + − ≥ + + − + − ≥ + ≥ ⇔ ⇔ + ≠ − ≠ − 2 20 0 4 x x x − − ≥ ⇔ ≠ − 4 5 4 5 4 x x x x x ≤ − ∪ ≥ ⇔ ⇔ < − ∪ ≥ ≠ − Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 4 5x x< − ∪ ≥ 5.Dạng 5: ( ) ( )f x h x ≤ (5) Ta có: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x h x h x f x h x  ≥   ≤ ⇔ ≥     ≤     Giải hệ bất phương trình (5a). Suy ra nghiệm của (5) Thí dụ : giải cac bất phương trình sau: a. 2 1 1x x+ ≤ + b. 2 5 6 3 2x x x− − < + c. 2 3 10 8x x x− − < − Giải a.Ta có: 2 2 2 0 2 2 1 5 2 1 1 0 1 1 5 1 5 2 2 ( 1) 1 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x x   + ≥ ≥ − ≥ −  − +    + ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔ ≥    − − − + ≤ ∪ ≥    + ≤ + + − ≥    Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 5 2 x − + ≥ b.Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 5 6 0 3 5 6 3 2 3 2 0 2 3 2 5 6 (3 2 ) 5 7 15 0 x x x x x x x x x x x x x x ≤ ≤   − − ≥    − + − < + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ ≤ ≤     − − < +   + + >  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2 3x≤ ≤ c.Ta có: 2 2 2 2 3 10 0 2 5 74 3 10 8 8 0 8 2 5 13 74 3 10 (8 ) 13 x x x x x x x x x x x x x x x    − − ≥ ≤ − ∪ ≥   − − < − ⇔ − > ⇔ < ⇔ ≤ − ∪ ≤ <     − − < −   <  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 74 2 5 13 x x≤ − ∪ ≤ < 6.Dạng 6: ( ) ( )f x g x c+ ≥ (6) a.Nếu c ≤ 0 Ta có: (6) ( ) 0 ( ) 0 g x f x ≥  ⇔  ≥  b.Nếu c > 0 Ta có: 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x g x f x g x c g x f x c f x g x f x g x f x g x c f x g x    ≥ ≥   + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥     − − + + ≥   ≥  Trở lại lại dạng 4 mà cách giải ta đã biết Thí dụ : Giải các bất phương trình: a. 1 2 3 1x x+ + − ≥ − b. 1 1 4x x− + + ≥ Giải a.Ta có: 1 1 0 3 3 2 3 0 2 2 x x x x x ≥ −  + ≥   ⇔ ⇔ ≥   − ≥ ≥    Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 2 x ≥ b. Ta có: 1 1 4x x− + + ≥ 2 2 2 2 1 1 0 1 8 0 1 0 1 8 0 1 1 2 1 16 1 8 1 (8 ) x x x x x x x x x x x x x x ≥    − ≥ ≥  − ≤     ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔     − ≥       + + − + − ≥ − ≥ −     − ≥ −    1 8 65 65 8 8 8 16 16 16 65 x x x x x x x ≥   >   ⇔ ⇔ > ∪ ≤ ≤ ⇔ ≥   ≤       ≥    Vậy nghiệm của bất phương trình là 65 16 x ≥ 7.Dạng 7: ( ) ( )f x g x c+ ≤ (7) a.Nếu c < 0 : (7) vô nghiệm. b.Nếu c ≥ 0 Ta có: 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f x g x c g x g x c f x g x f x g x f x g x c f x g x    ≥ ≥   + ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥     − − + + ≤   ≤  Trở lại dạng 5 mà cách giải ta đã biết Thí dụ: Giải bất phương trình: 2 2 4 1 2x x− + − ≤ Giải Ta có: 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 0 2 2 4 1 2 1 0 1 1 5 2 2 5 4 4 2 5 4 2 1 x x x x x x x x x x x x   − ≥ − ≤ ≤   − + − ≤ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤     − + − + < − + < −   2 4 2 4 2 1 1 1 1 2 2 15 15 2 1 0 1 1 2 2 4 4 4 5 4 4 4 1 15 15 4 4 x x x x x x x x x x x x x   − ≤ ≤ − ≤ ≤     ⇔ − > ⇔ − > ∪ > ⇔ − ≤ < − ∪ < ≤     − + < − +   − > ∪ >   Vậy nghiệm của bất phương trình là 15 15 1 1 4 4 x x− ≤ < − ∪ < ≤ 8.Dạng 8: ( ) ( ) ( )f x g x h x+ ≥ (8) Ta có: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 f x f x g x g x f x g x h x h x h x h x g x f x f x g x f x g x f x g x h x ≥  ≥    ≥ ≥    + ≥ ⇔ ⇔   ≥ ≥   − −   ≥ + + ≥    trở lại dạng 4 giải tương tự với bất phương trình : ( ) ( ) ( )f x g x h x− ≥ bằng cách biến đổi (8’) về dạng: ( ) ( ) ( )h x g x f x+ ≥ Thí dụ : giải các bất phương trình sau: a. 3 1 2 5x x x− + − ≥ − b. 2 2 2 1 1 2 6 2x x x x x x+ + + − + ≥ + + Giải a.Ta có: 2 3 3 0 1 1 0 3 1 2 5 3 2 5 0 2 4 2 ( 1)( 3) 2 6 4 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x ≥ − ≥     ≥ − ≥   − + − ≥ − ⇔ ⇔   ≥ − − ≥     − + − − ≥ + − + ≥   2 3 3 2 26 4 22 0 2 26 2 26 x x x x x x x ≥ ≥    ⇔ ⇔ ⇔ ≥ +   − − ≥ ≤ − ∪ ≥ +    Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 2 26x ≥ + [...]... vế bất phương trình cùng âm hoặc cùng không âm Bình phương hai vế bất phương trình ta được một dạng mới đơn giản hơn Thí dụ: Giải các bất phương trình: a b x + x + 9 ≥ x +1 + x + 4 6x +1 − 2x + 3 ≤ 8x − 4x + 2 Giải a.Điều kiện xác định: x ≥ 0 x ≥ 0 x + 9 ≥ 0  x ≥ −9   ⇔ ⇔ x≥0  x +1 ≥ 0  x ≥ −1 x + 4 ≥ 0  x ≥ −4   Hai vế bất phương trình đã cho không âm, ta có: x + x + 9 ≥ x +1 + x + 4 . BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.Dạng 1: ( )f x c≥ (1) a.Nếu c ≤ 0 : (1) thoả với mọi x ∈ R sao cho f(x) ≥ 0 b.Nếu. ≥ ⇔ x 2 +7x+1 ≥ 9 ⇔ 2 x +7x-8 ≥ 0 ⇔ 8 1x x≤ − ∪ ≥ 2.Dạng 2: ( )f x c≤ (2) a.Nếu c < 0 : (2) vô nghiệm b.Nếu c ≥ 0 : Ta có : 2 ( ) 0 ( ) ( ) f x f x c f x c ≥  ≤ ⇔  ≤  Giải hệ bất. 1x x− + < − b. 2 1x − < c. 2 2 3 2x x − − < Giải a. Ta thấy 2 4 3x x− + ≥ 0 nên (a) vô nghiệm b.Ta có: 2 0 2 2 1 2 3 2 1 3 x x x x x x − ≥ ≥   − < ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <   − < < 